數學手抄報數學小報

　　在社會的發展程序中,作為文化現象的數學,受到人們的重視,近年來,數學文化及其相關研究得到了較大發展。在確認數學是一種文化之後,應該進一步理解數學文化的內涵,在數學世界中，數學經歷了三次危機，大家知道嗎?

　　：第三次數學危機產生的背景

　　第三次數學危機產生於十九世紀末和二十世紀初，當時正是數學空前興旺發達的時期。首先是邏輯的數學化，促使了數理邏輯這門學科誕生。十九世紀七十年代康托爾創立的集合論是現代數學的基礎，也是產生危機的直接來源。十九世紀末，戴德金及皮亞諾對算術及實數理論進行公理化，推動了公理化運動。而公理化運動的最大成就則是希爾伯特在1899年對於初等幾何的公理化。

　　公理化方法是現代數學最重要的方法之一，對於數學基礎和數理邏輯的研究也有影響。當時也是現代數學一些新分支興起的時期，如抽象代數學、點集拓撲學和代數拓撲學、泛函分析、測度與積分理論等學科。這些學科的發展一直與數學基礎及數理邏輯的發展有著密切的關係。數學的更新與發展也對數學哲學有許多新的探討，數學的陳腐哲學觀念在當時已經幾乎一掃而空了。

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　　：數理邏輯的興起

　　數學的主要內容是計算和證明。在十七世紀，算術因符號化促使了代數學的產生，代數使計算變得精確和方便，也使計算方法系統化。費爾馬和笛卡兒的解析幾何把幾何學代數化，大大擴充套件了幾何的領域，而且使得少數天才的推理變成機械化的步驟。這反映了代數學作為普遍科學方法的效力，於是笛卡兒嘗試也把邏輯代數化。與笛卡兒同時代的英國哲學家霍布斯也認為推理帶有計算性質，不過他並沒有系統地發展這種思想。

　　現在公認的數理邏輯創始人是萊布尼茲。他的目的是選出一種“通用代數”，其中把一切推理都化歸為計算。實際上這正是數理邏輯的總綱領。他希望建立一套普遍的符號語言，其中的符號是表義的，這樣就可以象數字一樣進行演算，他的確將某些命題形式表達為符號形式，但他的工作只是一個開頭，大部分沒有發表，因此影響不大。

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　　真正使邏輯代數化的是英國數學家布林，他在1847年出版了《邏輯的數學分析》，給出了現代所謂的“布林代數”的原型。布林確信符號化會使邏輯變得嚴密。他的物件是事物的類，1表示全類，0表示空類;xy表示x和y的共同分子所組成的類，運算是邏輯乘法;x+y表示x和y兩類所合成的類，運算是邏輯加法。所以邏輯命題可以表示如下：凡x是y可以表示成x***1-y***=0;沒有x是y可以表示成xy=0。它還可以表示矛盾律 x***1-x***=0;排中律x+***1-x***=1。

　　布林看出類的演算也可解釋為命題的演算。當x、y不是類而是命題，則x=1表示的是命題 x為真，x=0表示命題x為假，1-x表示x的否定等等。顯然布林的演算構成一個代數系統，遵守著某些規律，這就是布林代數。特別是它遵從德·莫爾根定律。

　　美國哲學家、數學家小皮爾斯推進了命題演算，他區別了命題和命題函式。一個命題總是真的或假的，而一個命題函式包含著變元，隨著變元值選取的不同，它可以是真也可以是假。皮爾斯還引進了兩個變元的命題函式以及量詞和謂詞的演算。對現代數理邏輯貢獻最大的是德國耶拿大學教授、數學家弗雷格。弗雷格在1879年出版的《概念文字》一書中不僅完備地發展了命題演算，而且引進了量詞概念以及實質蘊涵的概念，他還給出一個一階謂詞演算的公理系統，這可以說是歷史上第一個符號邏輯的公理系統。因此在這本只有88頁的小冊子中，包含著現代數理邏輯的一個頗為完備的基礎。

　　1884年，弗雷格的《算術基礎》出版，後來又擴充套件成《算術的基本規律》。不過由於他的符號系統煩瑣複雜，從而限制了它的普及，因此在十九世紀時，他的著作流傳不廣。後來由於羅素的獨立工作，才使得弗雷格的工作受到重視。用符號語言對數學進行公理化的是義大利數學家皮亞諾，他在18***用拉丁文寫了一本小冊子《用新方法陳述的算術原理》。在這之前，皮亞諾已經把布林和施羅德的邏輯用在數學研究上，並且引進了一系列對於他前人工作的更新。例如對邏輯運算和數學運算使用不同的符號，區別範疇命題和條件命題，這引導他得出量詞理論。

　　這些改進都是對於布林和施羅德理論的改進，而不是對弗雷格理論的改進，因為當時皮亞諾還不知道弗雷格的工作。在《算術原理》中，他在引進邏輯概念相公式之後，開始用符號的記法來重寫算術，在這本書中他討論了分數、實數、甚至極限和點集論中的概念。

　　皮亞諾引進最原始的算術概念是“數”“1”“後繼”和“等於”，並且陳述了關於這些概念的九條公理。今天我們認為其中公理2、3、4、5都是討論恆等的，應該屬於邏輯公理，所以就剩下了五條公理。這就是現在眾所周知的皮亞諾公理。最後一條公理即公理9，就是所謂數學歸納法原理，他用類的詞句來表述，其中包含一個類變元。皮亞諾承認他的公理化來自戴德金。

　　從1開始，皮亞諾用x+1來表示後繼函式。然後作為定義引進了加法和乘法。這些定義是遞迴的定義。雖然在他的系統中，皮亞諾沒有象戴德金那樣有力的定理可資利用，但皮亞諾並沒有公開地宣稱這些定義可以去掉。這本書的邏輯部分還列出命題演算的公式，類演算的公式，還有一部分量詞的理論。皮亞諾的符號要比布林和施羅德的符號高明得多，標誌著向近代邏輯的重要轉變。他還對於命題的演算和類演算做了某些區別。這就是我們現在的兩種不同演算，而不是同一種演算的兩種不同解釋。它的普遍量詞記號是新的，而且是便利的。

　　不過書裡還是存在缺點，如公式只是列出來的，而不是推匯出來的;因為沒有給出推導規則，皮亞諾引進了代入規則的概念，但是也沒有給出任何規則;更嚴重的是他沒有給出任何分離規則，結果儘管他的系統有許多優點，但他沒有可供使用的邏輯。一直到後來，他才在一系列文章，特別是1895年發表的《數學論集》中，對這些邏輯公式進行了證明。然而他這些證明還是缺少推演規則，在這方面他受到了弗雷格的批評。後來皮亞諾盡力想比弗雷格的《概念文字》有更多的內容，但是他做得並不夠。不過他的這些著作在數學界仍有很大影響，得到廣泛的傳播。