新人教版數學八年級上冊期末試卷

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　　新人教版數學八年級上冊期末試題

　　一、選擇題***本題共10小題，每小題4分，共40分***

　　1.下面有4個汽車標誌圖案，其中是軸對稱圖形的有***　　***

　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

　　2.下列四組線段中，可以組成三角形的是***　　***

　　A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，4，8 D.3，4，9

　　3.點A***﹣2，3***關於x軸的對稱點A′的座標為***　　***

　　A.***2，﹣3*** B.***﹣2，﹣3*** C.***﹣2，3*** D.*** 2，3***

　　4.下列運算中正確的是***　　***

　　A.***x3***2=x5 B.2a﹣5•a3=2a8 C. D.6x3÷***﹣3x2***=2x

　　5.如果a：b=1：2，那麼 =***　　***

　　A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3

　　6.如圖，點A、D、C、E在同一條直線上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，則CD的長為***　　***

　　A.2 B.4 C.4.5 D.3

　　7.如圖所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，則∠B的度數是***　　***

　　A.40° B.35° C.25° D.20°

　　8.如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB於E，垂足為D.若ED=5，則CE的長為***　　***

　　A.10 B.8 C.5 D.2.5

　　9.運動會上，初二***3***班啦啦隊，買了兩種價格的雪糕，其中甲種雪糕共花費40元，乙種雪糕共花費30元，甲種雪糕比乙種雪糕多20根.乙種雪糕價格是甲種雪糕價格的1.5倍，若設甲種雪糕的價格為x元，根據題意可列方程為***　　***

　　A. B.

　　C. D.

　　10.如圖，已知AB∥CD，OA、OC分別平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC於點M，且OM=3，則AB、CD之間的距離為***　　***

　　A.2 B.4 C.6 D.8

　　二、填空題***本題共10小題，每小題4分，共40分***

　　11.某公路急轉彎處設立了一面圓形大鏡子，車內乘客從圓形大鏡子中看到汽車前車牌的部分號碼如圖所示，則該車牌照的部分號碼為　　　　　　.

　　12.如果x2﹣Mx+9是一個完全平方式，則M的值是　　　　　　.

　　13.若分式 的值為零，則x的值為　　　　　　.

　　14.某細胞的直徑為0.000000256m，則它用科學記數法表示為　　　　　　.

　　15.已知：a+b= ，ab=1，化簡***a﹣2******b﹣2***的結果是　　　　　　.

　　16.因式分解：xy2﹣4x=　　　　　　.

　　17.等腰三角形腰上的高等於腰長的一半，則這個等腰三角形的頂角為　　　　　　度.

　　18.如圖，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，則AD=　　　　　　.

　　19.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC邊上的垂直平分線，△ABD的周長為14cm，則△ABC的面積是　　　　　　cm2.

　　20.用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規律拼圖案，即從第二個圖案開始，每個圖案中正三角形的個數都比上一個圖案中正三角形的個數多4個，則第n個圖案中正三角形的個數為　　　　　　***用含n的代數式表示***.

　　三、解答題***共26分***

　　21.計算：

　　***1******﹣ ***﹣2﹣*** ﹣1***0﹣|﹣2|+***﹣3***3×

　　***2******x﹣3***2﹣***2x+1******2x﹣1***﹣7

　　***3******1﹣ ***÷ .

　　22.先化簡，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=2.

　　23.解方程： + = .

　　四、幾何作圖或證明***共20分***

　　24.如圖在△ABC中，點D、E分別是AB、AC邊上的定點，請你在BC邊上確定一點P，使△PDE的周長最小***在圖中作出點P，保留作圖痕跡，不寫作法***

　　25.已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AF=DC，CB=FE，BC∥EF，

　　求證：AB∥DE.

　　26.如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交於點M.

　　***1***求證：△ABC≌△DCB;

　　***2***過點C作CN∥BD，過點B作BN∥AC，CN與BN交於點N，試判斷線段BN與CN的數量關係，並證明你的結論.

　　五、探索解答***共24分***

　　27.如圖1，小明將一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張全等直角三

　　角形紙片***如圖2***，量得兩直角邊長為5cm、5 cm，較小銳角為

　　30°.

