堀辰雄(1904～1953)
[拼音]：luoji
[英文]：logic
一門以推理形式為主要研究物件的科學。推理是以一個或幾個命題為根據或理由以得出一個命題的思維過程。作為根據或理由的那一個或幾個命題是推理的前提，由前提得出的那個命題是推理的結論。
命題中有兩種詞項，一種是邏輯詞項，另一種是非邏輯詞項。如果把一個命題中的非邏輯詞項都換為變項，結果就得到這個命題的形式。如果把一個推理中的非邏輯詞項都換為變項，結果就得到這個推理的形式。
推理可分為演繹推理和歸納推理。對於一個正確的演繹推理形式，不論其中的變項代入任何非邏輯詞項，如果前提都是真的，則結論也是真的。在此意義上，正確的演繹推理形式有必然性（見形式邏輯）。正確的歸納推理形式卻不具有必然性而只具有或然性。一個應用了正確歸納推理形式的歸納推理，其或然性的大小不僅決定於它所應用的歸納推理形式，而且還決定於它對所涉及的現象的分析和這種分析所根據的知識的可靠程度。由於有兩種不同的推理，邏輯就可分為以演繹推理為主要研究物件的演繹邏輯和以歸納推理為主要研究物件的歸納邏輯。邏輯按其歷史發展的不同階段，又可分為傳統邏輯和現代邏輯。現代邏輯的主流是數理邏輯，它是形式邏輯的現代形式。
邏輯作為一門科學，不僅研究個別的正確推理形式，而且還研究各種正確推理形式之間的關係和提出關於正確推理形式的系統理論。亞里士多德的三段論理論，就是一個關於三段論的公理系統。現代邏輯則應用更加嚴格的形式系統的方法來研究邏輯，提出了許多關於邏輯系統的元定理和元理論。
詞源
“邏輯”一詞源於古希臘語 “λóγos”。在漢語中，“邏輯”這個名稱是拉丁語系的“logic”、“logik”和“logique”的音譯。亞里士多德在定義三段論時雖然曾用過 “λγos”這個希臘字，但他只是在“議論”或“論證”的意義上使用它。他沒有用“λoγιχ嬭”這個希臘字表示邏輯，他是應用“αναλντικα”（意即分析或分析學）表示關於推理的理論。關於推理的理論是邏輯的核心部分，因而可以說他是用“分析”或“分析學”表示邏輯的。根據間接史料，公元前3世紀斯多阿學派的創始人基底恩的芝諾認為，邏輯包括辯證法和修辭學。但由於斯多阿學派的原始資料早已遺失，他是否真正使用過希臘文的“邏輯”這個字已無法確定。根據現有史料，公元前1世紀的M.T.西塞羅最早用“λoγιχ嬭”這個字表示邏輯。公元2世紀亞弗洛弟西亞的亞歷山大也在同樣意義上使用這個字。古羅馬的邏輯學家則用“dialectica”表示包括邏輯和修辭的科學。中世紀的邏輯學家有時用“logica”，有時又用“dialectica”表示邏輯。經院的必修課“七藝”中的“dialectica”，就是指邏輯或包括了一些辯論術的邏輯。到近代，西方才通用“logic”、“logik”、“logique”等表示邏輯。
在中國古代和近代，曾用“形名之學”、“名學”、“辯學”、“名理”、“理則學”、“論理學”等表示邏輯。到20世紀才通用“邏輯”這一譯名。
與相鄰學科的關係
邏輯的相鄰學科有語法學、數學和哲學。邏輯和它們之間的關係是非常密切的，甚至有些邏輯著作中或多或少地包含了它們的某些內容。
邏輯與語法學
思維形式總是應用語言表達的，特別在邏輯發展的早期總是應用自然語言表達的，因而邏輯與語法學有密切的聯絡。但它們仍然是兩門具有不同性質的學科。傳統的語法學研究自然語言中語詞、短語和語句結構的規則和規律。邏輯只研究應用自然語言或人工語言來表達的命題形式和推理形式的邏輯性質。20世紀50年代在美國出現的生成語法學，應用了一些數理邏輯的方法來研究句法的結構，由有限數量的規則生成多種多樣合乎語法的語句，後來又進而引入深層結構、淺層結構和語義解釋等內容。但生成語法學的主要研究物件仍然是如何生成合乎語法的各種語句。大約70年代以後，有些生成語法學家開始著重研究自然語言中語句與語句之間的蘊涵關係。但這已超出了語法本身的範圍，而成為一門語法和邏輯相結合的邊緣科學。
邏輯與數學
邏輯與數學這兩門科學之間有著深刻的聯絡。歷史地看，古希臘的幾何學是當時最嚴密地應用推理的一門科學，而亞里士多德的邏輯不但把當時的幾何學中所應用的推理作為它的研究物件，而且還把當時幾何學中所應用的公理方法作為它的研究三段論的方法。從G.W.萊布尼茨起逐漸發展起來的數理邏輯，可以看作數學與邏輯更深入地結合的結果。19世紀中期以後，大量的數學方法逐漸地被用於邏輯研究，同時邏輯的成果也被用於數學基礎研究，集合論、證明論、遞迴論和模型論，現已成為數學和邏輯這兩門科學的共同內容，而這四論中所應用的方法也已成為數學與邏輯這兩門科學的共同方法。
邏輯與哲學
這兩門學科的關係是複雜的。邏輯在歷史上曾長期是哲學的一個部分。在現代，在哲學的寬泛意義下，邏輯和本體論、認識論、倫理學、美學一樣，是哲學的組成部分。但邏輯卻不屬於狹義的哲學的範圍。狹義的哲學的主要部分是本體論和認識論。
邏輯不同於本體論和認識論。本體論研究存在的根本性質和根本規律，認識論研究認識發展的規律和正確認識的標準。而邏輯則研究思維形式的規律，它不研究存在方面的規律，也不研究認識方面的規律。
不同的邏輯傳統
邏輯所研究的正確推理形式及其規律，是任何正確認識和任何學科都必須應用和遵守的，因而是全人類共同的。正確地反映正確推理形式及其規律的邏輯，也是全人類共同的。在這個意義上，沒有不同民族、不同階級和不同個人的邏輯。但是，另一方面，邏輯作為一個知識體系，總是某一時代、某一民族和某些個人的產物，因而就不可避免地要帶有某個時代、某個民族和某些個人的特點。因此，在邏輯發展的歷史過程中，就產生了許多不同的邏輯體系並形成了三個不同的邏輯傳統，即中國邏輯傳統、印度邏輯傳統和希臘邏輯傳統。
中國邏輯傳統
中國邏輯傳統形成於先秦時期（見先秦邏輯思想），對它的形成和發展作出重大貢獻的有名家、墨家和儒家的代表人物。
名家的邏輯思想
名家是中國最早出現的邏輯學派。它善於對語言和思想作邏輯分析，提出了許多關於形名的邏輯理論。名家的創始人是鄧析，其著作早已遺失。據後來的一些史料記載，他善操兩可之說，設無窮之辯，為訴訟兩方提供勝訴的充分理由，並用嚴密的邏輯分析，批評當時的政治和法令。
惠施是名家的一個重要人物。可惜他的著作也已失傳。只是《莊子·天下》中的“歷物十事”和“二十一事”儲存有惠施或其他辯者的一些邏輯材料。他把人們通常對一句話的解釋換成一個特別的解，即“以反人為實”、“飾人之心，易人之意”，從而能“以非為是，以是為非”。例如，二十一事中的“輪不輾地”一條。照正常的理解，所謂“輪輾地”是說車輪這個圓圈上的一點或一部分與地面接觸。但很可能惠施或其他辯者是把“輪輾地”解釋為輪這個圓圈的全部都與地面接觸。顯然，在這個解釋下，“輪不輾地”這個通常認為錯誤的語句（命題）便成為正確的了。又如“孤駒未嘗有母”這條。這個語句（命題）中“孤駒”和“未嘗”兩個語詞（概念）是隱含著時間的。可以從兩段不同的時間來考慮這個語句。一段時間是：從現在是“孤駒”的這匹小馬存在（出生）的那個時間起，一直到說這個語句的時間止。另一段時間是:從這匹小馬成為孤駒的時間(即母馬死了的時間)起，一直到說這語句的時間止。人們正常的理解是採取前一段時間，因而“孤駒未嘗有母”這個語句是錯誤的。但惠施或其他辯者可能是採用後一段時間，因而“孤駒未嘗有母”就成為正確的了。對於其他一些條，如“卵有毛”、“龜比蛇長”、“連環可解也”等，情況也類似。
