倍與倍數的區別

　　“倍”與“倍數”雖然只有一字之差，卻是兩個不同的數學概念，只有真正明確它們各自的內涵和使用範圍，才不會在理解和應用上造成混淆。兩者的區別是什麼呢?下面就跟著小編一起來看看吧。

　　“倍”與“倍數”有什麼區別

　　“倍”指的是數量之間的關係，它建立在乘法概念的基礎上，在實際教學中，是從“個”和“份”逐步抽象出來的數學概念。

　　例如：白布8米，花布的長度有4個8米;或者說把白布8米看作1份，花布的長度是4份。這裡所說的“個”與“份”，換成數學語言就是花布的長度是8米的4“倍”，花布的米數是8×4=32米。由此可見，“倍”的出現是從生活中的“個”與“份”逐步抽象出來的，是建立在乘法概念的基礎上的。

　　“倍數”指的是數與數之間的聯絡，它建立在“數的整除性”這個大概念的基礎上，是在明確“整除”的前提下，與“約數”同時建立的。

　　例如：28是7的倍數，因為28能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示這三個數的數量關係，則7×4=28，7的4倍是28。由此可見，前者的“倍數”是嚴格限制在“整除”的範圍內，而後者的“倍”只體現在乘法的概念當中，這是兩者的明確區別。

　　在小學數學教材中，“倍數”的運用還有另一種情況，即在比例教學時，當闡述正、反比例關係所提到的“擴大或縮小相同的倍數”，這裡所提到的“倍數”，是一般除法中的概念，而不是“整除”範圍內的概念。比例中所出現的倍數，所表示的是兩個最相比而得到的數，這個數不一定是整數，也可能是小數。在研究“數的整除性”中的倍數，是不允許出現小數的。

　　“倍”和“倍數”的區別

　　“倍”指的是數量關係，它建立在乘法概念的基礎上，例如：公雞有10只，母雞有3個10只，我們就說，母雞的只數是公雞的3倍，也可以說，10的3倍，就是3個10，即10×3。

　　“倍數”指的是數與數之間的聯絡，它建立在整除概念的基礎上，例如，30能被6整除，30是6的倍數。但30是6的5倍，因為6×5=30，“6×5”表示6的5倍。

　　在闡述正、反比例關係時，提到“擴大”或“縮小”相同的“倍數”，這裡的“倍數”與前面提到的“倍數”的含義是不同的，前面提到的倍數是指整除中一個概念，指的是被除數，它只能是一個整數，後面提到的倍數，是一般除法中的一個概念，指的是商數，它表示兩個量相比而得到的數。

　　隨著我們今後學習知識量的增加，倍數的範圍會不斷的擴大的。倍數既可以是一個整數，同時還可以是分數或者是小數，甚至可以用百分數來表示兩個數量之間的倍數關係。

　　“數的整除性”有哪些性質

　　“數的整除性”的性質很多，涉及到小學數學內容的有以下幾個：

　　1如果兩個整數a、b都能被c整除，那麼a與b的和也能被c整除。

　　例如：42÷7=6 56÷7=8

　　42+56÷7=14

　　42能被7整除，56也能被7整除，那麼42與56的和98也能被7整除。

　　反之，如果整數a、b中，有一個數能被c整除，而其中一個數不能被c整除，那麼a與b的和就一定不能被c整除。

　　例如：36÷9=4 83÷9=9……2

　　36+83÷9=13……2

　　36能被9整除，83不能被9整除，那麼36與83的和119不能被9整除。

　　2如果兩個整數a、b都能被c整除，那麼a與b的差也能被C整除。

　　例如：88÷11=8， 66÷11=6

　　88-66÷11=2

　　88能被11整除，66也能被11整除，那麼88與66的差22也能被11整除。

　　反之，如果整數a、b中，有一個數能被c整除，另一個數不能被c整除，那麼a與b的差就一定不能被c整除。

　　例如：91÷13=7 30÷13=2……4

　　91-30÷13=4……9

　　91能被13整除，30不能被13整除，那麼91與30的差61不能被13整除。

　　3如果兩個整數a、b都不能被c整除。那麼a與b的和或差能或不能被c整除。這是一個不肯定的結論。

　　例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5

　　65+33÷7=14

　　65-33÷7=4……4

　　65不能被7整除，33也不能被7整除，由於兩個餘數的和2+5=7，正好等於除數，因此，65與33的和98能被7整除;而65與33的差則不能被7整除。

　　又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5

　　85+38÷11=11……2

　　85-38÷11=4……3

　　85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85與38的和123或差47都不能被11整除。

　　4如果整數a能被自然數c整除，那麼a的倍數整數倍也能被c整除。

　　例如：39÷13=3

　　39×4÷13=12

　　39能被13整除，39的4倍156也能被13整除。

　　5如果a、b、c這三個數中，a能被b整除，b又能被c整除，那麼a一定能被c整除這是整除的傳遞性。

　　例如：有84、21、7三個數

　　84÷24=4 21÷7=3

　　84÷7=12

　　84能被21整除，21又能被7整除，那麼84就一定能被7整除。

　　反之，如果a、b、c這三個數中，a與b或b與c之間只要出現一個不能整除的情況，a就一定不能被c整除。

　　例如：有121、11、5三個數

　　121÷11=11 11÷5=2……1

　　121÷5=24……1

　　121能被11整除，但11不能被5整除，那麼121就一定不能被5整除。

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