消聲室

[拼音]：youxinlichang

[英文]：central-force field

質點所受力的作用線恆通過一固定點，且其模為兩點距離的函式的力場。在太陽系中，太陽和各行星的質量比很大，可認為太陽是固定的。行星圍繞太陽執行時所受的太陽引力就是近似的有心力，因為這些力既通過太陽中心，又與行星到太陽的距離平方成反比。既然這些力只與行星的位置有關，故太陽系所在的空間，除行星附近以外，其引力場是有心力場。有心力場之所以重要是因為它在研究行星和航天器的運動以及電子和a粒子在核電場中的運動中有廣泛的應用。

有心力對其力心的矩為零，根據動量矩定理，質點對力心的動量矩是常向量，因此，運動軌道是平面曲線。此時，用極座標描述質點在有心力場中的運動比較方便。若以Ox（圖1）作為參考線，只受有心力作用的質點Q的極座標為：

r＝r(t)和 嫓＝嫓(t)。

如將Q點的運動分解為沿矢徑的相對運動和矢徑繞O轉動的牽連運動，可得到：

徑向速度

，

橫向速度

。 如以

r

°和

n

°分別表示徑向和橫向單位向量，則Q點的速度向量可寫為：

υ

=

υ

r+

υ

e=妝

r

°+r夓

n

°，

式中

υ

r和

υ

e分別為Q點的相對速度和牽連速度。

Q點的加速度由三部分組成（圖2）：

相對加速度

a

r=惞

r

°；

牽連加速度

a

e=-r夓2

r

°+r徦

n

°；

科里奧利加速度

a

C=2夓妝

n

°。因此，質點Q的加速度可分解為徑向和橫向兩部分：

a

=(惞-r夓2)

r

°+(r徦+2妝夓)

n

°。

質點只受有心力作用時，其向量在平面上單位時間掃過的面積稱為面積速度。設

為面積速度，

r

為質點的矢徑，

υ

為質點的速度，則

， (1)

式中

垂直於

r

和

υ

所成的平面。另外，

還可寫為：

式中

°為沿

的單位向量；

為面積速度值。由於

r

=r

r

°，

υ

=妝

r

°+r夓

n

°

代入式(1)後得：

。

因而面積速度值為：

。

質點在有心力場中運動時，滿足面積定律：質點在有心力場中運動時，矢徑掃過的面積速度守恆。J.開普勒從行星運動的觀察記錄中得到這一經驗規律，稱為開普勒第二定律（見開普勒定律）；但此定律並不只適用於平方反比律的力，而且適用於有心力運動的一般情況。從有心力場中運動質點對力心的動量矩守恆，即

r

×m

υ

＝m(

r

×

υ

)＝2m

＝常向量，得到

＝常向量，因而

(2)

或寫為：

r2夓=C 。 (3)

積分式(2)，得到：

S=C1t+C2。

這就是面積定律的數學表示式。

若質點Q在有心力場中運動（圖3）。將m

a

＝

F

在矢徑上投影，因

F

沿徑向，故有：

m(惞-r夓2)=±F 。 (4)

這就是以極座標表示的有心力場中質點的運動微分方程，式中正號表示斥力的情況；負號表示引力的情況。牛頓萬有引力場具有引力的特性，而在庫侖靜電場中吸引和排斥都有可能。 如令式(3)中的r＝1/u， 則可將妝、惞寫作：

。

把夓和惞代入式(4)後，即得出比奈公式：

利用這個公式，可從質點執行的軌道決定它所受的力;反之，也可從質點所受的有心力決定它的軌道。

參考書目

J.B.Marion， ClassicalDynamics ofParticles and Systems，2nd ed.，Academic Press，New York，1970.