八年級下冊數學課時練答案
勤奮做八年級數學的課時練習題的同學一定會獲得成績上的提升,為大家整理了八年級下冊數學課時練的答案,歡迎大家閱讀!
***一***
矩形的判定
【優效自主初探】
自主學習
***1***①證明:在□ABCD中,AB=CD.
因為AC= BD,BC=CB,
所以△ABC≌△DCB.
②在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,
所以∠ABC+∠DCB=180°.
因為△ABC≌△DCB,
所以∠ABC=∠DCB,
所以∠ABC=90°.
③在平行四邊形ABCD中,因為∠ABC=90°,
所以四邊形ABCD是矩形.
***2***①90°
②平行
③是矩形,由矩形的定義可得.
歸納:矩形的判定方法。
***1***有一個角是直角的四邊形是平行四邊形 。
***2***對角線相等的四邊形是平行四邊形。
***3***有三個角是直角的四邊形是矩形。
【高效合作交流】
[例1]思路探究:
***1***因為∠BAD=∠CAE,
所以∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC,
所以∠BAE=∠CAD.
又因為AE=AD.AB=AC,
所以△BAE≌△CA D.
***2***因為△BAE≌△CAD,
所以BE=CD.
又因為DE=BC,
所以四邊形BCDE是平行四邊形.
***3***因為△BAE≌△CAD,
所以∠BEA=∠CDA.
因為AE=AD,
所以∠AED=∠ADE.
所以∠BED=∠CDE.
證明:因為∠BAD=∠CAE,
所以∠BAD =BAC=∠CAE -∠BAC,
所以∠BAE=∠CAD.
因為AE=AD,AB=AC,
所以△BAE≌△CAD***SAS***.
所以∠BEA=∠CDA,BE =CD.
又因為DE=BC,
所以四邊形BCDE是平行四邊形.
因為AE=AD,
所以∠AED=∠ADE.
因為∠BEA =∠CDA,
所以∠BED=∠CDE.
因為四邊形BCDE是平行四邊形,
所以BE∥CD,
所以∠BED+∠CDE= 180°,
所以∠BED =∠CDE=90°,
所以四邊形BCDE是矩形.
[針對訓練]1
***1***證明:因為BE⊥AC,DF⊥AC,
所以∠BEO-∠DF0=90°.
因為點O是EF的中點,
所以OE=OF.
又因為∠DOF=∠BOE,
所以△BOE≌△DOF ***ASA***.
***2***解:四邊形ABCD是矩形,理由如下:
因為△BOE≌△DOF,
所以OB=OD.
又因為OA=OC,
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
因為OA=1/2BD,OA=1/2AC,
所以BD=AC,
所以平行四邊形ABCD是矩形.
[例2]思路探究:
***1***直角
***2***⊥
***3***因為AB=AC=5,BC=6,AD是BC的中線,
所以BD=DC==6×1/2=3,AD⊥BC.
在Rt△ACD中,
***1***證明:因為AB=AC,AD是BC邊上的中線,
所以AD⊥3C,
所以∠ADB=90°,
因為四邊形ADBE是平行四邊形,
所以平行四邊形ADBE是矩形.
***2***解:因為AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線,
所以BD=DC=6×1/2=3.
在Rt△ACD中.
所以S矩形ADBE=BD∙AD=3×4=12.
[針對訓練]2、6
達標檢測
1、D
2、D
3、***2,***
4、證明:因為四邊形ABDE是平行四邊形,
所以AE∥BD,AB=DF,AE=BD.
因為D是BC的中點,
所以CD=BD,
所以CD∥AE,CD=AE,
所以四邊形ADCF是平行四邊形.
因為AB=AC.D為BC的中點,
所以AD⊥BC,即∠ADC=90°,
所以平行四邊形ADCE是矩形.
【增效提能演練】
1、D
2、C
3、AB=AD
4、證明:
***1***因為BE=CF,BF =BE+EF .CE=CF+EF,
所以BF=CE.
因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以AB=DC,又因為AF=DE.
所以△ABF≌△DCE*** SSS***.
***2***因為△ABF≌△DCF,所以∠B=∠C.
因為四邊形ABCD是平行四邊形.所以AB∥CD.
所以∠B=∠C=180°.
所以∠B=∠C=90°,
所以四邊形ABCD是矩形.
5、解答。
解:
***1***BD=CD.理由如下:
因為AF∥BC,
所以∠AFE=∠DCE.
