什麼是拐點拐點概述

　　對於由離散點表示的數字地圖與GIS圖形資料 ,本文首先利用兩相鄰向量叉積乘積的原理來判定拐點所在的折線邊，什麼是拐點呢？下面是小編整理的什麼是拐點，歡迎閱讀。

　　什麼是拐點

　　拐點，又稱反曲點，在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點***即曲線的凹凸分界點***。若該曲線圖形的函式在拐點有二階導數，則二階導數在拐點處異號***由正變負或由負變正***或不存在。在生活中借指事物的發展趨勢開始改變的地方***例如：經濟執行出現回升拐點***

　　拐點概述

　　數學

　　可以這樣通俗的理解拐點，即在a點的左右f ''***x***的正負發生變化的點，f ''***a***異號***由正變負或由負變正***或者不存在。

　　在數學領域是指，凸曲線與凹曲線的連線點。

　　拐點定義***根據高等數學同濟6版上冊第151頁***

　　一般的，設y=f***x***在區間I上連續，x0是I的內點***除端點外的I內的點***。如果曲線y=f***x***在經過點***x0,f***x0******時，曲線的凹凸性改變了，那麼就稱點***x0,f***x0******為這曲線的拐點。

　　凹的充分條件:

　　若曲線y=f***x******a≤x≤b***的一段，位於其任意一點的切線之上***或之下***，則稱這個可微分的函式y=f***x***的圖形於閉區間[a,b]上是凹***或對應地，凸***的。在假設二階導函式f"***x***存在的情況下，當a0[或對應地f"***x***<0]成立，為圖形是凹***或對應地，凸***的充分條件。

　　拐點的必要條件：設f***x***在***a,b***內二階可導，x0∈***a,b***，若***x0,f***x0******是曲線y=f***x***的一個拐點，則f‘’***x0***=0。

　　拐點的充分條件：設f***x***在***a,b***內二階可導，x0∈***a,b***，則f‘’***x0***=0，若在x0兩側附近f‘’***x0***異號，則點***x0,f***x0******為曲線的拐點。否則***即f‘’***x0***保持同號，***x0,f***x0******不是拐點。

　　當函式影象上的某點使函式的二階導數為零，且三階導數不為零時，這點即為函式的拐點。

　　若函式y=f***x***在c點可導，且在點c一側是凸，另一側是凹，則稱c是函式y=f***x***的拐點。另外，如果c是拐點，必然有f''***c***=0或者f''***c***不存在;反之則不成立;比如，f***x***=x^4，有f''***0***=0，但f''***x***=12x^2在整個定義域內恆大於0，所以0不是函式f***x***=x^4的拐點，且整個函式在R上是凹的。

　　拐點的求法***摘錄自高等數學同濟5版上冊第149頁***

　　可以按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f***x***的拐點：

　　⑴求f''***x***;

　　⑵令f''***x***=0，解出此方程在區間I內的實根，並求出在區間I內f''***x***不存在的點;

　　⑶對於⑵中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x0，檢查f''***x***在x0左右兩側鄰近的符號，那麼當兩側的符號相反時，點***x0,f***x0******是拐點，當兩側的符號相同時，點***x0,f***x0******不是拐點。

　　例如，y=x^3,y'=3x^2,y''=6x，解出x=0時，y'=0,y''=0：y在***負無窮大，0***上為增函式，y''<0，函式曲線為凸函式;y在***0，正無窮大***上為增函式，函式y''>0，函式曲線為凹函式。但y全區間函式為增函式，拐點在這裡說明的只是函式曲線凹凸分界點。

　　生活

　　在生活中，拐點多用來說明某種情形持續上升一段時間後開始下降或回落。在數學上這句話是錯的，這種點叫極值點、穩定點或者叫駐點;所以，有了經濟的拐點，房地產的拐點，以及股市的拐點。