電子計算機在鐵路上的應用

[拼音]：lisan shijian feizhouqi xulie de Fuliy bianhuan

[英文]：Fourier transform of nonperiodic discrete-time sequences

把一個非週期的時間序列用連續頻率的周期函式表示的一種變換方法。離散時間非週期序列χ(n)的傅立葉變換定義為

(1)

式中n為序號；ω為角頻率，是代表角度的連續變數，單位為弧度。由於e

是ω的連續的周期函式，所以X(ejw)也是ω的連續的周期函式，其週期為2

。

從給定的 X(ejw)求χ(n)的過程稱為上述變換的逆變換。變換與逆變換的關係為

(2)

式(2)可以從式(1)匯出。χ(n)和X(ejw)稱為離散時間非週期序列的傅立葉變換對。

X(ejw)為ω的函式，它是一個複函式，可用幅度及相位的形式表示為

(3)

式中|X(ejw)|和φ(ω)分別稱為X(ejw)的幅度和相位。它們都是ω的函式。幅度|X(ejw)|隨頻率的變化稱為幅頻特性；相位φ(ω)隨ω的變化稱為相頻特性。

(4)

式中T為抽樣的時間間隔，

為一單位衝激串序列，χc(t)為抽樣後的衝激序列，χ(nT)為在t=nT處的抽樣值。

若χ(t)的傅立葉變換為χ(jΩ)，且令ΩT＝ω，則χc(t)的傅立葉變換X(ejw)定義為

(5)

式(5)的X(ejw)可以有兩種形式，即

(6)

和

(7)

式中Ωc＝2

/T。式(6)說明抽樣訊號χc(t)的傅立葉變換等於抽樣值χ(nT)序列的傅立葉變換;式(7)說明χc(t)的傅立葉變換X(ejw)是連續時間訊號χ(t)的傅立葉變換X(jΩ)的週期延拓，而在幅度上相差一個1/T因子。

稱為χ(n)的總能量。如果

是有界的，則稱χ(n)為能量有限訊號，簡稱能量訊號。令

(8)

式中rx(m)稱為χ(n)序列的自相關函式。它也是一個能量有限的序列。rx(m)的傅立葉變換等於|X(ejw)|2，即

(9)

式中X(ejw)是χ(n)的傅立葉變換。它是一個週期的連續頻率函式。由於從式(9)可得

(10)

而式(10)等號左側為訊號的總能量，所以|X(ejw)|2正比於單位角度內的訊號能量，它又是隨角頻率ω而分佈的，所以稱它為訊號χ(n)的能量密度譜，簡稱能量譜。

對於能量

是無界的訊號，定義訊號的功率為

(11)

如果Px是有界的，則稱χ(n)為功率有限訊號，簡稱功率訊號。這時再定義

(12)

式中Rx(m)稱為序列χ(n)的自相關函式。可以看出，Rx(m)也是一個功率有限序列。Rx(m)的傅立葉變換

(13)

但

(14)

因為式(14)中等號左側為訊號χ(n)的功率，所以等號右側的

正比於單位角度內的訊號功率，並稱它為功率密度；又由於它是隨頻率分佈的，所以稱之為功率密度譜，以Sx(ejw)表示，即

(15)

如果訊號χ(n)的功率用Px表示，則式(14)變成

(16)

式(9)和式(15)分別為自相關函式rx(m)和Rx(m)對於能量譜|X(ejw)|2和功率譜Sx(ejw)的傅立葉變換關係。這兩個關係都稱為維納-欽辛定理。式(10)與式(16)分別稱為能量訊號與功率訊號的帕舍伐爾關係。