　　***1***直角三角形的斜邊長是　　　　　　cm.

　　***2***將剪得的兩個直角三角形拼成等腰三角形，請作出所有不同的等腰三角形，並求其周長.

　　28.某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規定時間內完成;若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數是規定天數的3倍.如果由甲、乙隊先合做15天，那麼餘下的工程由甲隊單獨完成還需10天.

　　***1***這項工程的規定時間是多少天?

　　***2***已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成.則該工程施工費用是多少?

　　29.如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.

　　***1***示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想並寫出AB與AP所滿足的數量關係和位置關係.

　　答：AB與AP的數量關係和位置關係分別是　　　　　　、　　　　　　.

　　***2***將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC於點Q，連結AP，BQ.請你觀察、測量，猜想並寫出BQ與AP所滿足的數量關係和位置關係.答：BQ與AP的數量關係和位置關係分別是　　　　　　、　　　　　　.

　　***3***將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線於點Q，連結AP、BQ.你認為***2***中所猜想的BQ與AP的數量關係和位置關係還成立嗎?若成立，給出證明;若不成立，請說明理由.

　　參考答案

　　一、選擇題***本題共10小題，每小題4分，共40分***

　　1.下面有4個汽車標誌圖案，其中是軸對稱圖形的有***　　***

　　A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

　　【考點】軸對稱圖形.

　　【分析】根據軸對稱圖形的概念結合4個汽車標誌圖案的形狀求解.

　　【解答】解：由軸對稱圖形的概念可知第1個，第2個，第3個都是軸對稱圖形.

　　第4個不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形.

　　故是軸對稱圖形的有3個.

　　故選C.

　　【點評】本題考查了軸對稱圖形的判斷方法：如果一個圖形沿一條直線摺疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形.

　　2.下列四組線段中，可以組成三角形的是***　　***

　　A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，4，8 D.3，4，9

　　【考點】三角形三邊關係.

　　【分析】根據三角形的三邊關係對各選項進行逐一分析即可.

　　【解答】解：A、∵1+2=3，∴不能組成三角形，故A選項錯誤;

　　B、∵2+3>4，∴能組成三角形，故B選項正確;

　　C、∵4+4=8，∴不能組成三角形，故C選項錯誤;

　　D、∵4+3<9，∴不能組成三角形，故D選項錯誤.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查的是三角形的三邊關係，熟知三角形任意兩邊之和大於第三邊是解答此題的關鍵.

　　3.點A***﹣2，3***關於x軸的對稱點A′的座標為***　　***

　　A.***2，﹣3*** B.***﹣2，﹣3*** C.***﹣2，3*** D.*** 2，3***

　　【考點】關於x軸、y軸對稱的點的座標.

　　【分析】根據關於x軸對稱的點，橫座標相同，縱座標互為相反數，可得答案.

　　【解答】解：A***﹣2，3***關於x軸的對稱點A′的座標為***﹣2，﹣3***;

　　故選：B.

　　【點評】本題考查了關於座標軸對稱的點的座標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的座標規律：***1***關於x軸對稱的點，橫座標相同，縱座標互為相反數;***2***關於y軸對稱的點，縱座標相同，橫座標互為相反數;***3***關於原點對稱的點，橫座標與縱座標都互為相反數.

　　4.下列運算中正確的是***　　***

　　A.***x3***2=x5 B.2a﹣5•a3=2a8 C. D.6x3÷***﹣3x2***=2x

　　【考點】整式的混合運算.

　　【專題】計算題.

　　【分析】A、原式利用冪的乘方運演算法則計算得到結果，即可做出判斷;

　　B、原式利用同分母冪的乘法法則計算得到結果，即可做出判斷;

　　C、原式利用負指數冪法則計算得到結果，即可做出判斷;

　　D、原式利用單項式除以單項式法則計算得到結果，即可做出判斷.

　　【解答】解：A、***x3***2=x6，故選項錯誤;

　　B、2a﹣5•a3=2a﹣2，故選項錯誤;

　　C、3﹣2= ，故選項正確;

　　D、6x3÷***﹣3x2***=﹣2x，故選項錯誤.

