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[拼音]：youxianyuanfa

[外文]：finite element method

一種將連續體離散化，以求解各種力學問題的數值方法，又稱有限單元法或有限元素法。

20世紀50年代M.J.特納和L.C.託普等人把求解杆件結構的方法推廣到求解連續體力學問題並在數學上採用矩陣表示法，對有限元法的早期發展起了重要作用。1960年R.W.克拉夫首先使用“有限元”這一名稱。60年代，由於電子計算機的廣泛使用，有限元法得到很快的發展。經過二十多年的發展，有限元法已經成為處理力學、物理、工程等計算問題的有效方法之一。

從應用數學的角度看，有限元法基本概念的提出，可以追溯到R.庫朗1943年的工作，他採用三角形單元組成分割槽近似函式，並用最小勢能原理，討論了柱體的扭轉問題。由於當時沒有求解大型聯立方程的計算工具，這種方法在長期內沒有實際應用。中國劉徽早在公元3世紀時就用割圓術求圓周率。這種把圓周分割成有限個單元，用有限來逼近無限的思想，可說是現代有限元法的早期萌芽。

基本原理

有限元法的離散化，可從物理和數學兩個角度來理解。從物理角度看，一個連續體可以近似地用有限個在節點處互相連線的單元所組成的組合體來代表，因而可把連續體的分析問題變成單個單元的分析和所有單元的組合問題。從數學角度看，一個連續域可以分割為有限個子域，每個子域的場函式是隻包含有限個引數的簡單場函式，用這些子域的場函式的集合，就能近似地代表整個連續域的場函式。於是，求解連續場函式的微分方程就轉化為求有限個待定引數的代數方程組。總之，離散化就是化無限為有限，從而達到化難為易的目的。

推導方法

有限元法所用的基本推導方法有三種：

（1）直接法它根據物理概念，直接建立待求問題的方程式，就象在解杆繫結構力學問題中用位移法或力法建立方程一樣。這種方法雖有概念明確、易於理解的優點，但一般只能處理比較簡單的問題。

（2）變分方法根據能量泛函的駐值條件，建立求解問題的方程式。這種方法可處理各種複雜問題。在固體力學領域裡，能量變分原理是有限元法獲得發展的一個重要基礎。

（3）加權殘數法如已知問題的微分方程，但無可用的變分泛函表達形式，可以用加權殘數法處理。伽遼金法就是加權殘數法的一種。

固體力學問題有多種解法。基本未知量如選取為節點位移，稱為位移法或剛度法；如選取為節點力，稱為力法或柔度法；如選取一部分為節點位移，另一部分為節點力，則稱為混合法。這三種方法中，位移法有易於實現自動計算的優點。因此，在有限元法中，以位移法的應用最廣。混合法應用較晚，但在板殼問題和接觸問題中已經顯示出它的優點。

採用不同的變分原理，可以得到不同型別的有限元模型，其中有基於最小勢能原理的協調型模型，有基於最小余能原理的平衡型模型，有基於廣義變分原理的雜交模型和混合模型等。

計算過程

現以彈性力學平面問題為例，說明有限元位移法的計算過程。它包含三個主要步驟：離散化、單元特性分析和整體組合分析。

（1）離散化圖1是一個重力壩及其基礎的橫截面圖。可按彈性力學平面問題進行計算。用有限元法須先把原來的連續體分割成三角形網格，使它變成由有限個在節點處用鉸相連的三角形單元所組成的離散體系(圖2)。外界的載荷也等效地轉移到節點上，在位移為零的邊界節點處設定支座。

（2）單元特性分析圖 3是上述重力壩離散體系中的一個典型的三角形單元。在彈性力學平面問題中，單元的每個節點有沿x、y軸的兩個位移分量u、υ，一個單元有三個節點，共有六個節點位移分量。單元的節點位移向量矩陣{δ}e可記為：

(1)

這就是問題的基本未知量。與基本未知量對應的物理量是圖4所示的節點力分量。節點力向量矩陣可記為：

(2)

節點力向量與節點位移向量之間有如下關係：

(3)

式中[k]e稱為單元的剛度矩陣，其物理意義是：矩陣中的每個元素表示單位節點位移引起的節點力。單元特性分析的主要任務就是求單元的剛度矩陣[k]e。

單元特性分析的步驟是：首先確定單元內的位移插值函式，即把單元內任一點的位移用節點位移{δ}e表示；然後寫出單元的總勢能；最後應用勢能駐值條件，即可匯出剛度方程(3)，從而得出單元的剛度矩陣[k]e。