因為E是以AD的中點.
所以AE=DE.
又因為∠AEF=∠DEC,
所以△AEF≌△DEC***AAS***.
所以AF=CD.
因為AF=BD,
所以BD=CD.
***2***當△ABC滿足AB=AC時,四邊形AFBD是矩形, 理由如下:
因為AF∥BD,AF=BD,
所以四邊形AFBD是平行四邊形.
因為AB=AC,BD=CD,
所以∠ADB=90°,
所以□AFBD是矩形.
6、解:四邊形PEMF為矩形,理由如下:
因為PE∥/MB,PF∥MC,
所以四邊形PEMF為平行四邊形。
在平行四邊形ABCD中,AB=CD,因為點M是邊AD的中點
所以AM=DM=1/2AD.
因為AB:AD=1:2,
所以AB=CD=AM=DM,
所以∠ABM=∠AMB,∠DMC=∠DCM.
因為AD∥CB,
所以∠CBM=∠AMB,∠DMC=∠BCM,
所以∠CBM=∠ABM=1/2∠ABC,∠DCM=∠BCM=1/2∠DCB.
因為AB∥CD.
所以∠ABC十∠DCB=-180°,
所以∠CBM+∠BCM=90,
所以∠BMC=90°,
所以平行四邊形PEMF為矩形.
7、解答。
證明:
***1***因為CN∥AB,
所以∠DAC=∠NCA.
又因為MA=MC,∠AMD=∠CMN,
所以△AMD≌△CMN***AAS***,
所以AD=CN.
又因為AD∥CN,
所以四邊形ADCN是平行四邊形,
所以CD=AN.
***2***因為∠ACM=2∠MCD,∠AMD=∠MMCD+∠MDC,
所以∠MCD=∠MDC.
所以MD=MC.
由***1***,知四邊形ADCN是平行四邊形.
所以MD=MN=MA=MC,
所以AC=DN,
所以四邊形ADCN是矩形.
8、***1***證明:如答圖18.2.2-1;因為MN交∠ACB的平分線於點E,交∠ACB的外角平分線於點F,
所以∠2=∠5.∠4=∠6.
因為MN∥BC,
所以∠1=∠5,∠3=∠6,
所以∠l=∠2,∠3=∠4,
所以EO=CO,FO=CO,
所以0E=OF.
答圖18. 2.2一l
***2***解:因為∠2=∠5,∠4=∠6,
所以∠2+∠4=∠5+∠6=90°.
因為CE==12,CF=5,
所以OC=1/2EF=6.5.
***3***解:當點O在邊AC上運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形。理由如下:
當O為AC的中點時,AO=CO
因為EO=FO,
所以四邊形AECF是平行四邊形.
因為∠ECF=90°,
所以平行四邊形AECF是矩形.
因為EP=FO;
所以四邊形AECF是平行四邊形.
因為∠FCF=90°,
所以□AFCF是矩形.
***二***
菱形的性質
【優效自主初探】
自主學習
1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
2、***1***CD、AD 、 CD、AD
歸納:菱形的四條邊都相等。
***2***OC、⊥、∠ABC、∠ADC、∠BAD、∠BCD
歸納:菱形的兩條對角線互相垂直,並且每一條對角線平分一組對角.
3、1/2a、AO、1/4ab、1/2ab
4、***1***70°
***2***6 cm²
【高效合作交流】
[例]思路探究:
***1***在菱形ABCD中,AB=AD,∠A=60°,
所以△ABD為等邊三角形.
***2***因為△ABD為等邊三角形;
所以BD=AB=4.
又因為O為BD的中點.
所以OB=2。
解:
***1***在菱形ABCD中.AB==AD.∠A=60°,
所以△ABD為等邊三角形,
所以∠ABD= 60°.
***2***由***1***,知 BD=AB=4.
因為0為BD的中點,
所以OB=2.
又因為OE⊥AB,∠ABD=60°,
所以∠BOE=30°.
所以BE=1/2OB=1
[針對訓練]1
證朋:因為等邊三角形CFF的邊長與菱形ABCD的邊長相等,
所以BC=CE.
所以∠B=∠BEC.
同理∠D=∠CFD.
又因為∠B=∠D
所以∠BEC=∠CFD.
因為△CEF為等邊三角形,
所以∠CEF=∠CFE.
因為∆CEF為等邊三角形,
所以∠CEF=∠CFE.
因為∠BEC+∠CEF+∠AEF=∠CFD+∠CFE+∠AFE=180°,
所以∠AEF=∠AFE.
