怎樣證明不等式
不等式的證明是高中數學的一個難點，題型廣泛，涉及面廣，證法靈活，錯法多種多樣，本節通這一些例項，歸納整理證明不等式時常用的方法和技巧。步驟/方法比較法
比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式***或分式***時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式***或冪指數式時常用作商比較***
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵***a3+b3***?***a2b+ab2***
=a2***a-b***-b2***a-b***
=***a-b******a2-b2***
又∵***a-b***2≥0a+b≥0
∴***a-b***2***a+b***≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb>abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a>b>0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對稱性，不妨解a>b>0則
aabbabba=aa-b?bb-a=***ab***a-b
∵a?b?0，∴ab?1，a-b?0
∴***ab***a-b?***ab***0=1即aabbabba>1，又abba>0∴aabb>abba
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：
***1***若a、b∈R，則a2+b2≥2ab***當且僅當a=b時，取等號***
***2***若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab ***當且僅當a=b時，取等號***
***3***若a、b同號，則 ba+ab≥2***當且僅當a=b時，取等號***
例3 若a、b∈R， |a|≤1，|b|≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22
證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+***1-b2***2+b2-***1-a2***2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立
練習2：若 a?b?0，證明a+1***a-b***b≥3綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4，設 a?0，b?0，a+b=1，證明:***a+1a***2+***B+1b***2≥252
證明：∵ a?0，b?0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+***a2+b2***=1a2+1b2=4+[***a+b***2-2ab]+***a+b***2-2aba2b2
=4+***1-2ab***+1-2aba2b2≥4+***1-12***+8=252
練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f ***n***=1gan+bn+cn3
求證：2f***n***≤f***2n***分析法
從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知a?0，b?0，2c?a+b，求證：c-c2-ab
分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 |a-c|
要證c-c2-ab
只需證-c2-ab
證明： 即證 |a-c|
即證 ***a-c***2
即證 a2-2ac<-ab
∵a>0，∴即要證 a-2c<-b 即需證2+b<2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3***1+a2+a4***>***1+a+a2***2放縮法
放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：***1***捨去一些正項***或負項***，***2***在和或積中換大***或換小***某些項，***3***擴大***或縮小***分式的分子***或分母***等。
例6：已知a、b、c、d都是正數
求證： 1
分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。
證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab0***可得：ba+b+c
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b
綜上知：1
練習5：已知：a<2，求證：loga***a+1***<1 6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。
***1***三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函式進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函式的性質去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 ?A=***x-1y******y+1y***。1x，求證0
證明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，***0<θ
∴ A=***secθ-1secθ***tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0<θ
複習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3
***2***比值換元：
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314
證明：設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=***k+1***2***2k-1***2+***3k+2***2
=14***k+514***2+4314≥4314反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推匯出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設p+q>2，那麼p>2-q
∴p3>***2-q***3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6<0
即6***q-1***2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7：已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0.
求證：a>0，b>0，c>0數學歸納法
與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10：設n∈N，且n>1,求證： ***1+13******1+15***…***1+12n-1***>2n+12
分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法
證明：***1***當n=2時，左= 43，右=52
∵43>52∴不等式成立
***2***假設n=k***k≥2，k∈n***時不等式成立，即***1+13******1+15***…***1+12k-1***>2k+12
那麼當n=k+1時，***1+13******1+15***…***1+12k-1******1+12k+1***>2k+12·***1+12k+1***①
要證①式左邊> 2k+32，只要證2k+12·
2k+22k+1>2k+32②
對於②〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3
〈二〉***2k+2***2> ***2k+1******2k+3***
〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3
〈二〉4>3 ③
∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立
由***1******2***證明可知，對一切n≥2***n∈N***，原不等式成立
練習8：已知n∈N，且n>1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n> 1324構造法
根據求證不等式的具體結構所證，通過建構函式、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。
1建構函式法
例11：證明不等式：x1-2x
證明：設f***x***= x1-2x- x2 ***x≠0***
∵f ***-x***
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- [1-***1-2x***]+x2=x1-2x-x+x2
=f***x***
∴f***x***的影象表示y軸對稱
∵當x>0時，1-2x<0 ，故f***x***<0
∴當x<0時，據影象的對稱性知f***x***<0
∴當x≠0時，恆有f***x***<0 即x1-2x
練習9：已知a>b，2b>a+c，求證：b- b2-ab
2構造圖形法
例12：若f***x***=1+x2 ，a≠b，則|f***x***-f***b***|< |a-b|
分析：由1+x2 的結構可知這是直角座標平面上兩點A***1，x***，0***0，0***的距離即 1+x2 =***1-0***2+***x-0***2
於是如下圖，設A***1，a***，B***1，b***則0A= 1+a2 0B= 1+b2
|AB|=|a-b|又?0A|-|0B?<|AB|∴|f***a***-f***b***|<|a-b|
練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c***a-c***+c***b-c***≤ab某些不等式的證明若能優先考慮"添項"技巧，能得到快速求解的效果。
1倍數添項
若不等式中含有奇數項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數項的和，然後分組利用已知不等式進行放縮。
例13：已知a、b、c∈R+，那麼a3+b3+c3≥3abc***當且僅當a=b=c時等號成立***
證明：∵a、b、c∈R+
∴a3+b3+c3=12 [***a3+b3***+***b3+c3***+***c3+a3***]≥12 [***a2b+ab2***+***b2c+bc2***+***c2a+ca2***]
=12[a***b2+c2***+b***c2+a2***+c***a2+b2***]≥12***a·2bc+b·2ca+c·2ac***=3abc
當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。
2平方添項
運用此法必須注意原不等號的方向
例14 ：對於一切大於1的自然數n，求證：
***1+13 ******1+15 ***…***1+12n-1> 2n+1 2***
證明：∵b > a> 0，m> 0時ba> b+ma+m
∵ [***1+13 ******1+15 ***…***1+12n-1***]2=***43、65…2n2n-1******43、65…2n2n-1***> ***54、76…2n+12n******43、65…2n2n-1***=2n+13> 2n+14>
∴***1+13 ******1+15 ***…***1+12n-1***>2n+1 2***
3平均值添項
例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332
分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3
證明：先證命題：若x>0，y<π，則sinx+siny≤2sin x+y2***當且僅當x=y時等號成立***
∵0
∴上式成立
反覆運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322
=4sinπ3=332
∴sinA+sinB≠sinC≤332
練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18
4利用均值不等式等號成立的條件添項
例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，
求證a4+b4> 18
分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立
證明：∵a、b∈R+ ∴a4+3***12***4 ≥ 44a4 [***12***4]3=12a①
同理 b4+3***12***4 ≥b②
∴ a4+b4≥12***a+b***-6***12***4=12-6***12***4=18③
∵a≠b ∴①②中等號不成立 ∴③中等號不成立 ∴ 原不等式成立
1.是否存在常數c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數x,y恆成立?
錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恆成立，故說明c存在。
正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恆成立。
要證不等式xx+2y+xx+2y≤23 ，因為x,y是正數，即證3x***x+2y***+3y***2x+y***≤2***2 x+y******x+2y***,也即證3x2+12xy+3y2 ≤2***2x2+2y2+5xy***,即2xy≤x2+y2 ，而此不等式恆成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恆成立。
6.2已知x,y,z∈R+ ，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz
錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴ x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz
錯因：根據不等式的性質：若a >b> 0，c >d >0,則ac bd，但 ac >bd卻不一定成立
正解： x2y2+y2z2≥ 2x y2z，
y2z2+z2x2≥ 2x yz2，
x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，
以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz***x+y+z***，
兩邊同除以x+y+z:
x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz
6.3 設x+y>0， n為偶數，求證 yn-1xn+xn-1yn≥
1x 1y
錯證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y
=***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
n為偶數，∴ xnyn >0，又xn-yn 和xn-1-yn-1
同號，
∴ yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y
錯因：在x+y>0的條件下，n為偶數時， xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。
正解：應用比較法：
yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
① 當x>0,y>0時， ***xn-yn******xn-1-yn-1*** ≥
0，***xy***n >0
所以 ***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y
② 當x,y有一個是負值時，不妨設x>0,y<0，