（3）整體組合分析得到單元剛度矩陣[k]e後，再將各個單元組合成整個結構，求出整個結構的剛度矩陣[K]，這就是整體組合分析的主要任務。

整體分析的步驟是：首先對所有單元採用同一個公共座標，經過座標轉換，建立在公共座標系中的單元剛度矩陣；然後，把各個單元剛度矩陣進行組裝，得出結構的整體剛度矩陣[K]，從而得出整個結構的結點力{F}和節點位移｛δ｝之間的剛度方程：

(4)

由式(4)可解出結點位移，進而可求出各單位的應力。

單元型別舉例

隨著有限元法的發展，各種型別的新單元不斷出現，它們在單元的幾何形狀，基本未知量的性質和個數，以及插值函式的形式等方面都各有特點。現將位移法的幾種常用單元形式列於表中。

表中序號1、2是一維單元，3、4、5、6是二維單元，7是三維單元。此外，二維或三維的等參單元也是常用的。為了適應不同問題的需要，近年來還發展出奇異元、無限元、邊界元、伸縮元等新型單元。如果要求解的問題規模較大，為了提高計算效率，常把整個結構劃分為若干個子結構，先對子結構進行特性分析，然後再做整體組合分析。這樣，子結構實質上就是大型的單元。如果問題規模很大，而計算機容量有限，還可以把結構化為多層的子結構。

在其他領域的應用

經過二十多年的發展，用有限元法解線性範圍內的固體力學和工程結構方面的問題已經相當成熟。除了線上性靜力分析上的應用外，在其他領域裡的應用也在不斷髮展，這些領域是：

（1）動力分析在動力分析中，常用有限元法來求結構的自然頻率和振型。例如，對於無阻尼的自由振動問題，結構的運動方程為：

[K]{δ}=-[Μ]{愂}，(5)式中[K]和{δ}的含義與靜力問題相同。只是位移{δ}是時間t的函式，[Μ]是結構的質量矩陣。在自由振動中，位移可表為：

{δ}={δ0}sinωt，(6)而加速度為：

{愂}=-ω2{δ0}sinωt，(7)ω為結構自由振動時的圓頻率。將式(6)和(7)代入(5)得：

([K]-ω2[Μ]) {δ0}={0}，(8)這就是一個典型的求特徵值問題。

（2）非線性問題根據引起非線性反應的原因，結構分析中的非線性問題可分兩類，即物理非線性和幾何非線性問題（見計算結構力學）。這兩類非線性問題的解法基本一致，一般均採用迭代法或增量法。不管用哪一種方法，每一步計算都相當於一次線性分析。

（3）穩定問題研究結構的穩定性，必須考慮幾何非線性的影響。若失穩前結構的反應是線性的，可以只考慮幾何剛度影響。這時結構的剛度矩陣[K]可由下式給出：

[K]=[K]E+[K]G， (9)式中[K]E為彈性剛度矩陣，[K]G為幾何剛度矩陣，在載荷增量{F}△的作用下，結構的平衡方程為：

{F}△=[K]{δ}△。(10)對於穩定問題，實際上只要考慮由一個給定的平衡狀態開始的第一步增量，而且這一步的載荷增量為零，於是由式(10)可得：

([K]E+[K]G){δ}={0}， (11)所以確定失穩時的臨界載荷和屈曲形態問題也是一個典型的特徵值問題。

（4）流體力學問題有限元法在固體力學中的成就，啟發人們把它用於流體力學，例如飛行器的設計，要設計好飛行器，須知道空氣對飛行器的作用力。由於飛行器的形狀複雜，用原有流體力學的數值方法來處理這類問題就有困難。有限元法則可以靈活地採用各種形狀和尺寸的單元，因而能夠描述複雜的形狀，為解決這類問題開拓新的途徑。但流體力學畢竟與固體力學有不少差別。差別之一是流體的位移很大。因此，流體力學方程（如尤拉方程組或納維－斯托克斯方程）就有很多非線性項，例如，流場中的加速度就由幾個非線性項表示。此外，流體力學中的邊界條件也很不同。因此，把有限元法用於流體力學就具有自己的特點。用數學術語來說就是，如果流體力學問題能化成線性橢圓型方程，用有限元法就比較合適。近幾年來，已有人開始用有限元法研究跨聲速飛行器問題，也有人用它來解用雙曲型方程描述的波動問題。這些發展趨勢引起研究者較大的興趣。