[例2]思路探究:SAS、SSS、∠EAC、∠FAC、SAS
證明:因為AC是菱形ABCD的對角線,
所以∠EAC=∠FAC.
又因為AE=AF,AC=AC,
所以∆ACE≌∆ACF***SAS***.
[針對訓練]2
解:DE=DF. 證明過程如下:
如答圖12.2.3-1,連線BD.
因為四邊形ABCD是菱形,
所以∠CBD=∠ABD.
因為DF⊥BC,DE⊥AB,
所以∠DFB=∠DEB=90°.
又因為DB=DB,
所以∆DFB≌∆DEB***AAS***,
所以DE=DF.
答圖12.2.3-1
達標檢測
1、D
2、C
3、A
4、12/5
5、證明:因為四邊形ABCD是菱形,
所以AB=BC,∠A=∠C,
又因為AF= CE,
所以△ABF≌△CBE*** SAS***,
所以BE=BF.
【增效提能演練】
1、C
2、B
3、B
4、A
5、***3,4***
6、解答。
***1***解:△.ADC≌△ABC;△GFC≌△EFC.
***2***證明:因為四邊形ABCD和四邊形CEFG是菱形,
所以DC=BC,CG=CE, ∠DCA=∠BCA, ∠GCF=∠ECF.
因為點A,C,F在同一條直線上,
所以∠ACF=180°,
所以∠DCG=∠BCE.
所以△DCG≌△FCF.
所以BE=DG.
7、解答。
***1***證明:如答圖18.2.3-3,連線AC.
因為BD,AC.是菱形ABC,D.的對角線,
所以BD垂直平分AC.
所以AE=EC,.
***2***解:點F是線段BC的中點,理由如下:
在菱形ABCD中,AB=BC,
又因為∠ABC=60°,
所以△ABC是等邊三角形,
所以∠BAC=60°
所以AE=EC,
又因為∠EAC+∠ECA=∠CEF=60°,
所以∠EAC=1/2∠CEF=30°
所以AF是△ABC的角平分線,
所以AF是線段BC的中點,
所以點F是線段BC的中點.
9、解答。
***1***證明:因為四邊形ABCD是菱形,
所以AB=AD,∠BAC=∠DAC.
又因為EF⊥AC,
所以∠AOE=∠AOM=90°.
又因為AO=AO,
所以△AOE≌△AOM,
所以AE=AM.
因為AM = AE=1/2AD,
所以AM=DM.
***2***解:因為AB∥CD,
所以△AEM=△F.
又因為∠DMF =∠AME.,∠AME=∠AEM,
所以∠DMF=∠F,
所以△DFM是等腰三角形,
所以DF=DM=***1 ***/2AD.
因為DF=2,
所以AD=4.
所以菱形ABCD的周長是16.
10、解答。
***1***證明:因為四邊形ABCD是菱形,
所以AO=CO,AD∥BC,
所以∠OAE=∠OCF,
在△AOE和△COF中,
所以△AOE≌△COF ***ASA***.
***2***解:因為∠BAD=60°,
所以∠DAO=1/2∠BAD=1/2×60°=30°.
因為∠EOD=30°.
所以∠AOE=90°-30°=60°,
所以∠AEF =180-∠DAO-∠A0E =180°-30°-60°=90°
因為菱形的邊長為2,∠DAO=30°,
所以OD= 1/2AD=1/2×2=1,
所以OE=1/2AO=/2,AE=3/2.
由***1***,知CF=AE=3/2,EF=2×/2=,
在Rt△CEF中,
.
***三***
菱形的判定
【優效自主初探】
自主學習
1、菱形的判定定理.
***1***OC、CD、菱形
歸納:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
***2***平行、菱形
歸納:四條邊相等的四邊形是菱形.
2、OA=OC***注:此題答案不唯一***
【高效合作交流】
[例1]思路探究:
***1*** DF、CF、10、平行四邊形
***2***因為∠B=90°,AB=6 cm.BC=8 cm,
證明:由平移,得CF =AD=10 cm,DF=AC,
所以四邊形ACFD是平行四邊形.
因為∠B=90°,AB=6 cm.BC=8 cm,
又因為AD=10 cm,
所以AC=AD,
所以四邊形ACFD是菱形.
[針對訓練]1
證明:
***1***在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,
所以∠AEB=∠EAD.
因為AF=AB.
所以∠ABF=∠AEB.