名家的另一個重要人物是公孫龍。他的有名的邏輯理論是“堅白離”和“白馬非馬”。他認為，概念是根據感覺形成的，白這個概念是根據關於白的感覺形成的，堅這個概念是根據關於堅的感覺形成的。感覺的不同就決定了相應的概念的不同。我們摸一塊石頭，只有堅的感覺而沒有白的感覺;看一塊石頭，只有白的感覺而沒有堅的感覺。堅的感覺和白的感覺是分離的。因此，“堅”這個概念不同於“白”這個概念，二者是分離的。
公孫龍的“白馬非馬”是從“馬”和“白馬”這兩個概念本身來論證的。他認為，馬類除了包含白馬外，還包含黃馬和黑馬。但白馬類卻不包含黃馬和黑馬。這是從概念的外延方面的論證。馬只具有形體方面的性質而不具有白這一性質，但白馬除了具有形體方面的性質外，還具有白這一顏色方面的性質。這是從概念的內涵方面的論證。由於“馬”與“白馬”這兩個概念在外延與內涵方面都不相同，所以“馬”這個概念不同於“白馬”這個概念，所以“白馬非馬”。公孫龍雖是背離了日常語言的意義來論證“白馬非馬”，但他的論證是嚴密的，特別從外延與內涵這兩方面來明確概念，是他對中國邏輯的重要貢獻。
墨家的邏輯思想
墨家的邏輯思想集中表現在《墨經》一書中。該書所提出的邏輯理論主要有以下幾個方面：
（1）關於正確知識的來源和內容。《墨經》認為正確知識的來源有聞、說與親三種。親知是由親身經驗而得到的知識，聞知是通過他人傳授而得到的知識，說知是通過推理或論證而得到的知識。就知識的內容說，《墨經》認為有名、實、合、為四種。名知是知道語詞（概念）的含義，推廣來說，就是關於語言的意義的知識；實知是關於語詞（概念）所指謂的事物的知識，推廣來說，就是關於事物的知識；合知就是關於名(語言)和實（事物）之間的關係的知識，這裡包括了語詞有或沒有所指謂的事物，即語句的真假：為知是關於對外界事物人們如何採取行動的知識。
（2）關於名的理論。《墨經》認為名的特性是“舉實”，即名與實之間的舉的關係，就象畫中的老虎與真虎之間的關係。《墨經》的這個說法，可能受了古代中國象形文字的影響，但實質上是說明名與實之間的指謂關係。《墨經》把名分為達、類、私三大類。達名是可以用來指謂任何事物的名，如“物”；類名是指謂一類事物的名，如“馬”；私名是隻能用來指一個特定事物的名，如“臧”。《墨經》還談到名與名之間的一些邏輯關係，如“彼此彼此”等於“彼此”，“彼彼”等於“彼”，“此此”等於“此”。但“彼此”不等於“彼”，也不等於“此”。這裡“彼”與“此”是變項，可以分別代入任何兩個互相排斥的名，如“牛”與“馬”。這裡所講的名與名之間的關係，實質上也是類與類之間的關係。如用現代邏輯的表示方法，可把“彼”、“此”換成“a”、“b”。這裡的“彼此”是“a∪b”。這樣，《墨經》實質上是斷定了：
(a∪b)∩(a∪b)=a∪b
(a∪b)=a
(a∪b)厵a， (a∪b)厵b
（3）關於辭的理論。《墨經》中所說的辭就是語句（命題）。辭的作用或特性是表達說話者心中的意（思想）。一個辭表達了說話者的意，就叫做信(誠實)。一個辭正確反映了事物的情況，就叫做當(正確)。信並不一定當，一句誠實的話並不一定是正確的話。《墨經》把事物之間的同和異看作語句（命題）的根據，提出了重、體、合、類四種同。一個事物與它自身同一或兩個名舉同一個實，這是重同；兩個構成部分同屬一個整體，這是體同；兩個事物共同處於一個空間，兩個事物和另一事物共有一種關係，這是合同；兩事物有某一或某些性質相同，這是類同。相應於這四種同，也有四種異，即二、不體、不合與不類。根據事物之間的同與異，就有肯定的和否定的語句（命題）。《墨經》還提出了全稱的和特稱的語句（命題）。全稱的語句要用語詞(概念)“盡”， 特稱的語句要用語詞 “或”。“馬盡白”是全稱的語句。“馬或白” 即“馬不盡白” 是特稱語句。《墨經》也很重視全稱命題與特稱命題之間的矛盾關係。
（4）關於說、類推、辯。說是論證，論證中有論題和論據（故）。“以說出故”，“說，所以明也”。說就是提出理由、根據和論據（故）來證明論題。《墨經》把故分為小故、大故兩種。小故是“有之不必然，無之必不然”，是必要條件；大故是“有之必然”並且“非彼必不有”，是充分必要條件。《墨經》提出說有三個因素，即故、理、類。“夫辭以故生，以理長。以類行也。立辭而不明於其故所生，妄也。今人非道無所行，唯有強股肱而不明於道，其困也可立而待也。以類行也者，立辭而不明於其類，則必困矣”（《大取》）。有人認為，這裡所說的故，是演繹推理中的小前提，象印度的五支或三支論式中的因。理是普遍性規律或全稱判斷，是演繹推理的大前提。類是得出普遍性規律或全稱判斷的類比和歸納推理。按照這樣的解釋，《墨經》上面那段話就成為對論證和推理理論的全面概括。如從該書提出的闢、侔、援、推這些特殊的論式來看，它所講的論證，的確應用了演繹推理、類比推理和歸納推理。
《墨經》中所說的辯就是辯論，辯論的一方肯定一個命題，另一方否定這個命題。辯與說不同，在辯中，辯論的雙方不僅都要應用說，而且雙方所主張的論題是互相反對或矛盾的。辯論的雙方都應遵守一些規則：如“以類取”，即根據推理得出自已所需要的命題；“以類予”，即承認對方根據推理得出他所需要的命題;“有諸己不非諸人”，即一方應用了某個推理方式，則不應反對對方也應用這個推理方式；“無諸己不求諸人”，即如果一方拒絕承認和應用某個推理方式，則不應要求對方承認和應用這個推理方式。
《墨經》中還提出了一些說與辯的特別方式，如闢、侔、援、推等。闢是由一個事物有某種性質推出另一類似的事物也有此性質。侔是附性法的推理。例如，“狗，犬也”與“殺狗，殺犬也”這兩個語句是相比而俱行的。由於狗與犬之間有重同關係，“殺狗殺犬也”是正確的結論，而“殺狗非殺犬也”則是不正確的結論。援是辯論中的一方引用對方所斷定的命題作為自己推理的前提，以推出自己需要的命題。推是利用對方所斷定的命題作為推理的前提，以推出荒謬的結論或對方不願接受的結論。《墨經》認為，闢、侔、援、推這些推理方式如果亂用就會發生錯誤。《墨經》提出了 5種情況，其中有的是正確的推理，有的則是錯誤的推理。它們是：
（1）是而然。這裡“是”是對前提說的，“然”是對結論說的。“是而然”表示一類推理，其前提是肯定命題，其結論是正確的。例如，“白馬”，馬也;乘白馬，乘馬也。……獲，人也；愛獲，愛人也。……此乃是而然者也”（《小取》）。這裡，每一整句都是正確的，前半句是以一肯定命題作前提，後半句是正確的結論。
（2）是而不然。《小取》中說：“獲之親，人也；獲事其親，非事人也。其弟，美人也；愛弟，非愛美人也。車，木也；乘車，非乘木也。……盜，人也；多盜，非多人也；無盜，非無人也。……此乃是而不然者也。”這裡的“獲之親，人也”是一肯定的前提，“獲事其親，非事人也”表示“獲事其親，事人也”是一不正確的結論。這一整句是一個附性法（侔）的推理，附性法推理要求所附加的兩個屬性或概念是相同的。但“獲事其親，事人也”中的兩個“事”卻是不同的屬性或概念。其他各句的情況也類似。
（3）不是而然。它表示前半句是否定命題，而後半句是正確的命題。“且讀書，非讀書也。好讀書，好書也。且鬥雞，非鬥雞也。好鬥雞，好雞也……此乃不是而然者也”（《小取》）。這裡第一整句的前半句，是一個正確的否定命題，後半句是一個正確的肯定命題，如果把後半句改為“好讀書，非好書也”，那麼，整句就是一個不正確的附性法推理（侔）。其他各整句也類似。
