教師心理
[拼音]：huan
[英文]：ring
一個具有兩種二元運算的代數系統。設在集合 R中已定義了加法與乘法，而R在加法下是一個交換群，且乘法對加法有分配律，則R稱為一個非結合環。此時R中就有惟一的零元素θ，使得對α∈R恆有α+θ=α；R 中每個α有惟一的負元素-α，使α+(- α)=θ，可簡記α+(-b)為α-b。分配律可推廣為：α(b±с)=αb±αс，(b±с)α=bα±сα；用數學歸納法可證
在非結合環R 中恆有：αθ=θα=θ；α(-b)=(-α)b=-αb；(-α)(-b)=αb；(nα)b=α(nb)=nαb，其中α、b為R中任意元素，n為任意整數。如果非結合環R還具有性質:α2=θ（α∈R），且雅可比恆等式成立，即在R 中恆有(αb)с+(bс)α+(сα)b=θ，那麼R 稱為一個李環。如果非結合環R的乘法適合交換律，且在R 中恆有
[(αα)b] α=(αα)(bα)，那麼R 稱為一個若爾當環。在非結合環的研究中，李環與若爾當環是內容最豐富的兩個分支。如果非結合環R 的乘法適合結合律，那麼R 稱為一個結合環或環。如果在環R中再規定如下的一個新乘法“。”（稱為換位運算）：α。b=αb-bα，那麼R 對原來的加法與新有的乘法是一個李環；若規定的新乘法為“·”（稱為對稱運算）:α·b=αb+bα，則R 便成一個若爾當環。
設S 是非結合環R 的一個非空子集，若對於R 的加法與乘法，S 也構成一個非結合環，則S 稱為R 的一個子環。一個真正的非結合環（即其中有三個元素在相乘時不適合結合律）的一個子環，有可能是一個結合環。非結合環R 的若干個子環的交，仍是R 的一個子環。當T 為R 的一個非空子集時，R 中所有含T 的子環的交顯然是R 中含T 的最小子環，稱之為R的由T 生成的子環。如果非結合環R 中任意三個元素生成的子環恆為結合環，那麼R已經是一個結合環；如果R中任意兩個元素生成的子環恆為結合環，那麼R稱為一個交錯環;如果R中任意一個元素生成的子環恆為結合環，那麼R稱為一個冪結合環。在冪結合環中，第一、第二指數定律即
恆成立。如果一個交錯環的乘法還適合交換律，那麼它稱為一個交錯交換環。在交錯交換環中，不僅有第一、第二指數定律成立，而且有第三指數定律即
成立；還有二項式定理。
結合環與交換環的典型例子如:F上的n階全陣環，即數域（或域）F上的所有n階矩陣在矩陣的加法與乘法下構成的一個環。V的完全線性變換環，即F上的一個向量空間 V的全部線性變換在變換的加法與乘法下構成的一個環。F上的多項式環，即F上一個或若干個文字的多項式全體構成的一個交換環。整數環，即全體整數構成的一個交換環；全體偶數構成它的一個子環，稱為偶數環。R上的n階全陣環，即在任意一個環R上的全部n階矩陣，對於仿通常矩陣的運算定義的加法與乘法構成的環，記為Rn。[0，1]上的全實函式環，即定義在區間[0，1]上的全部實函式，對於函式的加法與乘法構成的一個交換環。整數模n的環R奱，即模n剩餘類，對於剩餘類的加法和乘法構成的一個交換環。它是隻含有限個元素的交換環的典型例子。
若一個環R中含有一個非零元素e≠θ，使對每個x∈R 有ex=xe=x，則e稱為R 的一個單位元素。一個環若有單位元素，則它必然是惟一的。設R是一個含有單位元素的環，α是R 中一個元素，若R 中有元素b，使αb=bα=e，則b稱為α的一個逆元素。當α有逆元素時，其逆元素必然是惟一的，記為α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即(α-1)-1=α。R 的零元素θ 必無逆元素。若R 的每個非零元素都有逆元素， 則R 稱為一個體或可除環。四元數代數就是典型的體。在體的定義中再規定其乘法適合交換律，就是域的定義。
理想
設S是環R 的一個非空子集，所謂S是R 的一個左理想，意即①S 是R 作為加法群時的一個子群；
（2）當α∈S，x∈R 時，則xα∈S。若有αx∈S，則S稱為R 的右理想。如果S 既是R 的左理想，又是R 的右理想，則稱S是R 的一個理想。例如，{θ}是環R 的一個理想。設l1、l2都是環R 的左理想。R中所有的元素α+b(α∈l1，b∈l2)作成R 的一個左理想，並稱之為l1與l2的和，記為l1+l2。R中所有的有限和
