高分子化學

[拼音]：guil╇ shulun

[外文]：probabilistic number theory

研究數論函式的分佈問題。概率數論開始於1917年G.H.哈代與S.A.拉馬努金關於數論函式ω(n)的研究。此處ω(n)表示n的不同素因子的個數，例如ω(1)=0，ω(2)=1，ω(20)=2，ω(30)=3。對於任意的k，當n為k個不同素數之積時，有ω(n)=k。特別，當n=p為素數時，有ω(p)=1。所以ω(n)(n=1，2，…)的分佈很不規則，它可以取任意大的整數值，而又無窮多次取值1及2，3等。因此，研究ω(n)的值分佈就從研究ω(n)在區間[1，x]中的期望值入手，其中x是大於或等於2的整數。命

A

k表示區間[1，x]中為k所整除的整陣列成的集合，

P

x(

A

k)表示

A

k的概率。例如當x=100時，

一般說來

假定p、q為互異的素數，則

，所以當x充分大時，有

這說明當n在區間[1，x]中隨機選取時，事件

A

p與

A

q是漸近獨立的，所以ω(n)在[1，x]中的期望值為

，

它漸近地等於

（見素數分佈）。

命ψ(y)為任何當y趨於無窮時亦趨於無窮的函式，則

。

這就說明在 ω(n)(1≤n≤x)中，只有極少數是偏離ln lnx 的。

1934年，P.圖蘭進而證明了

1939年P.愛爾特希與M.卡茨發展了P.圖蘭的方法，證明了中心極限定理: 命ƒ(n)為適合│ƒ(p)│≤1 的強加性函式。所謂強加性函式，即當(m ，n)=1時，ƒ（m ，n）=ƒ(m)+ƒ(n)，且

又命

。假定

B

(x)→∞（當x→∞時），則

，

並稱之為愛爾特希-卡茨定理。

當取ƒ(n)=ω(n)，則得

在概率數論方面作過重要貢獻的還有J.庫比利烏斯、M.B.巴班、A.溫特納和P.D.T.A.埃利奧特等人。

參考書目

P.D.T.A.Elliott，Probabilistic Number Theory，Ⅰ，Ⅱ，ASer.Comp.Stu.Math.，Spr.Ver.，No.239，240，1980.