　　故選C.

　　【點評】此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.

　　5.如果a：b=1：2，那麼 =***　　***

　　A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3

　　【考點】比例的性質.

　　【分析】根據兩內項之積等於兩外項之積用a表示出b，然後代入比例式進行計算即可得解.

　　【解答】解：∵a：b=1：2，

　　∴b=2a，

　　∴ = =﹣3.

　　故選D.

　　【點評】本題考查了比例的性質，用a表示出b是解題的關鍵.

　　6.如圖，點A、D、C、E在同一條直線上，AB∥EF，AB=EF，∠B=∠F，AE=10，AC=6，則CD的長為***　　***

　　A.2 B.4 C.4.5 D.3

　　【考點】全等三角形的判定與性質.

　　【分析】先證明△ABC≌△EFD，得出AC=ED=6，再求出AD=AE﹣ED=4，即可得出CD=AC﹣AD=2.

　　【解答】解：∵AB∥EF，

　　∴∠A=∠E，

　　在△ABC和△EFD中，

　　，

　　∴△ABC≌△EFD***ASA***，

　　∴AC=ED=6，

　　∴AD=AE﹣ED=10﹣6=4，

　　∴CD=AC﹣AD=6﹣4=2.

　　故選A.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質;證明三角形全等是解決問題的關鍵.

　　7.如圖所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，則∠B的度數是***　　***

　　A.40° B.35° C.25° D.20°

　　【考點】等腰三角形的性質.

　　【分析】先根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出∠ADC的度數，再根據等腰三角形的性質及三角形外角與內角的關係求出∠B的度數即可.

　　【解答】解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，

　　∴∠ADC= =50°，

　　∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，

　　∴∠B=∠BAD=*** ***°=25°.

　　故選C.

　　【點評】此題比較簡單，考查的是等腰三角形的性質及三角形內角和定理.

　　8.如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB於E，垂足為D.若ED=5，則CE的長為***　　***

　　A.10 B.8 C.5 D.2.5

　　【考點】線段垂直平分線的性質;含30度角的直角三角形.

　　【分析】根據線段垂直平分線性質得出BE=CE，根據含30度角的直角三角形性質求出BE的長，即可求出CE長.

　　【解答】解：∵DE是線段BC的垂直平分線，

　　∴BE=CE，∠BDE=90°***線段垂直平分線的性質***，

　　∵∠B=30°，

　　∴BE=2DE=2×5=10***直角三角形的性質***，

　　∴CE=BE=10.

　　故選A.

　　【點評】本題考查了含30度角的直角三角形性質和線段垂直平分線性質的應用，關鍵是得到BE=CE和求出BE長，題目比較典型，難度適中.

　　9.運動會上，初二***3***班啦啦隊，買了兩種價格的雪糕，其中甲種雪糕共花費40元，乙種雪糕共花費30元，甲種雪糕比乙種雪糕多20根.乙種雪糕價格是甲種雪糕價格的1.5倍，若設甲種雪糕的價格為x元，根據題意可列方程為***　　***

　　A. B.

　　C. D.

　　【考點】由實際問題抽象出分式方程.

　　【專題】壓軸題.

　　【分析】若設甲種雪糕的價格為x元，根據等量關係“甲種雪糕比乙種雪糕多20根”可列方程求解.

　　【解答】解：設甲種雪糕的價格為x元，則

　　甲種雪糕的根數： ;

　　乙種雪糕的根數： .

　　可得方程： ﹣ =20.

　　故選B.

　　【點評】考查了由實際問題抽象出分式方程，應用題中一般有三個量，求一個量，明顯的有一個量，一定是根據另一量來列等量關係的.本題分析題意，找到合適的等量關係是解決問題的關鍵.

　　10.如圖，已知AB∥CD，OA、OC分別平分∠BAC和∠ACD，OM⊥AC於點M，且OM=3，則AB、CD之間的距離為***　　***

　　A.2 B.4 C.6 D.8

　　【考點】角平分線的性質;平行線之間的距離.