（4）一週而一不周。這裡是討論命題中詞項的周延性問題。《小取》中說：“愛人，待周愛人而後為愛人。不愛人，不待周不愛人，……乘馬，不待周乘馬然後乘馬也，……逮至不乘馬，待周不乘馬而後為不乘馬。此一週而一不周者也。”這裡“愛人”中的“人”是周延的，“不乘馬”中的“馬”是周延的。
（5）一是而一非。這裡是講類比推理（闢）的錯誤。《小取》篇中說:“居於國，則為居國；有一宅於國，而不為有國。桃之實，桃也;棘之實，非棘也。問人之病，問人也；惡人之病，非惡人也。……之馬之目眇，則為之馬眇；之馬之目大，而不謂之馬大。之牛之毛黃，則謂之牛黃；之牛之毛眾，而不謂之牛眾。……此乃一是而一非者也。”這裡第一整句的前半句是一正確的命題。但如果由此推出“有一宅於國則為有國”，則這個推理是一個不正確的類比推理，這個結論是不正確的結論。其他各整句的情況也類似。
《墨經》的邏輯，是以辯為主題的，但其中大部分內容，都是關於名、辭和說的邏輯理論。因此它不是純粹的辯論邏輯。《墨經》中沒有應用物件語言來表示的命題形式和推理形式，而只有應用典型的具體推理來體現的推理方式。但《墨經》中卻有不少應用元語言來表述的邏輯規律，雖然這些是不夠精確的，但表明《墨經》中的邏輯已開始進入形式邏輯的階段。
儒家的正名理論
儒家對中國邏輯傳統的貢獻主要在於它的正名理論。最先提出正名理論的是儒家創始人孔子。孔子所說的“名”，主要是關於名位或名分的名稱。他所說的“正名”，主要要求名位或名分必須符合禮法，因而他的正名理論主要是一種政治上和倫理上的主張。但他提出正名，客觀上推動了後來對名實的邏輯問題的探討。
儒家的另一個重要人物荀子強調正名。除了名的政治和倫理的意義外，他還明確地提出了一些關於名的邏輯理論。他認為，名的作用或特性是它能表示事物，所以，名是人們給予事物的名稱，是約定俗成的，沒有正確或不正確的問題。荀了提出了共名與別名的分別。共名實質上就是表示屬的名，別名實質上就是表示種的名。他認為，共名之上還有共名，最後可得出其上沒有共名的那種共名，即大共名，如“事物”。別名之下還有別名，最後可得出其下沒有別名的那種別名，即大別名。他也提出了關於辭、說和辯的定義，認為辭是把兩個表示不同事物的名稱聯絡起來以表達一個思想；辯和說是證明一個命題是正確的或不正確的。
相對於名家與墨家來說，儒家對中國古代邏輯的貢獻是比較小的。秦漢以後，由於封建統治者罷黜百家、獨尊儒術和其他的原因，中國邏輯就很少有重大的發展。
印度邏輯傳統
印度的各個宗教和哲學派別都有自已的邏輯理論，各派的邏輯理論既互相批評又互相促進，從而形成獨特的印度邏輯傳統。印度邏輯理論的主要派別，是婆羅門的正理邏輯與佛教的因明。
古正理邏輯
《正理經》中的邏輯理論，主要有量論、論式和論過三部分。量論是關於認識和獲得認識的方法的理論。正確的認識可分為現量、比量、喻量和言量(聲量)。現量是通過感覺、知覺直接得到的認識；比量是根據已有的認識通過推理得到的認識；比量又可分為有前比量、有餘比量和共見比量；喻量是根據例證的類比而得到的認識；言量主要是教義或聖者的言論，是通過別人的言論而得到的認識。
論式是獲得正確認識或知識的推理方式及其理論。論式是和量論密切聯絡的。量論著重在說明正確認識或知識的種類和來源，而論式則著重在說明推理方式的性質。論式是正理邏輯的核心部分。正理邏輯的論式有五支（五個組成部分），它們分別叫做宗、因、喻、合和結。例如，此山有火（宗）；因為此山有煙（因）；有煙也有火，如廚房（同喻）；無煙也無火，如湖（異喻）；此山有煙也有火，象廚房一樣（合）；此山有火（結）。宗是辯論的一方所提出的一個論題。這裡，“山”是小詞，“火”是大詞。因是說明宗的理由或原因。如例中的“煙”是中詞，表示理由或原因。喻是舉出一個例證來說明中詞與大詞的聯絡。喻可分為同喻和異喻兩種。同喻是正面的例證，表明中詞所指謂的事物（有煙）和大詞所指謂的事物（有火）之間的聯絡；異喻是反面的例證，表明中詞的否定語詞所指謂的事物（無煙）和大詞的否定語詞所指謂的事物（無火）之間的聯絡。喻支中有“喻體”和“喻依”兩部分。喻體是表明中詞和大詞之間的聯絡，或中詞的否定語詞和大詞的否定語詞之間的聯絡，例如：“有煙也有火”，“無煙也無火”。喻依是例證，例如，“廚房”、“湖”。在古正理邏輯的論式中，同喻是必要的成分，異喻是可有可無的。合是把因和喻二者結合起來，說明宗中的小詞所表示的事物（此山）有中詞所表示的性質（有煙），也有大詞所表示的性質（有火）。結是結論，是由因、喻與合推出的命題。結中的命題與宗中的命題是相同的。
古正理邏輯的論式中，沒有應用變項。古正理邏輯的論式中的命題，都是具體的命題而不是命題形式。古正理邏輯的論式，只是通過典型的具體推理來表現推理形式，因而是具體的推理而不是推理形式。古正理邏輯的論式是辯論中應用的推理方式，因而具有它自己的特點。宗支與結支雖然是完全相同的命題，但宗支與結支在辯論和認識中的意義卻是不相同的。宗支中的命題是辯論者提出來討論的論題，是一個需要證明但尚未證明的命題。而結中的命題是一個經過推理已經證明的命題。在辯論中，經過幾步論證之後，再重申一下已被證明的論題是必要的。合支在論式中的意義，也應從辯論的角度來理解。
正理邏輯論式中的同喻，只斷定在一個或一類具體例證上有中詞所表示的性質與大詞所表示的性質共同出現。例如，廚房這一或這類事物既有煙也有火。喻支並沒有明確斷定中詞所表示的性質（煙）與大詞所表示的性質（火）之間有普遍的或必然的聯絡。因此，由因支和喻支到合支（或結支）的推理，嚴格地說，只是由特殊到特殊的類比推理。
論過是關於邏輯錯誤的理論。論過和論式是相輔相成的。後者說明正確的推理方式，前者說明不正確的推理方式。《正理經》中列舉了20多種推理中的邏輯錯誤，但對各種邏輯錯誤的性質缺乏嚴格的說明。以下介紹的是其中最重要的 5種因過，即關於中詞的邏輯錯誤。
（1）不定。由於中詞不當，一個論式可以推出一個不同於宗的命題。例如，“聲是常在的，因為聲是摸不著的；摸不著的東西是常在的，如元子；聲也是摸不著的。所以聲是常在的”。“摸不著的”這個中詞，也可用來證明“聲是不常在的”這個相反的命題:“聲是不常在的，因為聲是摸不著的;摸不著的是不常在的，如認識活動；聲也是摸不著的，所以聲是不常在的”。這裡所說的中詞不當，是就一個具體的推理說的，而且是就這個具體推理中的中詞所指謂的事物和大詞所指謂的事物在客觀世界中的實際關係說的，因而是很不嚴格的。
（2）相違。這種錯誤論式的中詞與大詞之間的關係是和事實相違反的。例如，“盆是產物”（宗），“盆是常在的”（因），“常在的是產物”（喻）。這裡中詞“常在的”與大詞“產物”之間的關係是違背事實的。
（3）不成。這種錯誤論式是由於中詞所指謂的事物是不存在的。例如，“那湖是實在的”（宗），“那湖有煙”（因）。中詞“有煙”所指謂的事物是在湖中不存在的，湖中事實上沒有煙。
（4）所立相同。這種錯誤論式中的中詞同大詞一樣，是需要證明的。例如，“影是實體”（宗），“影是運動的”（因）。大詞“實體”就是“有性質和運動的東西”。因而“影是運動的”同“影是實體”一樣，是需要證明的。正確的論式，要求中詞（因）在認識上是先於大詞而確立的東西。
