沼澤生態
[拼音]:pangjialai caixiang
[英文]:Poincaré conjecture
拓撲學中重要的猜想之一。球面是數學中最簡單且最常見的閉流形。從拓撲學的觀點看,n維球面Sn的特徵是什麼?二維球面S2是單連通的閉曲面,而且每個單連通的閉曲面都和S2同胚。代數拓撲學的奠基人,法國數學家H.龐加萊在1904年猜測:單連通的三維閉流形必與S3同胚。後人接著猜測:當維數n≥4時,單連通的閉流形如果與Sn有相同的同調群,亦必與Sn同胚。這就是n維的龐加萊猜想。
1960年,S.斯梅爾證明了維數n≥5的龐加萊猜想;1981年M.H.弗裡德曼證明了四維的情形。龐加萊原來的三維的猜想則尚未解決。
這猜想簡明易懂,卻是考驗我們對於流形的認識深度的一塊試金石,每前進一步都曾引起拓撲學的躍進。最近四維龐加萊猜想的解決,又導致一個非常重要的發現:四維的歐氏空間與其餘維數的歐氏空間不同,除了通常的微分結構以外它還有別的不尋常的微分結構。