所以∠ABE=∠EAD.
***2***因為AD∥BC,
所以∠ADB =∠DBE.
又因為∠ABE =∠AEB,∠AEB=2∠ADB,
所以∠ABE=2∠ADB,
所以∠ABD=∠ABE-∠DBE=2∠ADB -∠ADB=∠ADB.
所以AB=AD.
又因為四邊形ABCD是平行四邊形,
所以四邊形ABCD是菱形.
[例2]思路探究:
***1***AE=AF.理由如下:
因為點E,F分別為AB,AD的中點,
所以AE=1/2AB,
AF=1/2AD.
又因為四邊形ABCD是菱形,
所以AB=AD,
所以AE=AF.
***2***因為菱形ABCD的對角線AC與BD相交於點0,
所以O為BD的中點,
又因為點E,F分別為AB,AD的中點,
所以OE,OF是△ABD的中位線,
所以OF∥AD,OF∥AB,
所以四邊形AEOF是平行四邊形.
證明:因為點E,F分別為AB,AD的中點,
所以AE=1/2AB,AF=1/2AD,
又因為四邊形ABCD是菱形,
所以AB=AD,所以AE=AF.
又因為菱形ABCD的對角線AC與BD相交於點O.
所以O為BD的中點,
所以OE,OF是△ABD的中位線,
所以OE∥AD,OF∥AB.
所以四邊形AEOF是平行四邊形,
因為AE=AF,所以四邊形AEOF是菱形.
[針對訓練]2
解:
***1***菱形.理由:根據題意,得AE=AF=ED=DF.
所以四邊形AEDF是菱形.
***2***如答圖18.2.4-1,連線EF,因為AE=AF,∠A=60°,
所以△EAF是等邊三角形,
所以EF=AE=8 cm.
答圖 18.2.4-1
達標檢測
1、A
2、B
3、菱形
4、AB=BC***答案不唯一***
5、證明:因為∠B=60°,AB=AC,
所以∆ABC為等邊三角形,
所以AB=BC,∠ACB=∠BAC=60°,
所以∠A=CE=∠FAC=120°.
因為AD平分∠FAC,CD平分∠ECA,
所以∠DAC=∠ACD=60°,
所以∠BAD=∠BCD=120°,∠B=∠D=60°,
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
又因為AB=BC,
所以平行四邊形BCD是菱形.
【增效提能演練】
1、B
2、A
3、B
4、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
5、菱形
6、證明:
***1***在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,AB =CD.
因為F,F分別為AB,CD的中點,
所以DF=1/2DC,BE=1/2AB.
所以DF∥BE,DF=BE.
所以四邊形DEBF是平行四邊彤.
所以DE∥BF.
***2***因為AG∥BD.
所以∠G=∠DBC=90°.
所以△DBC是直角三角形,
又因為F是CD的中點,
所以BF=1/2DC=DF.
又因為四邊形DEBF是平行四邊形,
所以四邊形DFBF是菱形.
7、解答。
***1***證明:因為AF∥BC,
所以∠AFE=∠DBE.
因為E是AD的中點,
所以AE=DE.
在△AFE和△DBE中,∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE= DE.
所以△AFE≌△DBE***AAS***.
所以AF=BD.
又因為BD=DC,
所以AF=DC.
***2***解:四邊形ADCF是菱形.證明如下:
因為AF∥BC,AF=DC,
所以四邊形ADCF是平行四邊形.
因為AC⊥AB,AD是斜邊BC的中線,
所以AD= DC,
所以平行四邊形ADCF是菱形.
8、D
9、菱形
10、解答
***1***證明:由題意,知∠FDC=∠DCA=90°,
所以EF∥CA,
所以∠FEA =∠CAE.
因為AF=CE=AE,
所以∠F=∠FEA=∠CAE=∠ECA.
在△EAF和△AEC中,
因為∠F=∠ECA.∠FEA=∠CAE,EA=AE,
所以△EAF≌△AEC*** AAS***,
所以EF=CA,
所以平行四邊形ACEF是平行四邊形.
***2***解:當∠B= 30°時,四邊形ACEF是菱形,理由如下:
因為∠B=30°,∠ACB=90°,
所以AC=1/2AB.
因為DE垂直平分BC,
所以BE=CE.
又因為AE=CE,
所以CE=1/2AB,
所以AC=CE.
由***1***得四邊形ACEF是平行四邊形,
所以四邊形ACEF是菱形.
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