（5）過時語。這種錯誤論式的中詞（因）在時間方面是不恰當的，因而不能證明結論。例如，“聲是經久的”（宗），“聲是兩物接觸的結果”（因）；“兩物接觸的結果是經久的，如顏色”（喻）；兩物（如鼓與槌）接觸（敲打）發出的聲音，只在敲打之後才能聽見；但兩物（如光與瓶）接觸就產生顏色，人立刻就能看見。而且，當光不照射到瓶上時就沒有顏色，但槌停止敲鼓時，還能聽到聲音。因此，用“兩物接觸的”作為中詞是錯誤的。
古因明
因明是研究推理的根據或原因的理論，是佛教的邏輯理論。龍樹是因明的創始人。後經彌勒、無著和世親等佛教徒加以發展。這是早期的因明，通稱為古因明。古因明雖然批評正理邏輯，但還是承襲了正理邏輯的基本內容。
在量論方面，古因明接受了正理邏輯的現量、比量、喻量和言量的理論，只在比量這一點上有所改變。古因明把比量分為 5種：
（1）相比量，由對一個屬性的認識推知另一個屬性的存在；
（2）體比量，由對一個部分的認識推知有此部分的整體的存在；
（3）業比量，由對一行動的認識推知有此行動的行動者的存在；
（4）法比量，由對一屬性的認識推知有此屬性的事物的存在；
（5）因果比量，由對因(或果)的認識推知有此因的果或有此果的因的存在。在論式方面，古因明一般都沿用正理邏輯的五支。彌勒和無著有時也用三支，但沒有明確提出三支論式的理論。在論過方面，古因明比古正理邏輯有所發展。後者只講因過，前者則既講因過也講宗過。
新因明
世親的再傳弟了陳那總結和發展了古因明，把因明乃至印度邏輯提高到一個新的階段。陳那的因明可分為 4個主要部分：
（1）真能立。這裡討論了正確的推理方式。陳那把以前的宗、因、喻、合和結的五支論式改為宗、因和喻的三支論式，但喻支中必須包世含同喻也包含異喻。例如，
宗：此山有火；
因：因為此山有煙；
喻：（同喻）凡有煙的都有火，如廚房；
（異喻）凡無煙的都無火，如湖。在陳那的三支論式中，不僅喻支中必須包含同喻與異喻，而且在同喻的喻體中和異喻中的喻體中都出現了全稱量詞“凡”。這表示陳那的三支論式的喻支中已明確地具有全稱命題，也表示他的三支論式的喻支斷定了中詞所指謂的性質與大詞所指謂的性質之間的普遍性和必然性聯絡。
陳那把五支論式改為三支論式，是印度邏輯發展過程中的一個很大進步。五支論式中的合支與結支，是為了辯論目的提出來的。陳那的三支論式去掉合支與結支，就表明新因明已由研究辯論的論式開始進入研究普遍的論式。更加重要的是陳那提出了“因三相”理論。玄奘把它譯為：遍是宗法性，同品定有性，異品遍無性。這就是說，小詞所表示的事物都具有大詞所表示的性質；具有中詞所表示的性質的事物一定具有大詞所表示的性質；不具有大詞所表示的性質的所有事物都不具有中詞所表示的性質。陳那以前，古正理邏輯和古因明的論式都是用典型的具體推理來表現的，既不是用物件語言表達的推理形式，也不是用元語言表達的推理規則。而陳那則提出了用元語言表達的推理規則──因三相。這表明陳那的因明已開始脫離思維內容而進入嚴格意義下的形式邏輯。
（2）似能立。這裡討論了應用三支論式的論證的邏輯錯誤。陳那把這些錯誤分為似宗、似因和似喻 3大類。似宗又分5種，似因又分為14種，似喻又分為10種。
（3）真能破。這裡討論瞭如何反駁對方的論證，即指出對方的論證中的邏輯錯誤。真能破和似能立是密切聯絡的。
（4）似能破。這裡討論了6種不正確的反駁，即似宗過破，缺因過破，似喻過破，似不成因過破，似不定因破與似相違破。在每一種不正確的反駁下又再分為幾種。
在陳那之後，重要的新因明邏輯學家是 5世紀的商羯羅和 7世紀的法稱。法稱總結了自陳那以來的新因明理論，並有所發展。他對新因明的一個重大貢獻，就是三支論式中可以只有一個同喻或只有一個異喻，而不須同時既有同喻和異喻。他認為，只有一個同喻的三支論式和只有一個異喻的三支論式都是正確的。這就改進了陳那的三支論式和因三相理論。法稱的三支論式，實際上就是亞里士多德三段論第一格的AAA或EAE。
新正理邏輯
14世紀婆羅門教的克伽自在擺脫了古正理邏輯的束縛，吸取了佛教因明和耆那派邏輯，從而發展出一個新的邏輯體系，這就是新正理邏輯。新正理邏輯與古正理邏輯不同，古正理邏輯關於正確論式講得很少，對於各種錯誤論式卻講得很多。新正理邏輯則著重講正確論式，而忽略各種繁多的錯誤論式；古正理邏輯是採用簡略的格言形式，新正理邏輯則是詳盡的嚴格的論述。
新正理邏輯，經過14世紀的耿蓋夏，15世紀的羅怙主，17世紀的賈格提舍和安納姆帕得等人的工作，發展到很高的水平。新正理邏輯研究了推理和蘊涵的理論、類邏輯、關係邏輯和命題邏輯。新正理邏輯是印度邏輯傳統的高峰。
希臘邏輯傳統
在世界三大邏輯傳統中，希臘邏輯傳統達到了最高的成就，現代邏輯就是從這一傳統發展而來的。希臘傳統形成於古代希臘，一直延續到近代西方。
古希臘邏輯
古希臘最早出現的邏輯系統是亞里士多德的邏輯。在亞里士多德的全部邏輯著作中，包括了5 個方面的內容：
（1）研究命題形式和推理形式的三段論理論；
（2）把三段論和歸納應用於辯論中的辯證推理理論；
（3）把三段論和歸納應用於科學中的科學推理理論和科學方法論；
（4）語法和語義的理論；
（5）本體論的理論。三段論理論、科學推理理論和辯證推理理論是其邏輯著作中的主要部分，而三段論理論又是其中最基本、最成熟和最深刻的部分。亞里士多德在他的三段論理論中已經應用了當時幾何這學應用的數學方法，即應用了變項與公理方法。這是希臘邏輯傳統中的一個非常重要的因素。
亞里士多德在其第一本關於推理的邏輯著作《論辯篇》中，探討了辯論中所運用的推理，即辯證推理。辯證推理既可以用演繹推理，也可以用歸納推理。但亞里士多德只敘述瞭如何應用演繹推理與歸納推理進行辯論的問題，而未討論這兩種推理本身的形式和規律。他對辯證推理的貢獻主要在於提出了有名的四謂詞理論。他從一個命題中的謂詞能否與主詞互換位置和謂詞相對於主詞說是不是本質的這兩個方面，把謂詞分為 4類：
（1）定義，也就是通常所說的定義者。它與主詞可以互換位置而且又是主詞所表示的事物的本質；
（2）固有屬性。它與主詞可以互換位置但它不是主詞所表示的事物的本質；
（3）屬。它與主詞不能互換位置但它卻是主詞所表示的事物本質中的成分；
（4）偶性。它與主詞不能互換位置並且它又不是主詞所表示的事物本質中的成分。在亞里士多德看來，辯論中的命題總是以定義、固有屬性、屬或偶性為謂詞的命題。他還提出了許多實用的原則，使辯論中防守的一方或進攻的一方善於建立或推翻具有各種謂詞的命題。
建立三段論理論，是亞里士多德對希臘邏輯傳統的最重要的貢獻。他首先提出了Aab、Eab、Iab和Oab四種實然命題形式，並以字母分別代表命題中主詞與謂詞的變項，同時還假定命題中的主詞、謂詞以及它們的矛盾概念都是不空的普遍概念。根據這一假定，亞里士多德提出了對當關係、換質換位和三段論的理論。這樣，由於主詞是不空的概念，就能根據對當關係，由全稱命題形式Aab和Eab分別推出特稱命題形式Iab和Oab；也由於主詞、謂詞和它們的矛盾概念是不空的概念，就能根據換質換位，由命題形式Aab推出Ia'b'和由Eab推出Oa'b'；同樣，由於主詞是不空的概念，就能根據三段論規則，由兩個普遍前提如Abc和Aab推出特殊結論Iac。