　　【分析】作OF⊥AB，延長FO與CD交於G點，根據角平分線的性質可得，OM=OF=OG，即可求得AB與CD之間的距離.

　　【解答】解：作OF⊥AB，延長FO與CD交於G點，

　　∵AB∥CD，

　　∴FG垂直CD，

　　∴FG就是AB與CD之間的距離.

　　∵∠ACD平分線的交點，OE⊥AC交AC於M，

　　∴OM=OF=OG，

　　∴AB與CD之間的距離等於2OM=6.

　　故選C.

　　【點評】本題主要考查角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質，作出AB與CD之間的距離是正確解決本題的關鍵.

　　二、填空題***本題共10小題，每小題4分，共40分***

　　11.某公路急轉彎處設立了一面圓形大鏡子，車內乘客從圓形大鏡子中看到汽車前車牌的部分號碼如圖所示，則該車牌照的部分號碼為　B6395　.

　　【考點】鏡面對稱.

　　【分析】利用鏡面對稱的性質求解.鏡面對稱的性質：在平面鏡中的像與現實中的事物恰好順序顛倒，且關於鏡面對稱.

　　【解答】解：由鏡面對稱的性質，題中所顯示的圖片中的數字與“B6395”成軸對稱，則該汽車的號碼是B6395.

　　故答案是：B6395.

　　【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質.解決此類題應認真觀察，注意技巧.

　　12.如果x2﹣Mx+9是一個完全平方式，則M的值是　±6　.

　　【考點】完全平方式.

　　【專題】計算題.

　　【分析】利用完全平方公式的結構特徵判斷即可得到M的值.

　　【解答】解：∵x2﹣Mx+9是一個完全平方式，

　　∴﹣M=±6，

　　解得：M=±6，

　　故答案為：±6.

　　【點評】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

　　13.若分式 的值為零，則x的值為　﹣2　.

　　【考點】分式的值為零的條件.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據分式的值為零的條件可以求出x的值.

　　【解答】解：由分式的值為零的條件得|x|﹣2=0，x﹣2≠0，

　　由|x|﹣2=0，解得x=2或x=﹣2，

　　由x﹣2≠0，得x≠2，

　　綜上所述，得x=﹣2，

　　故答案為：﹣2.

　　【點評】若分式的值為零，需同時具備兩個條件：***1***分子為0;***2***分母不為0.這兩個條件缺一不可.

　　14.某細胞的直徑為0.000000256m，則它用科學記數法表示為　2.56×10﹣7　.

　　【考點】科學記數法—表示較小的數.

　　【分析】絕對值小於1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

　　【解答】解：0.000000256=2.56×10﹣7，

　　故答案為：2.56×10﹣7.

　　【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|<10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

　　15.已知：a+b= ，ab=1，化簡***a﹣2******b﹣2***的結果是　2　.

　　【考點】整式的混合運算—化簡求值.

　　【專題】整體思想.

　　【分析】根據多項式相乘的法則展開，然後代入資料計算即可.

　　【解答】解：***a﹣2******b﹣2***

　　=ab﹣2***a+b***+4，

　　當a+b= ，ab=1時，原式=1﹣2× +4=2.

　　故答案為：2.

　　【點評】本題考查多項式相乘的法則和整體代入的數學思想.

　　16.因式分解：xy2﹣4x=　x***y+2******y﹣2***　.

　　【考點】提公因式法與公式法的綜合運用.

　　【分析】先提取公因式x，再對餘下的多項式利用平方差公式繼續分解.

　　【解答】解：xy2﹣4x，

　　=x***y2﹣4***，

　　=x***y+2******y﹣2***.

　　【點評】本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在於要進行二次因式分解.

　　17.等腰三角形腰上的高等於腰長的一半，則這個等腰三角形的頂角為　30或150　度.

　　【考點】含30度角的直角三角形;等腰三角形的性質.

　　【專題】計算題.

　　【分析】分為兩種情況：①高BD在△ABC內時，根據含30度角的直角三角形性質求出即可;②高CD在△ABC外時，求出∠DAC，根據平角的定義求出∠BAC即可.

