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[拼音]：yinzi fenxi

[英文]：factor analysis

研究從變數群中提取共性因子的統計技術。最早由英國心理學家C.E.斯皮爾曼提出。他發現學生的各科成績之間存在著一定的相關性，一科成績好的學生，往往其他各科成績也比較好，從而推想是否存在某些潛在的共性因子，或稱某些一般智力條件影響著學生的學習成績。因子分析可在許多變數中找出隱藏的具有代表性的因子。將相同本質的變數歸入一個因子，可減少變數的數目，還可檢驗變數間關係的假設。

因子分析的數學模型

因子分析把實際觀測到的變數x1，x2，…，xp看作是該變數與其他變數有關的共性因子F1，F2，…，Fm和與其他變數無關的唯一性因子E（包括測量誤差）共同作用的結果，並假定這些因子的作用是線性可加的：

式中

，稱作xi的共性部分；fij為xi在因子Fj上的負荷量;γi為xi在唯一性因子Ei的負荷量;p為變數數；m為因子數，m≤p。

在因子分析的模型中，一般假定共性因子F1，F2，…，Fm之間，以及共性因子Fj和獨立因子Ei之間都是獨立的。並假定模型中所有變數和因子都已標準化，即均值為 0、方差為1，變數的層次要求定距以上。

因子分析方法

因子分析的目的在於找出共性因子的數目和各因子係數值

，並在

的基礎上，通過因子軸的旋轉，找出共性因子所代表的實際含意。

因子分析的方法約有10多種，如重心法、影像分析法，最大似然解、最小平方法、阿爾發抽因法、拉奧典型抽因法等等。這些方法本質上大都屬近似方法，是以相關係數矩陣為基礎的，所不同的是相關係數矩陣對角線上的值，採用不同的共同性h2估值。在社會學研究中，因子分析常採用以主成分分析為基礎的反覆法。

主成分分析為基礎的反覆法

主成分分析的目的與因子分析不同，它不是抽取變數群中的共性因子，而是將變數x1，x2，…，xp進行線性組合，成為互為正交的新變數y1，y2，…，yp，以確保新變數具有最大的方差：

在求解中，正如因子分析一樣，要用到相關係數矩陣或協方差矩陣。其特徵值λ1，λ2，…，λp，正是y1，y2，…，yp的方差，對應的標準化特徵向量，正是方程中的係數

，

，…，

。如果λ1＞λ2，…，λp，則對應的y1，y2，…，yp分別稱作第一主成分，第二主成分，……，直至第p主成分。如果資訊無需保留100％，則可依次保留一部分主成分y1，y2，…，ym(m＜p)。

當根據主成分分析，決定保留m個主成分之後，接著求m個特徵向量的行平方和，作為共同性

：

並將此值代替相關數矩陣對角線之值，形成約相關矩陣。根據約相關係數矩陣，可進一步通過反覆求特徵值和特徵向量方法確定因子數目和因子的係數。

因子旋轉

為了確定因子的實際內容，還須進一步旋轉因子，使每一個變數儘量只負荷於一個因子之上。這就是簡單的結構準則。常用的旋轉有直角旋轉法和斜角旋轉法。作直角旋轉時，各因素仍保持相對獨立。在作斜角旋轉時，允許因素間存在一定關係。

Q型因子分析

上述從變數群中提取共性因子的方法，又稱R型因子分析和R型主要成分分析。但如果研究個案群的共性因子，則稱Q型因子分析和Q型主成分分析。這時只須把調查的n個方案，當作n個變數，其分析方法與R型因子分析完全相同。

因子分析是社會研究的一種有力工具，但不能肯定地說一項研究中含有幾個因子，當研究中選擇的變數變化時，因子的數量也要變化。此外對每個因子實際含意的解釋也不是絕對的。