亞里士多德提出的實然三段論也稱直言三段論，是由三個實然命題形式組成的三段論，其中有兩個實然命題是前提，另一個實然命題是結論。他把三段論分為3個格，並把第1格的4個三段論看作完美的三段論。完美的三段論的正確性是自明和不需要證明的，第 1格以外的許多三段論主要通過換位法和歸謬法被還原或化歸為完美的三段論。由於完美的三段論是正確的推理形式，因而能還原為完美三段論的任何三段論也是正確的推理形式。亞里士多德的實然三段論理論是一個公理系統，第1格的4個完美的三段論是這個公理系統中的公理，換位法和歸謬法實質上是該公理系統的推理規則，而由完美三段論推出的三段論是這個公理系統的定理。
亞里士多德還提出了模態三段論。在這種三段論的兩個前提中，至少有一個是必然命題或偶然命題，而其他命題是實然命題。他也用一些自明的模態三段論作為公理，以推出其他正確的模態三段論。（見模態邏輯）
亞里士多德也研究了科學推理的性質及其在科學中的作用。這是一種與三段論不同的推理，三段論只要求推理形式的正確性，科學推理不只要求所用的三段論形式的正確性，而且要求所用三段論前提的真實性。科學推理和辯證推理不同。後者的前提是或然性的意見，而前者的前提都是必然性的知識，即必然命題。在亞里士多德看來，如果一個命題的主詞與謂詞之間有本質的聯絡，或者說這個命題的真實性是根據它的主詞和謂詞的定義就能建立的，這個命題就是必然命題。他進而指出，一門科學中的科學推理，除了要求它的前提是真實的和必然的，還要求：
（1）它的前提能最後從作為這門科學出發點的直接性命題推出；
（2）它的前提相對它的結論，必須是人們更好理解的；
（3）它的前提相對於它的結論，必須是理論上在先的；
（4）它的前提必須是它的結論的原因，即必須能說明它的結論的原因。在這4條要求中，①、②、③是互相聯絡的。前提是結論的原因，也就是表明前提是結論的理由。而理由相對於由理由得出的結果說，則是更好理解的，同時也是理論上在先的。
亞里士多德認為，每一門科學都有一些它必須依據但不能證明的原則，這些就是這門科學的最先原則。他所提出的一門科學的最先原則有：
（1）公理。公理是事物的最普遍規律，是學習任何知識都必須先知道的原則，因而也是任何一門科學都必須依據的原則。例如，矛盾律與排中律就是任何一門科學的公理。
（2）假設。每一門科學都有它的基本術語，都必須假定它的基本術語所表示的事物是存在的。一門科學中的假設，就是假定一門科學中的基本術語所表示的事物存在的命題。例如，在幾何中假定點和線的存在，這就是幾何學中的假設。
（3）定義。一門科學中的所有術語都必須有它們的定義，否則這門科學就是不可理解的。
亞里士多德十分重視歸納在科學認識中的作用。他有時把歸納看作由個別到普遍的論證過程，有時又看作由特殊到普遍的論證過程，有時還把它看作是人們得到普遍的直觀。他認為，人們先有關於事物的知覺，然後形成關於事物的概念，在此基礎上再應用歸納就能得到作為科學的出發點的第一原則和直接性前提。
繼亞里士多德之後出現的麥加拉－斯多阿學派邏輯，是古希臘邏輯的另一高峰。麥加拉—斯多阿學派的邏輯學家一方面受古希臘辯者的論辯術的影響，另一方面也受到亞里士多德的學生泰奧弗拉斯多的假言推理的影響，他們系統、深入地研究了命題邏輯，取得了很大的成就。麥加拉-斯多阿派的邏輯著作很多，據說有好幾百種。但已全部佚失，現只有一些第二手材料。
麥加拉-斯多阿邏輯家認為，邏輯同物理學與倫理學一樣，是哲學的一個組成部分。邏輯包括辯證法與修辭兩個部分；邏輯研究的主要物件是論證。修辭學是使人善於言辭的科學，辯證法(或辯證學)是關於通過問答進行正確討論和論證的科學。修辭學研究連續的說話，辯證法研究互相問答中的說話。
麥加拉－斯多阿邏輯明確分別符號、符號的意義與符號的所指（外延）。辯證法包括兩個方面，即符號的方面和符號的意義的方面。麥加拉－斯多阿的邏輯家把符號分為語詞和語句。語詞是不具有完整意義的表示式，語句是具有完整意義的表示式。他們又把語句區分為命題、疑問、命令、發誓與問候等。命題是或真或假的，疑問、命令……則是沒有真假的或無所謂真假的。命題又可分為簡單的與複合的。簡單命題是隻具有一個主項與一個謂項的命題，複合命題則是由簡單命題與邏輯聯結詞構成的命題。複合命題有：假言命題、選言命題與聯言命題、等值命題、因果命題等。麥加拉－斯多阿邏輯定義了論證，明確區別了具體論證和論證形式。他們還明確區別了正確的論證形式和不正確的論證形式。正確的論證形式的結論的矛盾命題與前提所組成的聯言命題是不相容的，否則是不正確的論證形式。
麥加拉-斯多阿邏輯家的最大成就，是他們實質上構造了一個命題的公理系統。他們把 5個論證形式即複合命題形式看作是不用證明的，因為它們的正確性是顯然的。他們認為，分析一個論證，就是根據 4條規則把這個論證化歸為那些不用證明的論證形式。不用證明的論證形式實質上就是公理，而 4條一般規則就是推理規則。他們已認識到，不用證明的論證形式即公理中所應用的邏輯聯結詞“如果…那麼…”、“或”、“並且”等是可以互相定義的。他們還認為，一切正確的論證形式即真值函項的複合命題都可通過他們所提出的 4條一般規則化歸為不用證明的論證形式。他們實質上認為他們的命題公理系統是完全的。
麥加拉－斯多阿邏輯家還深入討論了模態概念“必然”與“可能”的問題。第歐多魯·克羅納（約前 4世紀）從時間方面來定義必然與可能，斐洛則從事物的內在本性來定義必然與可能。克呂西波（前280～前209）基本上贊成斐洛的觀點，但他不僅考慮事物的內在本性，還考慮了事物的外部條件。他們還深入討論了假言命題和蘊涵的邏輯性質。第歐多魯·克羅納認為，“如果A則B”是真的，當且僅當在任何時候都沒有出現“A真而B假”的情況。斐洛則不考慮時間而只考慮前件與後件的真假關係，認為“如果A則B”是真的，當且僅當A是假的或B是真的。克呂西波則認為，“如果A則B”是真的，當且僅當非B與A是矛盾的。斐洛的蘊涵就是B.A.W.羅素的實質蘊涵，而克呂西波的蘊涵相當於C.I.劉易斯所說的嚴格蘊涵。
麥加拉－斯多阿邏輯家給希臘邏輯傳統增添了新的重要的內容。亞里士多德的三段論只是一元謂詞的邏輯，麥加拉-斯多阿的邏輯則是命題的邏輯。麥加拉-斯多阿邏輯家比亞里士多德更加明確地區別了語言表示式與它們的意義，並強調邏輯規律只是根據表示式的意義。
中世紀邏輯
中世紀邏輯也是希臘邏輯發展的一個重要階段。歐洲中世紀經院邏輯家主要是從阿拉伯人那裡繼承了古希臘的邏輯成果。因此，阿拉伯邏輯也是中世紀邏輯的一個組成部分。古希臘邏輯大約在公元后 5世紀開始傳入敘利亞，約 9世紀巴格達成了當時阿拉伯地區研究邏輯的中心，出現了巴格達學派。巴格達學派主要是註釋和講述亞里士多德邏輯。亞里士多德《工具論》中的 6篇、他的《修辭學》、《詩學》和波爾費留的《亞里士多德範疇引論》，是巴格達學派學習邏輯必讀的“邏輯九書”。
巴格達學派中最重要的邏輯家是法拉比。他註釋了亞里士多德的全部邏輯著作，還通過A.M.T.S.波愛修的著作研究了麥加拉－斯多阿邏輯的條件推理即假言推理和選言推理。伊本·西那反對巴格達學派侷限於註釋和講述亞里士多德邏輯，他強調對邏輯進行創新的研究，並開創了“東方學派”。他研究了直言命題的謂詞量化，也研究條件命題的質和量問題。更為重要的是他提出了命題的時間，並把命題的時間和模態結合起來。例如，“所有a都是b”，可以是①“在a存在的任何（所有）時間，所有 a都是b”，也可以是②“在a存在的有的時間，所有a都是b”。他還在有時間的命題中再加模態詞“必然”或“可能”，構成更為複雜的命題。阿拉伯另一位重要邏輯家是“西方學派”的阿威羅伊（1126～1198）。他著重要研究了亞里士多德的模態三段論，並把《工具論》中的邏輯內容系統化。