　　【解答】解：①如圖，

　　∵BD是△ABC的高，AB=AC，BD= AB，

　　∴∠A=30°，

　　②如圖，

　　∵CD是△ABC邊BA 上的高，DC= AC，

　　∴∠DAC=30°，

　　∴∠BAC=180°﹣30°=150°，

　　故答案為：30或150.

　　【點評】本題考查了等腰三角形性質和含30度角的直角三角形性質的應用，主要考查學生能否求出符合條件的所有情況，注意：一定要分類討論啊.

　　18.如圖，△AEB≌△ACD，AB=10cm，∠A=60°，∠ADC=90°，則AD=　5cm　.

　　【考點】全等三角形的性質.

　　【分析】根據勾股定理求出∠C的度數，根據全等三角形的性質得到AC=AB=10cm，根據直角三角形的性質解答即可.

　　【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=90°，

　　∴∠C=30°，

　　∵△AEB≌△ACD，

　　∴AC=AB=10cm，

　　∴AD= AC=5cm.

　　故答案為：5cm.

　　【點評】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵.

　　19.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC邊上的垂直平分線，△ABD的周長為14cm，則△ABC的面積是　24　cm2.

　　【考點】線段垂直平分線的性質.

　　【分析】根據線段垂直平分線性質得出BD=DC，求出AB+AC=14cm，求出AB，代入 ×AB×AC求出即可.

　　【解答】解：∵DE是BC邊上的垂直平分線，

　　∴BD=DC，

　　∵△ABD的周長為14cm，

　　∴BD+AD+AB=14cm，

　　∴AB+AD+CD=14cm，

　　∴AB+AC=14cm，

　　∵AC=8cm，

　　∴AB=6cm，

　　∴△ABC的面積是 AB×AC= ×6×8=24***cm2***，

　　故答案為：24.

　　【點評】本題考查了三角形的面積和線段垂直平分線性質，注意：線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.

　　20.用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規律拼圖案，即從第二個圖案開始，每個圖案中正三角形的個數都比上一個圖案中正三角形的個數多4個，則第n個圖案中正三角形的個數為　4n+2　***用含n的代數式表示***.

　　【考點】規律型：圖形的變化類.

　　【專題】壓軸題;規律型.

　　【分析】分析可知規律是每個圖案中正三角形的個數都比上一個圖案中正三角形的個數多4個.

　　【解答】解：第一個圖案正三角形個數為6=2+4;

　　第二個圖案正三角形個數為2+4+4=2+2×4;

　　第三個圖案正三角形個數為2+2×4+4=2+3×4;

　　…;

　　第n個圖案正三角形個數為2+***n﹣1***×4+4=2+4n=4n+2.

　　故答案為：4n+2.

　　【點評】此題考查了平面圖形，主要培養學生的觀察能力和空間想象能力.

　　三、解答題***共26分***

　　21.計算：

　　***1******﹣ ***﹣2﹣*** ﹣1***0﹣|﹣2|+***﹣3***3×

　　***2******x﹣3***2﹣***2x+1******2x﹣1***﹣7

　　***3******1﹣ ***÷ .

　　【考點】實數的運算;整式的混合運算;分式的混合運算;零指數冪;負整數指數冪.

　　【專題】計算題;實數.

　　【分析】***1***原式第一項利用負整數指數冪法則計算，第二項利用零指數冪法則計算，第三項利用絕對值的代數意義化簡，第四項利用乘方的意義及立方根定義計算即可得到結果;

　　***2***原式利用完全平方公式，平方差公式化簡，去括號合併即可得到結果;

　　***3***原式括號中兩項通分並利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到結果.

　　【解答】解：***1***原式=9﹣1﹣2+9=6+9=15;

　　***2***原式=x2﹣6x+9﹣4x2+1﹣7=﹣3x2﹣6x+3;

　　***3***原式= • = .

　　【點評】此題考查了實數的運算，熟練掌握運演算法則是解本題的關鍵.

　　22.先化簡，再求值： ﹣ ÷ ，其中a=2.

　　【考點】分式的化簡求值.

　　【分析】先進行分式的化簡，然後將a的值代入求解.

