共混聚合物

[拼音]：weifen chafen fangcheng

[英文]：differential-difference equation

常微分方程是含有未知函式及其導數的方程，差分方程中含有未知函式及其差分，但不含有導數，微分差分方程是同時含有未知函式及其導數和差分的方程。它同時具有常微分方程與差分方程的特點，而以二者作為特殊情況。從歷史發展看，微分差分方程的產生和發展並不是二者形式上的推廣，而是來自許多不同學科的實際問題。

對一個物理或技術系統，往往要考慮時間延遲的作用。例如在火箭控制理論中，燃燒室壓力x(t)的運動方程為

，

壓力的變化率凧(t)不僅依賴於當時的壓力x(t)，而且明顯地依賴於過去的壓力狀況 x(t-τ)，τ稱為時滯，它反映燃料從射入燃燒室加熱到即將燃燒的臨界狀態需要一段時間。這個方程是一種簡單的含常數偏差變元的微分方程。

考慮多個時滯的微分差分方程

， (1)

式中時滯hk(k=1，2，…，m)為常數，如果這些常數全為正，稱(1)為滯後型方程；如果全為負，稱(1)為超前型方程。如果方程右端還有導數的滯後項

稱為中立型方程。對於高階方程或者方程組也有類似的分類。

20世紀30年代起對偏差變元微分方程進行了系統的研究。R.貝爾曼和K.L.庫克(1963)，Л.Э.埃利斯戈爾茨(1964)總結了1960年以前的成果。50年代末H.H.克拉索夫斯基(1959)把偏差變元微分方程放到函式空間來考慮，如(1)中的偏差滿足條件

，則(1)的右端可看為[t-hm ，t]上函式x(·)的泛函，從而微分差分方程成為推動泛函微分方程發展的基本原型。微分差分方程特別是滯後型方程在物理學、力學、控制理論和技術以及生物學、經濟學等領域有廣泛的應用。

初值問題

滯後型方程(1)(其中

)在時刻t0的初值問題是在初值條件x(t)＝φ（t），-hm≤t≤t0之下求t>t0的解x(t)。通過把這個問題化為常微分方程的分步法，可以討論解的存在性、惟一性問題，並對簡單的方程逐步求解。在區間t0≤t≤t0+hm上等價的常微分方程初值問題為

。

設ƒ(t，x，y1，…，ym)在

連續，且|ƒ|≤M，φ(t)是區間[t0-hm ，t0]上的連續函式，則在區間

上方程(1)存在滿足初值條件 x(t)＝φ(t)，t0－hm≤t≤t0的連續解x（t）呏x（t；t0，φ）。若ƒ(t，x，y1，y2，…，ym)對 [-hm ，0]上每個φ(t)，函式ƒ（t，φ(t)，φ(t-h1)，…，φ(t-hm)）是連續的，且ƒ關於x，y1，y2，…，yn在 (t0，φ(t0)φ(t0-h1)，…，φ(t0-hm)的小鄰域內滿足李普希茨條件(見常微分方程初值問題)，則上述解是惟一的，並且解關於初值函式φ是連續依賴的。用不動點定理（見不動點理論）和格朗瓦爾不等式可以證明上述存在性和惟一性。對於中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函式φ(t)應是可微的。

若ƒ 關於變數有足夠多次的連續導數，滯後型方程(1)的解在向右開拓時，光滑度增加，若0