大約12～15世紀，歐洲經院邏輯繼承和發展了古希臘和阿拉伯的邏輯思想，建立了完整的經院邏輯體系，從而對希臘邏輯傳統作出了重要的貢獻。經院邏輯明確區分了範疇詞與非範疇詞。範疇詞是指謂確定的物件的語詞，如“人”。非範疇詞本身並不指謂任何物件，但它們和範疇詞聯結起來，使範疇詞以某種方式指謂某種物件，例如，“所有的”、“有的”、“非”等。
非範疇詞不僅可以和範疇詞聯結，而且可以和命題聯結，例如，“如果…那麼…”、“或”、“並且”、“非”、“必然”等。經院邏輯所說的非範疇詞，實質上就是邏輯詞項；經院邏輯還應用範疇詞定義了命題和推論的形式和內容。經院邏輯提出了關於詞項的性質的理論，特別是指代的理論。這是一種涉及量詞與語言層次的理論，是經院邏輯中很有獨創性的部分。
在模態邏輯方面，經院邏輯明確區分了命題模態和事物模態。如果一個模態詞作為整個命題的謂詞，那麼它就是命題模態；如果一個模態詞作為命題中的謂詞的形容詞，那麼它就是事物模態。前者如“蘇格拉底在跑動是可能的”，後者如“蘇格拉底可能在跑動”。經院邏輯把命題模態和事物模態同命題的合與分聯絡起來。例如，“一個坐著的人在走動是可能的”，這是一個在合的意義下的命題，也是一個命題模態。“一個坐著的人是可能（能夠）走動的”，這是一個分的意義下的命題，也是一個事物模態。前者是一個假的命題，但後者卻是一個真的命題。經院邏輯家偽司各特構造了一個模態三段論系統，在每一個模態三段論中，有一個前提是在合的意義下的命題，而另一個前提是在分的意義下的命題。奧康的威廉則根據大、小前提是合或分的意義下的命題，構造了 4種不同的模態三段論。
經院邏輯家認為，邏輯是關於思想或意義的科學，特別是關於非範疇詞的意義的科學。邏輯同語法、修辭、算術、音樂、建築學和天文學一樣，是神學的支柱或婢女，但卻不是神學的一部分。
近代西方邏輯
隨著16世紀實驗科學的出現，人們對邏輯這門科學產生了新的要求。F.培根認為，當時流行的演繹邏輯已不能滿足科學發展的需要。他企圖創造一種新的邏輯作為科學的新工具。他認為，演繹只能闡明已經發現的東西，只能判定由一些思想推出另一個思想的過程是正確的或錯誤的，只是歸納才能發現真理，才能發現事物的規律。培根的歸納方法不同於簡單列舉的歸納，後者在亞里士多德和伊壁鳩魯學派（見伊壁鳩魯和伊壁鳩魯學派）的著作中早已提出過。培根的歸納方法，是一種設計實驗並由實驗結果找出事物規律的方法。他提出了有名的三表法：
（1）出現表，羅列所研究的現象出現的所有情況；
（2）不出現表，羅列所研究的現象不出現的所有情況；
（3）程度表，羅列所研究的現象在程度上的各種變化。通過這 3個表就可找出所研究的現象的原因和規律。
培根認為，作為科學的新工具的邏輯應包括 4個部分：
（1）發現的方法，在這裡應用歸納由事實得出事物的普遍規律，或由事物的普遍規律得出更普遍的規律；
（2）思想的方法，即演繹推理的方法；
（3）記憶的方法，例如，應用一些口訣的方法幫助記憶；
（4）傳遞的方法，這裡包括如何準確地表達自己的思想和有效地把自己的思想傳達給別人。
J.S.密爾繼承和發展了培根的歸納法，他提出了求因果五法，即契合法、差異法、契合差異並用法、剩餘法和共變法（見密爾求因果五法）。密爾五法是培根三表的發展，密爾不僅把五法看作指導實驗的方法，而且把五法看作歸納推理的模式。
培根雖然批評亞里士多德的三段論，但並未否定三段論的正確性。密爾則同古希臘懷疑論者一樣，認為三段論是犯了“假設論題”的錯誤。在他看來，三段論的普遍前提，實際上只是一些特殊事例的總和，因而三段論只是由特殊前提到特殊結論的類比推理。
R.笛卡爾則從另一個角度批判當時的演繹邏輯，他強調數學的方法作為研究科學的新方法。他認為，理智有直觀與推理兩種活動，在直觀中我們應形成清楚明確的概念，然後應用推理特別是數學的推理從這些清楚明確的概念得出必然的結論。他在其《指導理智的規則》和《論方法》中，提出許多關於得到清楚明確的概念和進行正確推理的具體規則。
I.康德認為，在普通邏輯即形式邏輯之外，還有先驗邏輯。先驗邏輯分為先驗分析（或分析學）和先驗辯證法兩個部分。在先驗分析中，康德分析了知識即先天綜合判斷中的先天因素。他認為，知性中有12個先天範疇，經驗和知識是知性把這些先天範疇應用於感性材料的結果。他把這12個範疇分為 4組，即量範疇、質範疇、關係範疇和模態範疇。相應於這 4組範疇，他提出知性的 4個原則，即直觀公理、知覺預期、經驗類比和經驗的思想公設。先驗辯證法是分析理性超出了經驗範圍所產生的謬誤。
康德的先驗邏輯是以亞里士多德的邏輯為框架的。在亞里士多德的《工具論》中，有《前分析篇》，《後分析篇》和討論辯證法的《論辯篇》。康德的先驗邏輯中相應地則有“關於範疇的分析”，“關於原則的分析”和先驗辯證法。但是，《工具論》中的“分析”和“辯證法”與先驗邏輯中的“分析”和“辯證法”迥然不同。《工具論》的邏輯是從真假這個角度來討論命題和命題之間的推理關係，而先驗邏輯卻是討論判斷形式、範疇與原則在形成知識中的認識作用。先驗邏輯不是嚴格意義的邏輯，而是康德唯心主義認識論中的重要部分。
G.W.F.黑格爾發展了康德先驗邏輯的理論。全面地和系統地敘述了思想範疇的辯證發展。黑格爾認為思想範疇也就是存在範疇。因此，黑格爾的邏輯也就是他的絕對唯心論的認識論和本體論。這樣的邏輯完全不同於亞里士多德開創的演繹邏輯和培根開創的歸納邏輯。
現代邏輯
現代邏輯的主流是數理邏輯，此外也包括非經典的邏輯。現代歸納邏輯和自然語言邏輯也屬於現代邏輯的範圍。
數理邏輯
數理邏輯是一門邊緣性的科學。它一方面應用數學方法研究邏輯問題，另一方面又應用邏輯的成果去研究數學的基礎和方法。這兩方面的研究，是緊密聯絡、互相促進和逐步提高的。經過近百年來的發展，數理邏輯已具有非常豐富的內容。它包括了五個部分，即邏輯演算、集合論、證明論、模型論和遞迴論。第一個部分是嚴格意義下的數理邏輯；後四個部分已成為數學的分支，屬於廣義的數理邏輯。
形成
17世紀的萊布尼茨最先明確地提出了關於數理邏輯的根本思想。他認為，象算術和代數表示數的規律那樣，人們可以創造一個無歧義的符號體系來表示人的思想。在這個符號系統中，複雜的概念分析成一些簡單的概念，概念與概念之間的關係成為符號與符號之間的機械的關係，推理的程序成為符號的演算程序。萊布尼茨本人未能實現他的這個設想，但這個思想卻推動了數理邏輯的建立和發展。
1847年，G.布林構造了一個邏輯代數系統。這個系統可以有幾個不同的解釋。在其中一個解釋下，這個系統就成為命題邏輯，在另外一個解釋下，就成為類邏輯。布林這個系統，是近代應用代數方法研究邏輯的第一個成果。
1848年，A.德摩根發表了他應用數學方法研究關係邏輯的成果。這就突破了亞里士多德直言三段論的界限。
G.弗雷格為了邏輯證明的嚴格性和探討能否從邏輯推出數學，就構造了一個邏輯系統。他在1879年出版的《概念文字》一書中，應用A，B，C，……作為代表命題的符號，應用兩種圖形的符號分別表示否定和蘊涵這兩個邏輯概念。他列舉了其中包括全稱量詞和等詞的 9條公理，並明確地提出肯定前件推理和替換作為推理規則。這是歷史上第一個本身具有推理規則的一階邏輯公理系統。弗雷格也區別了作為研究物件的物件語言和用來研究物件語言的元語言。