　　【解答】解：原式= ﹣ •

　　= ﹣

　　= ，

　　當a=2時，原式= .

　　【點評】本題考查了分式的化簡，解答本題的關鍵是把分式化到最簡，然後代值計算.

　　23.解方程： + = .

　　【考點】解分式方程.

　　【分析】利用解分式方程的步驟與方法求得方程的解即可.

　　【解答】解： + =

　　方程兩邊同乘***x+2******x﹣2***得

　　x+2***x﹣2***=x+2

　　解得：x=3

　　檢驗：當x=3，***x+2******x﹣2***≠0，

　　所以原分式方程的解為x=3.

　　【點評】此題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟與方法是解決問題的關鍵.

　　四、幾何作圖或證明***共20分***

　　24.如圖在△ABC中，點D、E分別是AB、AC邊上的定點，請你在BC邊上確定一點P，使△PDE的周長最小***在圖中作出點P，保留作圖痕跡，不寫作法***

　　【考點】軸對稱-最短路線問題.

　　【分析】由題意可知DE的長度固定，故此△PDE的周長最小即PD+PE有最小值，先作出點D關於BC的對稱點D′，連線D′E交BC於點P，點P即為所求.

　　【解答】解：如圖所示：

　　【點評】本題主要考查的是軸對稱﹣最短路線問題，明確當點D′、P、E在一條直線上時，三角形PDE的周長最小是解題的關鍵.

　　25.已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，AF=DC，CB=FE，BC∥EF，

　　求證：AB∥DE.

　　【考點】全等三角形的判定與性質;平行線的判定與性質.

　　【專題】證明題.

　　【分析】由題中條件可得△ABC≌△DEF，進而可得∠A=∠D，進而可得出結論.

　　【解答】證明：∵BC∥EF，

　　∴∠BCF=∠EFC，

　　∴∠ACB=∠EFD，

　　∵AF=DC，

　　∴AC=DF，

　　又BC=EF，

　　∴△ABC≌△DEF，

　　∴∠A=∠D，

　　∴AB∥DE***內錯角相等，兩直線平行***

　　【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及平行線的性質及判定問題，能夠熟練掌握.

　　26.如圖，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC與DB交於點M.

　　***1***求證：△ABC≌△DCB;

　　***2***過點C作CN∥BD，過點B作BN∥AC，CN與BN交於點N，試判斷線段BN與CN的數量關係，並證明你的結論.

　　【考點】菱形的判定;全等三角形的判定.

　　【專題】證明題;探究型.

　　【分析】***1***由SSS可證△ABC≌△DCB;

　　***2***BN=CN，可先證明四邊形BMCN是平行四邊形，由***1***知，∠MBC=∠MCB，可得BM=CM，於是就有四邊形BMCN是菱形，則BN=CN.

　　【解答】***1***證明：如圖，在△ABC和△DCB中，

　　∵AB=DC，AC=DB，BC=CB，

　　∴△ABC≌△DCB;

　　***2***解：據已知有BN=CN.證明如下：

　　∵CN∥BD，BN∥AC，

　　∴四邊形BMCN是平行四邊形，

　　由***1***知，∠MBC=∠MCB，

　　∴BM=CM***等角對等邊***，

　　∴四邊形BMCN是菱形，

　　∴BN=CN.

　　【點評】此題主要考查全等三角形和菱形的判定.

　　五、探索解答***共24分***

　　27.如圖1，小明將一張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩張全等直角三

　　角形紙片***如圖2***，量得兩直角邊長為5cm、5 cm，較小銳角為

　　30°.

　　***1***直角三角形的斜邊長是　10　cm.

　　***2***將剪得的兩個直角三角形拼成等腰三角形，請作出所有不同的等腰三角形，並求其周長.

　　【考點】圖形的剪拼.

　　【分析】***1***直接利用勾股定理得出答案;

　　***2***利用等腰三角形的性質分別得出符合題意的圖形.

　　【解答】解：***1***∵兩直角邊長為5cm、5 cm，

　　∴直角三角形的斜邊長是： =10***cm***;

　　故答案為：10;

　　***2***如圖所示：

　　圖1中三角形的周長為：5+5+10+10=30***cm***，

　　圖2中三角形的周長為：5 +5 +10+10=10 +20***cm***.