作成R 的一個左理想，稱為R 的左理想l1與l2的積，記為l1l2。易知R的左理想的加法適合交換律與結合律；R 的左理想的乘法適合結合律且對加法有分配律。 對於R 的右理想的加法與乘法也有類似結果。由於左理想與右理想的對稱性，因此以下關於左理想的討論， 對於右理想也適合。環R 的兩個左理想的和的概念可以推廣成若干(有限或無限)個左理想li的和
li，它是由所有的有限和
所構成的。 如果這些li均非零， 而且在
li中每個元素α=
αi的表法是惟一的，那麼R的這組左理想li(i∈i)稱為無關的。環R 的兩個左理想的積的概念可以推廣成任意有限多個左理想l1，L2，…，ln的積l1l2…ln。特別，當這些li都是R 的同一個左理想 L時，此積簡記為ln。設T是環R 的一個非空子集。R 中有元素α ，它能從左邊去零化T 中每個元素即αT=｛αt|t∈T｝是｛θ｝，例如R 中的零元素θ 就是這樣一個元素。R 中所有這種元素作成R 的一個左理想， 稱為T 在R 中的左零化子，或R 中的一個左零化子。
如果環R 的任意一組左理想中恆存在極小的左理想，那麼環R 稱為滿足左極小條件， 或降鏈條件。所謂極小左理想，是指一組左理想中的一個左理想，它不能真正的包含組中任何左理想。同理可定義環R的左極大條件(或升鏈條件) 以及環R 的左零化子的極小與極大條件。由於環R 的左零化子僅僅是R 的一類特殊的左理想，所以環R 的左零化子的極小與極大條件，分別弱於R的左極小與左極大條件。若環R 滿足左極大條件，則R 中左理想的任何無關組必為有限的。滿足左極小條件的環又稱為左阿廷環；滿足左極大條件的環又稱為左諾特環；一個環滿足條件：
（1）它的左理想的任何無關組恆為有限的；
（2）它的左零化子滿足極大條件，稱為左哥爾迪環。由上述可知，左諾特環恆為左哥爾迪環。
設N是環R 的一個理想。首先，R 作為一個(交換)加法群時，則N 就是群R 的一個正規子群。N 在R 中的全部陪集對於陪集的加法(α+N)+(b+N)=(α+b)+N 作成一個(交換)加法群。其次，規定(α+N)(b+N)=αb+N，這與陪集的代表元素α、b的取法無關。易知陪集的這種乘法，適合結合律且對加法有分配律。於是就得到一個環，並稱之為環R 關於其理想N 的剩餘類環，記為R/N。它與環R有同態關係。所謂同態，是指對於兩個環R1、R2，有一個從R1 到R2上的對映σ：R1→R2，使對任意 α·b∈R1恆有σ(α+b)=σ(α)+σ(b)，σ(αb)=σ(α)σ(b)。R2是R1在σ下的同態像，記為
。對任意環R 及其任意理想N ，只要定義σ(α)=α+N 就得到R 到R/N上的一個同態對映，特稱之為自然同態對映。如果環R1到環 R2上的一個同態對映σ，又是一一對映，那麼σ 稱為同構對映，記為
。可以證明， 如果σ 是環R 到環R′上的一個同態對映，那麼R中所有滿足 σ(α)=θ′∈R′的元素構成R的一個理想N，稱為σ的核，且有R/N≌R′；如果環R滿足左極小（或極大）條件，那麼其任意同態像亦然。
設l是環R 的一個左理想，如果有正整數n使ln={θ}，那麼l稱為冪零的。如果對l中每個元素α恆有正整數n(α)使
，那麼l稱為詣零的。顯然冪零左理想必為詣零左理想，但反之則未必。對R的右理想也有相應的定義。如果
P
是環R 的一個理想，而對R 的任意兩個理想A
、B
，只要AB嶅P
，就必有A
嶅P
或B
嶅P
，則P
稱為R 的一個質理想或素理想。如果環R 的零理想｛θ｝是R 的一個質理想，那麼R 稱為一個質 (素)環。如果環R 除｛θ｝外不再含其他的冪零理想，那麼R 稱為一個半質(素)環。質環恆為半質環，但反之則未必。結構理論
設R1，R2，…，Rm均為環R的非零子環。如果R的每個元素α均可惟一地表為
，且當i≠j時恆有
，那麼R 稱為R1，R2，…，Rm的環直接和(或簡稱直和)，記為
。此時諸 Ri均必為環R 的理想且R 滿足左極小（極大）條件，必要而且只要諸Ri均然。當一個非零的環不能表為兩個以上的非零子環的環直接和時，則稱之為不可分環。例如非零的單純環(即除｛θ｝與自身外不再含其他理想的環)就是不可分環。
一個非零的環R 為左阿廷質環，必要而且只要有體K使
。此時若又有體T使