G.F.P.康托爾為了研究函式論的需要，開始了對無窮集合的研究，從而在19世紀70年代建立了集合論。康托爾在他的集合論中，肯定了實無窮。他應用一一對應的概念，把無窮集合定義為“和自己的真部分一一對應的集合”。他證明了一切代數數由於和正整數一一對應都是可數的，但實數則是不可數的。他應用一一對應來比較兩個集合的大小，並利用了序集和冪集理論證明了有不同大小的無窮多個的無窮集合，而自然數集是最小的無窮集合。康托爾已猜想到連續統是大於自然數的基數的第一個超窮集合，但他沒有能夠對此作出證明（見連續統假設）。康托爾關於實無窮的理論涉及數學性質的根本問題，對數理邏輯的發展起了重要的推動作用。
非歐幾何出現以後，它和歐幾里得幾何的一致性問題成為數學家關心的問題。為此，D.希爾伯特在其《幾何基礎》一書中構造了歐幾里得幾何的形式公理系統。他應用了 “點”、 “線”、 “面”、 “在…之上”、“在…之間”、“合同於”、“平行”、“連線”等語詞，並由它們構成公式。他還列舉出 5組公理，由它們能夠推出歐幾里得幾何的所有定理。“點”、“線”、“連線”這些語詞，嚴格地說，都是沒有意義的符號，只有經過解釋之後，這些符號才具有幾何的意義，由它們構成的公理才是幾何公理，這個公理系統才是幾何公理系統。希爾伯特在實數理論中為這個形式公理系統構造了一個模型，從而證明該系統的相對一致性。希爾伯特的形式公理系統是公理理論的重大發展，成為數理邏輯中的一個重要成分。
1900年，希爾伯特發表了他關於“數學問題”的講話，其中提出有名的23個數學問題。第一個是關於集合論中的連續統假設與良序定理的問題，第二個是關於實數理論的一致性問題。此後幾年，關於數學基礎的問題，爭論非常熱烈。爭論的焦點是：如何在公理系統中防止悖論，有無實無窮和數學能否化歸為邏輯。
羅素贊成弗雷格的看法，認為數學能夠從邏輯推出。弗雷格和羅素這種看法通常叫做邏輯主義。在羅素與A.N.懷特海合寫的《數學原理》一書中，在應用無窮公理與選擇公理的條件下，推出了大部分數學。但這兩條公理卻不是邏輯的規律。因此，羅素與懷特海由邏輯推出數學的工作是不成功的。不過，由於他們的工作，數學與邏輯的差別和聯絡卻變得明確了。此外，在《數學原理》中，他們構造了一個命題演算和謂詞演算，發展了關係邏輯，提出了高階邏輯和防止悖論的型別論。
從1907年起，L.E.J.布勞維爾開始批評康托爾、羅素和希爾伯特關於數學性質的理論。象康德一樣，布勞維爾認為數學來源於直觀的先驗形式，因而數學是不能從邏輯推出的。他也不承認實無窮，認為無窮只是一種無限增長的可能，只有自然數和它的某些基本規律如數學歸納法才是直觀上最可靠的，因而一切數學都必須由此構造出來。他還認為，一個數學物件，只有能給出得到它的計算方法，才是數學中的存在；一個公式，只有能給出它的構造性證明，才是一條定理。布勞維爾不承認應用間接證明的方法推出的數學定理。他也不承認排中律，認為在一個系統中一個命題是真的，就是這個命題是在這個系統中能證明的；一個命題是假的，就是這個命題是在這個系統中能否證的，即這個命題的矛盾命題是能證明的。顯然，在一個系統中有些命題是既不能證明也不能否證的，因而有些命題就既不是真的也不是假的。所以，排中律不是一條普遍有效的邏輯規律。布勞維爾的上述看法，通常叫做直覺主義。
1930年，A.海廷(1898～)構造了一個直覺主義的邏輯演算。在這個演算中，p∨塡p和塡塡p→p都不是定理，但p→塡塡p卻是定理。
希爾伯特不贊成羅素的邏輯主義，因為邏輯和數學必須同時建立，數學要假設邏輯，邏輯也要應用數學。希爾伯特也不贊成布勞維爾的直覺主義，因為直覺主義要排斥一大部分極有價值的古典數學，而且悖論的產生也不是由於肯定了實無窮。希爾伯特認為，如果一個數學理論肯定了實無窮，而不引起邏輯矛盾並且還能簡化理論和取得實用方面的成果，那麼，肯定實無窮作為一個理想的元素是完全正確的。為了證明那些肯定實無窮的古典數學的正確性，他力圖證明古典數學的無矛盾性或一致性。1922年，希爾伯特提出了人們所謂的“希爾伯特方案”。他認為，我們可以把古典數學的某一分支如初等數論，加以嚴格化並加上邏輯演算，以構成一個形式公理系統。然後再構造一個相應於該形式公理系統的形式語言系統。
為了研究這個形式語言系統的性質，還必須建立一個不假定實無窮的邏輯系統和一個不假定實無窮的初等數論。這樣的邏輯系統加上這樣的初等數論，希爾伯特稱之為“元數學”。由於這個形式系統可以解釋為例如初等數論，如果應用元數學能證明這個形式語言系統的無矛盾性或一致性，那麼也就證明例如初等數論是無矛盾的或一致的。通過應用元數學來研究一個形式語言系統，特別是研究其中的證明的邏輯，從而證明這個形式語言系統的無矛盾性，是希爾伯特的“證明論”的基本內容。後來有些人把他的這種觀點叫做形式主義。
K.哥德爾於1930年發表了一篇重要論文《邏輯謂詞演算公理的完全性》。在這篇論文中，他證明了謂詞演算的完全性，即謂詞演算的所有常真公式都是謂詞演算的定理。他也證明了緊緻性定理，即一可數無窮多公式的系統是可滿足的，當且僅當它的任一有窮子系統是可滿足的。 1931年， 哥德爾又發表一篇極其重要的論文《PM及有關係統中的形式不可判定命題》。在這篇論文中，他證明了兩條不完全性定理：
（1）如果一個包括初等數論的形式系統是一致的，則它是不完全的；
（2）如果一個包括初等數論的形式系統是一致的，則它的一致性不能在它本身中得到證明。哥德爾的研究成果，不但對於數學理論系統是非常重要的，而且對於哲學和認識論也是重要的。
1936年，A.丘奇(1903～)在他的《關於判定問題》這篇論文中證明：如果一個形式算術系統是一致的，則沒有一個判定程式來確定這個系統的任一公式是不是定理。這篇論文也證明了謂詞演算一般是不可判定的。
哥德爾在20世紀30年代初的成果，標誌著數理邏輯的發展已進入一個新階段。這時數理邏輯的基本情況是：
（1）在邏輯演算方面，一階邏輯最重要的元定理都已證明。早在1885年C.S.皮爾士就已提出了命題邏輯的判定方法。1921年E.L.波斯特(1897～1954)證明了命題演算的一致性和完全性；1928年希爾伯特與W.阿克曼(1896～1962)證明了一階謂詞演算的一致性；哥德爾證明了一階謂詞演算的完全性；丘奇證明了一階謂詞邏輯的不可判定性。由此表明，一階邏輯已進入它的成熟階段。
（2）在數學基礎方面，邏輯主義、形式主義和直覺主義之間的爭論已經基本平息。三派理論中的錯誤部分已被拋棄，而合理成分則保留為數理邏輯的內容。
（3）在數理邏輯的方法方面，形式系統的方法已經確立，遞迴方法和模型方法已開始應用。數理邏輯已形成了它自己的特殊研究方法。
發展
30年代中期以後，數理邏輯仍繼續向前發展。邏輯演算、形式語言的方法日益嚴格化，構造了一些新的邏輯演算系統和對元定理的新證明，應用了自然推理和進行對高階邏輯的研究。但更為重要的是數理邏輯在集合論、證明論、模型論和遞迴論方面的發展。
為了克服康托爾的集合論即樸素集合論所產生的悖論，E.策爾梅洛 (1871～1953)、A.A.弗蘭克爾(1891～1965)、J.von諾依曼(1903～1957)和 P.貝奈斯(1888～1977)等人採取形式公理系統的方法來研究集合論，從而建立了形式公理集合論。形式公理集合論除了處理樸素集合論的那些內容外，還研究集合的模型、各公理之間的關係、各系統之間的關係等理論。