　　【點評】此題主要考查了勾股定理以及圖形的剪拼，正確利用等腰三角形的性質得出是解題關鍵.

　　28.某縣為了落實中央的“強基惠民工程”，計劃將某村的居民自來水管道進行改造.該工程若由甲隊單獨施工恰好在規定時間內完成;若乙隊單獨施工，則完成工程所需天數是規定天數的3倍.如果由甲、乙隊先合做15天，那麼餘下的工程由甲隊單獨完成還需10天.

　　***1***這項工程的規定時間是多少天?

　　***2***已知甲隊每天的施工費用為6500元，乙隊每天的施工費用為3500元.為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊合做來完成.則該工程施工費用是多少?

　　【考點】分式方程的應用.

　　【分析】***1***設這項工程的規定時間是x天，根據甲、乙隊先合做15天，餘下的工程由甲隊單獨需要10天完成，可得出方程解答即可;

　　***2***先計算甲、乙合作需要的時間，然後計算費用即可.

　　【解答】解：***1***設這項工程的規定時間是x天，根據題意得：

　　*** + ***×15+ =1.

　　解得：x=30.

　　經檢驗x=30是原分式方程的解.

　　答：這項工程的規定時間是30天.

　　***2***該工程由甲、乙隊合做完成，所需時間為：1÷*** + ***=22.5***天***，

　　則該工程施工費用是：22.5×=225000***元***.

　　答：該工程的費用為225000元.

　　【點評】本題考查了分式方程的應用，解答此類工程問題，經常設工作量為“單位1”，注意仔細審題，運用方程思想解答.

　　29.如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC;△EFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP.

　　***1***示例：在圖1中，通過觀察、測量，猜想並寫出AB與AP所滿足的數量關係和位置關係.

　　答：AB與AP的數量關係和位置關係分別是　AB=AP　、　AB⊥AP　.

　　***2***將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC於點Q，連結AP，BQ.請你觀察、測量，猜想並寫出BQ與AP所滿足的數量關係和位置關係.答：BQ與AP的數量關係和位置關係分別是　BQ=AP　、　BQ⊥AP　.

　　***3***將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC的延長線於點Q，連結AP、BQ.你認為***2***中所猜想的BQ與AP的數量關係和位置關係還成立嗎?若成立，給出證明;若不成立，請說明理由.

　　【考點】全等三角形的判定與性質.

　　【分析】***1***由於AC⊥BC，且AC=BC，邊EF與邊AC重合，且EF=FP，則△ABC與△EFP是全等的等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到∠BAC=∠CAP=45°，AB=AP，則∠BAP=90°，於是AP⊥AB;

　　***2***延長BO交AP於H點，可得到△OPC為等腰直角三角形，則有OC=PC，根據“SAS”可判斷△ACP≌△BCO，則AP=BO，∠CAP=∠CBO，利用三角形內角和定理可得到∠AHO=∠BCO=90°，即AP⊥BO;

　　***3***BO與AP所滿足的數量關係為相等，位置關係為垂直.證明方法與***2***一樣.

　　【解答】解：***1***AB=AP，AB⊥AP;

　　***2***BQ=AP，BQ⊥AP;

　　***3***成立.

　　證明：如圖，∵∠EPF=45°，

　　∴∠CPQ=45°.

　　∵AC⊥BC，

　　∴∠CQP=∠CPQ，

　　CQ=CP.

　　在Rt△BCQ和Rt△ACP中，

　　∴Rt△BCQ≌Rt△ACP***SAS***

　　∴BQ=AP;

　　延長QB交AP於點N，

　　∴∠PBN=∠CBQ.

　　∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，

　　∴∠BQC=∠APC.

　　在Rt△BCQ中，∠BCQ+∠CBQ=90°，

　　∴∠APC+∠PBN=90°.

　　∴∠PNB=90°.

　　∴QB⊥AP.

　　【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那麼這兩個三角形全等;全等三角形的對應邊相等.也考查了等腰直角三角形的判定與性質.