邊界層方程數值解法

[拼音]：jubu kejiexing

[英文]：local solvability

研究線性偏微分方程

P

u=ƒ在什麼條件下區域性有解存在。若

P

是常係數運算元，則由基本解的存在而保證

P

u=ƒ一定區域性有解。在變係數情況下，柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理證明了很大一類解析的方程必然區域性地有解析解存在。於是人們以為變係數線性偏微分方程也和常係數情況一樣，只要不是過於“奇異”，總是區域性可解的。因此，當H.盧伊在1957年發現方程

，在ƒ僅只屬於

C

∞而非解析的情況可以無解（甚至沒有廣義函式解）時，引起了很大的震動。從而提出了局部可解性問題。

區域性可解性的一種定義是，方程

P

u=ƒ當ƒ屬於

C

∞(Rn)的某個餘維數有限的子空間時，在Rn的某個緊集K附近恆有解u∈D′(Rn)存在，就說

P

在K中可解。這裡

P

既可以是線性偏微分運算元，也可以是擬微分運算元。

20世紀60年代以來，許多數學家討論過這個問題。設

P

的象徵是復值函式 p(x，ξ)=Rep(x，ξ)+iImp(x，ξ)。一個重要的條件是

(Ψ)：在Rn的開集U中不存在

C

∞(T*U-0)中的正齊性復值函式q(x，ξ)使Im(qp)沿著Re(qp)的次特徵Г 的正方向由負值變號為正值，這裡q(x，ξ)≠0（於Г上）。

所謂一個函式

的次特徵，指的是

的積分曲線。所謂正方向是指t增加的方向。可以證明，條件(Ψ)是

P

u=ƒ在一點附近區域性可解的必要條件；在某些情況下特別是主型運算元情形也是充分條件。然而，在一般情況下，條件(Ψ)對於區域性可解性是否是充分的仍未解決。

總之，區域性可解性問題仍然是線性偏微分運算元理論中尚未完全解決的重要問題。