恆星大氣的吸收和散射
[拼音]：jiexi hanshu
[英文]：analytic function
能展開成冪級數（見解析函式項級數）的函式。它是複變函式研究的主要物件。設ƒ(z)是定義在平面開集D內的一個單值的復值函式，α是D內一點。若ƒ(z)在α的一個鄰域內可表為以 (z-α)為項的冪級數
，則稱ƒ(z)在α處是解析的；若ƒ(z)在D內處處是解析的，則稱ƒ(z)為D內的解析函式。
全純函式
又稱正則函式。歷史上對解析函式的研究是從多方面開始的。設ƒ(z)是平面開集D內的複變函式，z是D內一點，若極限
(1)
存在且有限，則稱ƒ（z）在z處可導，這個極限值記為ƒ′(z)，稱為ƒ(z)在z處的導數。這是實變函式導數概念在複平面上的形式推廣。不過這種推廣所蘊涵的內容十分豐富，這是因為(1)中的z+h乃是z的二維鄰域內的任一點，極限(1)存在的條件就要強得多。
記
則
。若ƒ(z)在z處可導，則
在(x，y)處可全微分並且滿足等式
，(2)
習慣上稱此為柯西－黎曼方程。不過，J.le R.達朗貝爾在流體力學的研究中早已獲得這組等式；而最早弄清複變函式可微條件的是L.尤拉。所以這組等式又稱為達朗貝爾－尤拉方程。
設ƒ(z)在D內連續，у是D內一路線，引數方程為z(t)，0≤t≤1。復積分
(3)
可視為路線у的泛函。A.-L.柯西研究了復積分(3)的值僅與路線端點有關的條件，他證明了：若ƒ(z)在單連區域D內處處有連續導數，則復積分
的值將無關於у的選擇，而只決定於у的端點(1825)。É.-J.-B.古爾薩改善了這個結論的條件，只要求函式ƒ(z)在D內處處有導數(1900)。這是柯西理論的基礎。據此不難推出，圓域內處處可導的函式與該函式的復積分的值只決定於路線的端點，是兩個等價的事實。從此，一個開集內的複變函式，如果處處有導數，則稱此函式為這個開集內的正則函式，受法語習慣的影響，也稱為全純函式。
柯西理論的一個重要結果是，正則函式在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數；逆命題亦真。所以解析與正則是等價的。
外爾斯特拉斯意義下的解析函式
K.（T.W.）外爾斯特拉斯是以冪級數為出發點開展對解析函式研究的。設冪級數
(4)
的收斂半徑是一正數，則在以α為心的一個圓盤Uα內得到了一個解析函式，記為
P
(z，α)。對Uα內另一點b，P
(z，α)在b處有冪級數表示，則在一個圓盤Ub內也得到一個解析函式P
(z，b)，而圓盤Ub可能不完全包含於Uα之中。在Uα內取值P
(z，α)、在Ub內取值P
(z，b)的函式稱為P
(z， α)從α到b的解析開拓。對Ub內任一點с，P
P
(z，b)從b到с的解析開拓。這樣，從冪級數(4)出發，沿著所有路線進行所有可能的解析開拓，便獲得一個外爾斯特拉斯意義下的解析函式。不過還應該指出，這種函式可能已非單值而是多值的了。對於區間I上的實變函式ƒ(t)，若在I的任一點的適當鄰域內ƒ(t)可以表示為一個收斂的冪級數，為鑑別起見，稱ƒ(t)為I上的一個實解析函式。
調和函式與共軛調和函式
設ƒ=u+iv是一解析函式，則u=u(x，y)與v=v(x，y)必在定義域內滿足拉普拉斯方程；u和v都是調和函式。兩調和函式u與v，若在定義域內處處滿足柯西-黎曼方程(2)，則稱v是u的共軛調和函式。一般地說，一個調和函式不一定有單值的共軛調和函式。例如在z≠0上的調和函式log│z│的共軛調和函式是v(z)=argz，但在z≠0上它並非單值。