宣威縣

[拼音]：shulun hanshu

[外文]：number-theoretic function

以正整數為定義域的函式ƒ(n)，例如數列{αn}、階乘n!、冪nλ等都是數論函式。

重要的數論函式

設n的標準分解式為

。

（1）麥比烏斯函式

易知

式中和號表示d過n的所有因數。

（2）尤拉函式φ(n) 表示與 n互素且不超過n的正整數的個數，易證

，

這裡(m，n)＝d。1801年，C.F.高斯證明了

。關於尤拉函式，有一個迄今尚未解決的猜想：不存在複合數n使得φ(n)｜n-1。這個猜想是1932年由D.H.萊默爾提出來的。1962年，柯召和孫琦證明了這樣的複合數存在，n至少是12個不同的奇素數的乘積；1980年，G.L.科恩和P.哈吉斯用計算機改進到 n至少是14個不同的奇素數的積。

（3）除數函式

當u≠0時，則有

當u=0時，

設σ1(n)=σ(n)，正整數n滿足σ(n)=2n時，n就叫做完全數。

（4）曼格爾德特函式

則有

和

後一恆等式在素數分佈理論中有用。

狄利克雷卷積

設ƒ1(n)和ƒ2(n)是兩個數論函式，則

叫做ƒ1(n)和ƒ2(n)的狄利克雷卷積，記為ƒ1(n)*ƒ2(n)=ƒ(n)。顯然，ƒ(n)也是一個數論函式， 且有

這裡ƒ3(n)也是一個數論函式。狄利克雷卷積是研究數論函式的重要概念。可以證明：全體ƒ(1)≠0的數論函式ƒ(n)，對於狄利克雷乘積*組成一個阿貝爾群。

積性函式和完全積性函式

若(m，n)=1，有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n)，稱數論函式ƒ(n)為積性函式；若對任意正整數m、n，都有ƒ(mn)=ƒ(m)ƒ(n)，則稱數論函式 ƒ(n)為完全積性函式，例如墹(n)、nλ是完全積性函式，μ(n)、φ(n)、σu(n)是積性函式，但不是完全積性函式。曼格爾德特函式Λ(n)是非積性函式。積性函式有下列性質：

（1）若ƒ(n)是一個非恆等於0的積性函式，則有ƒ(1)＝1和

②若ƒ1(n)和ƒ2(n)都是積性函式，則ƒ1(n)*ƒ2(n)也是積性函式；

（3）若ƒ1(n)*ƒ2(n)和ƒ2(n)是積性函式，則ƒ1(n)也是積性函式。

麥比烏斯反演公式

設n為正整數，若

則有

反之亦然。這就是著名的麥比烏斯反演公式，它還有乘積表示式。

則

麥比烏斯反演公式是R.戴德金1857年給出的，它有多種推廣形式，在數論和組合數學中都很有用。例如由

，用麥比烏斯反演公式立即可得

。因為nu是積性函式，所以

也是積性函式，於是容易求得σu(n)的表示式。以素數 p為模，把多項式xp

-x分解為不可約多項式之積，設其素因式的次數為m，已知m|n，反之，任一個m(m|n)次不可約多項式一定是該式的因式，設φn表示對模p的n次不可約多項式的個數，故有

由麥比烏斯反演公式得

，故得φn>0，即知道元素個數為pn的有限域存在。