瑪雅天文學

[拼音]：Niudunfa

[英文]：Newton’s method

求非線性方程（組）零點的一種重要的迭代法，又稱牛頓－拉弗森法或切線法。其要點是：若在非線性方程ƒ(x)＝0的零點x＝x*鄰域內，函式 ƒ(x)連續可微且ƒ┡(x)不為零，xn(n=0，1，2，…)是x*的近似值，則在此鄰域，用線性函式

近似代替ƒ(x)，並以T(x)的零點

作為x*的新的近似值。這種通過構造序列x1，x2，…來近似x*的方法就是牛頓法。若ƒ(x)是實函式，x*是實數，則牛頓法有明確的幾何意義：過點(xn，ƒ(xn))作曲線y =ƒ(x)的切線T，將T與x軸的交點xn+1作為x*的新近似值。對於非線性方程組，x和 ƒ(x)分別為矢變數和向量函式，[ƒ┡(x)]-1為ƒ(x)的雅可比矩陣的逆矩陣。由牛頓法構造的序列x1，x2，…收斂於x*的充分條件是：

（1）在x*的鄰域內ƒ┡(x)存在且滿足李普希茲條件，即對x*鄰域內的任意x┡、x″，有

，式中0〈α〈1；

（2）[ƒ┡(x*)]-1存在；

（3）初始近似值x0充分接近x*。在上述條件下，x1，x2，…收斂於x*的速度不低於二階。為了減弱收斂性對ƒ 的要求，提高收斂速度或減少計算量，牛頓法有許多變形，如修正牛頓法和擬牛頓法。