，則必有T≌K，m=n。這樣的環必為單純環，又稱為阿廷單純環。一個非零的環為左阿廷半質環，必要而且只要它是有限個阿廷單純環的環直接和。這樣的環又稱為阿廷半單純環。一個阿廷半單純環為不可分環，必要而且只要它是阿廷單純環。以上結果統稱為韋德伯恩-阿廷結構定理。設R 是任意一個左阿廷環，於是R 的詣零左、右理想恆為冪零的;R 的所有冪零左理想的和又等於R 的所有冪零右理想的和， 從而這個和N 是R 的惟一最大冪零理想，稱為R 的根，而且當N 對環R 中元素α，如果存在 α′∈R，使α+ α′+αα′=α+α′+α′α=θ，那麼α稱為擬正則的 ，而且α與α′互為擬逆。例如，詣零元素α就是擬正則的，當αn=θ時，α′=-α+α2- 。又如整數環中的－2 也是擬正則的，其擬逆即－2自己。如果環R 的一個左(或右)理想l的每個元素α都是擬正則的(此時α的擬逆α′亦必在l中)，那麼l稱為R 的一個擬正則左(或右)理想。任意環R中恆存在惟一的最大擬正則理想J，稱為R的雅各布森根，它包含R 的所有擬正則左與右理想，且剩餘類環R/J不含非零的擬正則左與右理想。特別，當J=｛θ｝時， R 稱為雅各布森半單純環。於是任意環R 關於其雅各布森根J 的剩餘類環R/J，便恆為雅各布森半單純環。非零的滿足左極小條件的雅各布森半單純環就是阿廷半單純環。
左分式環
如果在環R 中有α≠θ，b≠θ，而αb=θ，那麼α稱為左零因子，b稱為右零因子。一個非零元素如果既非左零因子，又非右零因子，那麼這個非零元素稱為正則元。設
Q
是一個有單位元素e的環，R是它的一個子環，如果R的每個正則元α在Q
中有逆元素α-1，且Q
中每個元素β均可表為β=α-1b(其中α、b∈R且α為正則元)，那麼Q
稱為R 的一個左分式環。設R 是一個非零的環，則R 是哥爾迪質環， 必要而且只要R 有一個左分式環為阿廷單純環；R 是哥爾迪半質環，必要而且只要R有一個左分式環為阿廷半單純環。所謂環R 是一個左奧爾環，即指R 含有正則元而且滿足左奧爾條件：對α、b∈R（其中b為正則元），恆有α1、b1∈R(其中 b1是正則元)使得b1α= α1b。當環R無零因子時，左奧爾條件即R 中任二非零元有共同的非零左倍元。一個環R有左分式環，必要而且只要R是一個左奧爾環。
序環
所謂環R的偏序關係“≤”，是指“≤”在環R的元素之間具有以下性質：
（1）自反性，即對每個α∈R恆有α≤α；
（2）傳遞性，即當α≤b，b≤с時有α≤с；
（3）反對稱性，即當α≤b，b≤α時有α=b；
（4）如果α≤b，那麼對x∈R恆有α+x ≤b+x；
（5）當θ≤α，θ≤b時有θ≤αb。有偏序關係存在的環，稱為偏序環。在偏序環中，當α≤b，с≤d時，就必有α+с≤b+d;當α≤θ，θ≤b時，就有αb≤θ，bα≤θ；當α≤θ，b≤θ 時，就有θ≤αb。在偏序環中，若α≤b且α≠b，則記為α發展概況
環論的發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。F.G.弗羅貝尼烏斯、J.W.R.戴德金、É.(-J.)嘉當、W.R.哈密頓和T.莫利恩等人是發展超復系理論的主要數學家。後來，發展成一般域上的代數結構理論，是源於J.H.M.韋德伯恩在1907年發表的著名論文。A.A.阿爾貝特、R.（D.）布饒爾及（A.）E.諾特等人發展與簡化了單純代數理論與算術的理想理論，在1927年E.阿廷的論文又把代數結構的主要結果推廣到具極小條件的環上，而成為韋德伯恩-阿廷結構定理。此後對於不具鏈條件的環換成一些拓撲或度量的條件進行研究，如J.馮·諾伊曼與F.J.默裡在希爾伯特空間中研究變換環，馮·諾伊曼的正則環理論與И.М.蓋爾範德的賦範環論等。19世紀40年代後，一般環的根理想理論應時而起，迅速發展，其中尤以雅各布森根與半單純環以至本原環理論較為系統而深入。1958年A.W.哥爾迪對具極大條件的環得到了至善的結果。在體論以及非結合環中的若爾當環與雅各布森環的研究，近年來均甚為活躍。
參考書目
N. Jacobson，Structure of Rings，2nd ed.， Amer. Math.Soc.， Providence， R.I.，1964.
N.J.Divinsky，Rings and radicals，George Allen & Unwin， London，1965.
F.A.Száiz，radicals of Rings，Akadémiai Kiad圝， Budapest，New York， 1981.