且x+y>0，所以x>|y|
又n為偶數時,所以 ***xn-yn******xn-1-yn-1*** >0
又 ***xy***n >0，所以 ***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y
綜合①②知原不等式成立
比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式***或分式***時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式***或冪指數式時常用作商比較***
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵***a3+b3***?***a2b+ab2***
=a2***a-b***-b2***a-b***
=***a-b******a2-b2***
又∵***a-b***2≥0a+b≥0
∴***a-b***2***a+b***≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb>abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a>b>0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對稱性，不妨解a>b>0則
aabbabba=aa-b?bb-a=***ab***a-b
∵a?b?0，∴ab?1，a-b?0
∴***ab***a-b?***ab***0=1即aabbabba>1，又abba>0∴aabb>abba
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：
***1***若a、b∈R，則a2+b2≥2ab***當且僅當a=b時，取等號***
***2***若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab ***當且僅當a=b時，取等號***
***3***若a、b同號，則 ba+ab≥2***當且僅當a=b時，取等號***
例3 若a、b∈R， |a|≤1，|b|≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22
證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+***1-b2***2+b2-***1-a2***2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立
練習2：若 a?b?0，證明a+1***a-b***b≥3綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4，設 a?0，b?0，a+b=1，證明:***a+1a***2+***B+1b***2≥252
證明：∵ a?0，b?0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+***a2+b2***=1a2+1b2=4+[***a+b***2-2ab]+***a+b***2-2aba2b2
=4+***1-2ab***+1-2aba2b2≥4+***1-12***+8=252
練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f ***n***=1gan+bn+cn3
求證：2f***n***≤f***2n***分析法
從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知a?0，b?0，2c?a+b，求證：c-c2-ab
分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 |a-c|
要證c-c2-ab
只需證-c2-ab
證明： 即證 |a-c|
即證 ***a-c***2
即證 a2-2ac<-ab
∵a>0，∴即要證 a-2c<-b 即需證2+b<2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3***1+a2+a4***>***1+a+a2***2放縮法
放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：***1***捨去一些正項***或負項***，***2***在和或積中換大***或換小***某些項，***3***擴大***或縮小***分式的分子***或分母***等。
例6：已知a、b、c、d都是正數
求證： 1
分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。
證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b>ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab0***可得：ba+b+c
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b
綜上知：1
練習5：已知：a<2，求證：loga***a+1***<1 6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。
***1***三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函式進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函式的性質去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 ?A=***x-1y******y+1y***。1x，求證0
證明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，***0<θ
∴ A=***secθ-1secθ***tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0<θ
複習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3
***2***比值換元：
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314
證明：設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=***k+1***2***2k-1***2+***3k+2***2
=14***k+514***2+4314≥4314反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推匯出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設p+q>2，那麼p>2-q
∴p3>***2-q***3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6<0
即6***q-1***2<0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7：已知a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0.
求證：a>0，b>0，c>0數學歸納法
與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10：設n∈N，且n>1,求證： ***1+13******1+15***…***1+12n-1***>2n+12
分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法
證明：***1***當n=2時，左= 43，右=52
∵43>52∴不等式成立
***2***假設n=k***k≥2，k∈n***時不等式成立，即***1+13******1+15***…***1+12k-1***>2k+12
那麼當n=k+1時，***1+13******1+15***…***1+12k-1******1+12k+1***>2k+12·***1+12k+1***①
