非牛頓流體力學
[拼音]：jixian
[英文]：limit
分析數學中最基本的概念之一，用以描述變數在一定的變化過程中的終極狀態。早在中國古代，極限的樸素思想和應用就已在文獻中有記載。例如，3世紀中國數學家劉徽的割圓術，就是用圓內接正多邊形周長的極限是圓周長這一思想來近似地計算圓周率 π的。隨著微積分學的誕生，極限作為數學中的一個概念也就明確提出。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數學界引起不少爭論甚至懷疑。直到 19世紀，由A.-L.柯西、K.（T.W.）外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置於嚴密的理論基礎之上，從而得到舉世一致的公認。
凡本質上與極限概念有關的數學分支統稱為分析數學，以區別於完全不用這一概念的代數學。幾何學的各分支絕大部分也直接或間接地與極限概念密切相關。
數列的極限
已給一數列α1，α2，…，αn，…或簡記為{αn}，以
A
為極限是指：任給
>0，必存在自然數N，使當n>N 時，恆有｜αn-
A
｜<
。這一事實記為
。
一數列{αn}有極限存在的充分必要條件為:任給
>0，必有自然數N存在，使當m，n>N 時，恆有
。這叫做極限存在的柯西準則。
數列極限有以下的四則運演算法則：設
，
，則有
，
，
。
任給一數列{αn}，它不一定有極限，例如
1，-1，1，-1，…，(-1)n
，…，1，3，5，7，…，2n-1，…，
都沒有極限，但對後一數列，也稱它為趨於+∞（正無窮大）。一般地說數列{αn}趨於正無窮大，是指:任給正數M，必有自然數N 存在，使當 n>N 時，恆有αn>M，記作
。
同樣，在上述定義中，如把不等式 αn>M改為αn<-M，則稱
；
又若將此不等式改為｜αn｜>M，則稱
。
數列極限的理論也是級數理論的基礎。
函式的極限
設ƒ(x)是在x=α附近有定義的一個函式（但ƒ(α)可以沒有意義），則ƒ(x)當x→α時以
A
為極限是指：任給
>0，必有δ>0存在，使當0<｜x-α｜<δ時，恆有｜ƒ(x)-
A
｜<
。這一事實記作
。(1)
函式ƒ(x)當x→α時有極限的充分必要條件是：任給ε>0， 必有δ>0存在， 使當0<｜x-α｜<δ， 0<｜x′-α│<δ時， 恆有｜ƒ(x)－ƒ(x′)｜<
。這是函式極限存在的柯西準則。
對於函式極限，也有四則運演算法則如下：設
，
，
則
，
，
。
一般，
不一定存在，稱
是指：任給M>0， 必有δ>0存在，使當0<｜x-α｜<δ時恆有ƒ(x)>M。類似地，還有
，
，
等等情況；例如，上面最後一式是指:任給M>0，必有N>0存在，使當x<-N 時，恆有ƒ(x)>M。
如果在(1)式中限制x>α（或x<α），則記為
，
這時稱 A為ƒ(x)當x→α時的右（或左）極限。顯然極限(1)成立的充分必要條件是這兩個左右極限都等於
A
。函式極限與數列極限有如下的關係。仍設ƒ(x)在x=α的附近有定義，則(1)式成立的充分必要條件是：任取數列{xn}(xn≠α)使得xn→α，則必有ƒ(xn)→
A
。由這個命題就可把函式極限的問題轉化為數列極限的問題來考慮。利用極限的四則運算可求出一些初等函式的極限，但也有許多極限不能用這種方法求得。下列兩個重要極限就是這樣的例子。
，
。
這兩個極限之所以重要，是由於在微分學中，三角函式、反三角函式、指數函式、對數函式的求導公式就是建立在它們的基礎之上的。
多元函式的極限
上述函式極限指的是一元函式的情況。這一概念及其運演算法則也可推廣到多元函式的情況。設ƒ(x1，x2，…，xn)為一個n元函式，在(α1，α2，…，αn)附近有定義，記x=(x1，x2，…，xn)，也可說x是一個n維向量或n維空間中的一點，又記α=(α1，α2，…，αn)。這時(1)式的定義仍可用，只是0<｜x-α｜<δ中的｜x-α｜要理解為
，於是這個不等式實際上是
(2)
這個不等式也可換作
，(3)
但x≠α即xi=αi不能對i=1，2，…，n均可成立。
無窮小量與無窮大量
在某變化過程中，極限為0的變數(包括數列和函式)稱為無窮小量。以函式為例，設
lim ƒ(x)=
A
(4)（x→α或x→±∞等均可，但這一過程保持不變，略去不寫），則α(x)=ƒ(x)-
A
為無窮小量，即ƒ(x)=
A
+α(x)；(5)反之，如(5)式成立，式中α(x)為一無窮小量，則(4)式成立。由於這一原因，討論以常數為極限的變數可以轉化為討論無窮小量的情形，因而後者有其特殊的重要地位。
若ƒ(x)，g(x)為(在自變數x的同一變化過程中的)兩個無窮小量，在很多情況下可進行階的比較：
（1）若
，則稱ƒ(x)為g(x)的高階無窮小(量)，或稱g(x)為ƒ(x)的低階無窮小。
（2）若
，則稱 ƒ(x)與g(x)為同階無窮小；特別，如
A
=1，則稱ƒ(x)與g(x)為等價無窮小。注意，同階無窮小ƒ(x)與g(x)有時也理解為
，
而不必
存在。
（3）若
，則稱ƒ(x)為g(x)的k階無窮小，這裡k為某確定的正數。
如在某變化過程中，ƒ(x)→∞，則稱它是無窮大量，這時顯然
，為無窮小量。反之，如ƒ(x)為一無窮小量（但≠0），則
為無窮大量。因此無窮小量與無窮大量之間可互相轉化。對於無窮大量，也有類似的階的比較。
如
為無窮小量，則常記
ƒ(x)=O(｜g(x)｜)（在一定的變化過程中）；
如
為有界量，即
，則可記為
ƒ(x)=O(｜g(x)｜)（在一定的變化過程中）。
複數列與複函式的情況
有關數列極限、函式極限的概念及其判別準則和四則運演算法則，都可推廣到復變數和複函式的情況，這時實數的絕對值就要用複數的模來代替。特別注意，對於多元複函式的極限情況，不能再用(2)式而必須用(3)式。複函式的極限概念是複變函式論的基礎。極限概念還可推廣到向量值函式（見向量分析）甚至更為一般的情況。