希爾伯特在哥德爾不完全性定理髮表以後，放棄了他應用“元數學”去證明古典數學一致性的看法。G.根岑(1909～1945)在希爾伯特的“元數學”中加上超窮歸納法，於1936年證明純粹數論的一致性。後來，又經過K.舒提等人的工作，證明論成了數理邏輯的一個分支。
數理邏輯關於形式語言的研究，必然要涉及語形和語義的問題。R.卡爾納普在30年代研究了形式語言的語形方面。1933年，A.塔爾斯基在他的《形式語言中的真理概念》這篇論文中，提出了關於形式語言的語義的系統理論，從而開創了模型論這一數理邏輯的分支。
R.戴德金德(1831～1916)和G.皮亞諾都早已應用了遞迴方法。哥德爾在不完全性定理的證明中則大量應用了遞迴方法並於1934年在一次講演中提出一般遞迴的概念。後來S.C.克利尼(1909～)在他的《自然數的一般遞迴函式》（1936）中，給出了一般遞迴的嚴格定義。丘奇於1936年證明了能行可計算函式與一般遞迴函式等價；他與克林又證明了一般遞迴函式與λ可定義性等價(見能行性與一般遞迴)。英國的A.M.圖林(1912～1954)於1936～1937年提出了理想計算機的理論，並證明圖林可計算性與λ可定義性也是等價的（見圖林機器理論）。這一系列的成果就構成了遞迴論。
非經典邏輯
布林邏輯代數、羅素和懷特海的邏輯演算以及希爾伯特和阿克曼的邏輯演算，都是二值的外延邏輯。這些邏輯體系中的命題或命題形式，只能有而且必須有真和假這二值之一。其中的邏輯詞項，如“不”、“或”、“和”、“如果……，那麼……”、“所有的”、“有的”等，都是真值函項的或外延性的語詞。這樣的二值外延邏輯演算或邏輯體系，被稱為經典的邏輯演算或邏輯體系。非經典的邏輯演算或邏輯系統，就是非二值的或非外延的邏輯演算或邏輯系統。模態邏輯、多值邏輯、道義邏輯、認知邏輯、時態邏輯等都屬於非經典邏輯的範圍。
模態邏輯
劉易斯在他1914年發表的《嚴格蘊涵的演算》和《蘊涵的矩陣代數》兩篇論文中，構造了一個模態命題演算。後來他又提出了5個模態命題演算:S1，S2，S3，S4，S5。它們是在古典命題演算中再加入“◇” 這一基本符號以及相應的形成規則、公理和推理規則而形成的模態命題演算。在S1， S2， …，S5中，通過定義引入“□”與“劏”這兩個符號。“◇p”“□p”與“p劏q”分別解釋為:可能p，必然p與p嚴格蘊涵q。◇、□、劏和經典命題演算中的邏輯聯結詞不同。經典命題演算的邏輯聯結詞，都是真值函項的。例如，塡p的值是由p的值唯一地決定的：p真則塡p假，p假則塡p真。但模態命題演算中的◇、□與劏，則不是真值函項的。例如，◇p的值就不是由p的值唯一地決定的，因為p假則◇ p既可以真也可以假。
1946年，M.巴坎與卡爾納普各自獨立地構造了一個模態謂詞演算。模態謂詞演算實質上是在模態命題演算中再加入量詞、個體詞與謂詞的結果。
對模態邏輯的語義方面的研究，從40年代後期開始取得重要的成果。1947年，卡爾納普對模態邏輯的語義提出了初步的系統理論。50年代後期，S.康格爾、J.辛迪卡與S.A.克里普克等人進一步發展了模態邏輯的語義理論。克里普克應用“可能世界”來說明必然與可能。在可能世界ｗ1中必然p，就是在ｗ1的所有的可及的可能世界中p都是真的。在可能世界ｗ1中可能p，就是在ｗ1的有的可及的可能世界中 p是真的。應用“可能世界”的語義理論就可定義模態邏輯的常真公式，從而證明模態演算的完全性定理。
多值邏輯
稍後於劉易斯的模態邏輯，又出現了另一種非經典邏輯，即多值邏輯。多值邏輯體系中的命題，可以有三值，四值，…，n(>2)值。J.盧卡西維茨 (1878～1956)在他的《三值邏輯》 (1920)論文中，首先提出了多值邏輯的思想。他認為，關於未來事件的命題，如亞里士多德所說的“明日有海戰”，既不是真的，也不是假的，而是真假未定的。他在真假二值外，提出“未定”作為命題的第三個值。波斯特則於1921年發表了他的多值邏輯體系。H.賴興巴赫認為，三值邏輯適用於量子力學。50年代以後，J.B.羅塞、A.R.圖爾克韋特、克利尼等發展了多值邏輯，把三值推廣到 n值。
道義邏輯和認知邏輯
1951年， G.H.von萊特在他的《道義邏輯》這篇論文和《模態邏輯》這本書中，提出了兩種非標準的模態邏輯，即道義邏輯和認知邏輯。在道義邏輯中，萊特應用Ａ，Ｂ，C作為表示行為的變元，除了古典命題邏輯的聯結詞之外，他還應用了“P”這一符號。“PA”表示“Ａ是許可的”（或“許可Ａ”），“～PA”表示“Ａ是禁止的”(或“禁止 A”)。他用“～P～Ａ”來定義“OA”，“OA”表示“Ａ是應當的”（或“應當Ａ”）。他提出道義模態邏輯的幾條原則。例如，許可原則與分配原則。由許可原則可得出PA∨P～Ａ；由分配原則可得 P(Ａ∨Ｂ)凮(PA∨PB)。他還提出道義邏輯的正規化，並用它來判定一個道義命題形式是或不是道義邏輯的重言式。
在認知邏輯中，萊特應用ａ，ｂ，с，…表示命題。“Ｖａ”表示“命題ａ是被證實的”，“Fａ”表示“命題ａ是被否證的”。“Fａ”可定義為“V～ａ”。同樣地，他也提出了認知邏輯的正規化，並用它來判定一個認知命題形式是或不是認知邏輯的重言式。萊特的著作發表以後，引起了許多邏輯家對道義邏輯和認知邏輯的濃厚興趣，從而陸續產生了許多道義邏輯和認知邏輯的系統。
時態邏輯
20世紀50年代中期，A.N.普里爾提出了時態邏輯。他用“Pnp”表示“過去n天有情況p”(如以一天為時間單位)，用“Fnp”表示“n天后有情況p”，用“Fop”表示“現在有情況p”。他在一個完全的經典謂詞演算上再增加幾條關於時態的公理，構造了一個時態邏輯演算。他還在時態邏輯演算中定義了 Lp（必然p）與Μp（可能p）。他的時態邏輯演算也可看作古希臘第歐多魯·克羅納解釋下的模態邏輯演算。
現代歸納邏輯
歸納邏輯的研究在20世紀也有所發展。1921年J.M.凱因斯構造了一個歸納概率的公理系統。30年代賴興巴赫又構造了一個新的歸納邏輯體系。從40年代起，H.詹弗瑞、萊特、卡爾納普、辛迪卡等人又先後提出了一些不同的歸納理論與系統。
自然語言邏輯
20世紀50年代中期開始，美國語言學家A.N.喬姆斯基應用一些數理邏輯的方法來研究自然語言的語法，邏輯學家R.蒙塔古則應用形式系統的方法來研究自然語言的語義和語法。現在有不少人從事自然語言邏輯的研究，出現了許多關於命令句邏輯、問句邏輯和語用邏輯的理論和體系。
趨勢
現代邏輯的各個分支，正在以不同的速度向前發展。新的邏輯分支，特別是研究具體科學中邏輯問題的應用邏輯，將會不斷出現。邏輯在各門具體科學的研究中和各種社會活動中，必然起著越來越重要的作用。
參考書目
金嶽霖主編：《形式邏輯》，人民出版社，北京，1979。
T.塔爾斯基著，周禮全、吳允曾、晏成書譯：《邏輯與演繹科學方法論導論》，商務印書館，北京，1963。
威廉·涅爾、瑪莎·涅爾著，張家龍、洪漢鼎譯:《邏輯學的發展》，商務印書館，北京，1985。
A.Church， Introduction toMathematical Logic， Princeton，1956.
R.Carnap， LogicalFoundationof Probability，London，1950.