要證①式左邊> 2k+32，只要證2k+12·
2k+22k+1>2k+32②
對於②〈二〉2k+2> 2k+1·2k+3
〈二〉***2k+2***2> ***2k+1******2k+3***
〈二〉4k2+8k+4> 4k2+8k+3
〈二〉4>3 ③
∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立
由***1******2***證明可知，對一切n≥2***n∈N***，原不等式成立
練習8：已知n∈N，且n>1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n> 1324構造法
根據求證不等式的具體結構所證，通過建構函式、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。
1建構函式法
例11：證明不等式：x1-2x
證明：設f***x***= x1-2x- x2 ***x≠0***
∵f ***-x***
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- [1-***1-2x***]+x2=x1-2x-x+x2
=f***x***
∴f***x***的影象表示y軸對稱
∵當x>0時，1-2x<0 ，故f***x***<0
∴當x<0時，據影象的對稱性知f***x***<0
∴當x≠0時，恆有f***x***<0 即x1-2x
練習9：已知a>b，2b>a+c，求證：b- b2-ab
2構造圖形法
例12：若f***x***=1+x2 ，a≠b，則|f***x***-f***b***|< |a-b|
分析：由1+x2 的結構可知這是直角座標平面上兩點A***1，x***，0***0，0***的距離即 1+x2 =***1-0***2+***x-0***2
於是如下圖，設A***1，a***，B***1，b***則0A= 1+a2 0B= 1+b2
|AB|=|a-b|又?0A|-|0B?<|AB|∴|f***a***-f***b***|<|a-b|
練習10：設a≥c，b≥c，c≥0，求證 c***a-c***+c***b-c***≤ab某些不等式的證明若能優先考慮"添項"技巧，能得到快速求解的效果。
1倍數添項
若不等式中含有奇數項的和，可通過對不等式乘以2變成偶數項的和，然後分組利用已知不等式進行放縮。
例13：已知a、b、c∈R+，那麼a3+b3+c3≥3abc***當且僅當a=b=c時等號成立***
證明：∵a、b、c∈R+
∴a3+b3+c3=12 [***a3+b3***+***b3+c3***+***c3+a3***]≥12 [***a2b+ab2***+***b2c+bc2***+***c2a+ca2***]
=12[a***b2+c2***+b***c2+a2***+c***a2+b2***]≥12***a·2bc+b·2ca+c·2ac***=3abc
當且僅當a=b，b=c，c=a即a=b=c時，等號成立。
2平方添項
運用此法必須注意原不等號的方向
例14 ：對於一切大於1的自然數n，求證：
***1+13 ******1+15 ***…***1+12n-1> 2n+1 2***
證明：∵b > a> 0，m> 0時ba> b+ma+m
∵ [***1+13 ******1+15 ***…***1+12n-1***]2=***43、65…2n2n-1******43、65…2n2n-1***> ***54、76…2n+12n******43、65…2n2n-1***=2n+13> 2n+14>
∴***1+13 ******1+15 ***…***1+12n-1***>2n+1 2***
3平均值添項
例15：在△ABC中，求證sinA+sinB+sinC≤332
分析：∵A+B+C=π，可按A、B、C的算術平均值添項sin π3
證明：先證命題：若x>0，y<π，則sinx+siny≤2sin x+y2***當且僅當x=y時等號成立***
∵0
∴上式成立
反覆運用這個命題，得sinA+sinB+sinC+sin π3≤2sinA+B2+2sinc+π32≤2·2sinA+B2+c+π322
=4sinπ3=332
∴sinA+sinB≠sinC≤332
練習11 在△ABC中，sin A2sinB2sinC2≤18
4利用均值不等式等號成立的條件添項
例16 ：已知a、b∈R+，a≠b且a+b=1，
求證a4+b4> 18
分析：若取消a≠b的限制則a=b= 12時，等號成立
證明：∵a、b∈R+ ∴a4+3***12***4 ≥ 44a4 [***12***4]3=12a①
同理 b4+3***12***4 ≥b②
∴ a4+b4≥12***a+b***-6***12***4=12-6***12***4=18③
∵a≠b ∴①②中等號不成立 ∴③中等號不成立 ∴ 原不等式成立
1.是否存在常數c，使得不等式 x2x+y+yx+2y≤c≤xx+2y+y2x+y對任意正數x,y恆成立?
錯解：證明不等式x2x+y+ yx+2y≤xx+2y+y2x+y恆成立，故說明c存在。
正解：x=y得23 ≤c≤23，故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2y≤23≤xx+2y+y2x+y恆成立。
要證不等式xx+2y+xx+2y≤23 ，因為x,y是正數，即證3x***x+2y***+3y***2x+y***≤2***2 x+y******x+2y***,也即證3x2+12xy+3y2 ≤2***2x2+2y2+5xy***,即2xy≤x2+y2 ，而此不等式恆成立，同理不等式 23≤xx+2y+y2x+y也成立，故存在c=23 使原不等式恆成立。
6.2已知x,y,z∈R+ ，求證：x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz
錯解：∵ x2y2+y2z2+z2x2≥ 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z ≥ 3xyz ∴ x2y2+y2z2+z2x2x+y+z≥ 3xyz33xyz33xyz=xyz
錯因：根據不等式的性質：若a >b> 0，c >d >0,則ac bd，但 ac >bd卻不一定成立
正解： x2y2+y2z2≥ 2x y2z，
y2z2+z2x2≥ 2x yz2，
x2y2+z2x2≥ 2x 2yz，
以上三式相加，化簡得：x2y2+y2z2+z2x2≥xyz***x+y+z***，
兩邊同除以x+y+z:
x2y2+y2z2+z2x2x+y+z ≥ xyz
6.3 設x+y>0， n為偶數，求證 yn-1xn+xn-1yn≥
1x 1y
錯證：∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y
=***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
n為偶數，∴ xnyn >0，又xn-yn 和xn-1-yn-1
同號，
∴ yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y
錯因：在x+y>0的條件下，n為偶數時， xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同號，應分x、y同號和異號兩種情況討論。
正解：應用比較法：
yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
① 當x>0,y>0時， ***xn-yn******xn-1-yn-1*** ≥
0，***xy***n >0
所以 ***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
≥0故：yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y
② 當x,y有一個是負值時，不妨設x>0,y<0，
且x+y>0，所以x>|y|
又n為偶數時,所以 ***xn-yn******xn-1-yn-1*** >0
又 ***xy***n >0，所以 ***xn-yn******xn-1-yn-1***xnyn
≥0即 yn-1xn+xn-1yn≥ 1x-1y
綜合①②知原不等式成立
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