脈衝極譜法
[拼音]：mo
[英文]：module
線上性空間的基礎上建立起來的一種代數系統，其概念至少可以追溯到19世紀L.克羅內克曾考慮的多項式環上的模。20世紀20年代末，（a.）e.諾特研究過模在表示論以及代數的結構理論上所起的作用，而使模成為代數學中的一個重要工具。20世紀40年代發展起來的同調代數，更以模為其主要的研究物件，從而對環論的發展又起了促進的作用。
把線性空間的係數域改用環U來代替就得到環U上的模。由於一般的環不是可交換的，所以模有左模與右模之分。設U為任意的一個環，X為一個加法交換群，如果有一種乘法，使得對任何α∈U，x∈X，乘積αx必屬於X，而且
那麼X稱為一個左U模，簡稱U模。特別，若U有單位元1，且1x=x，則X稱為一個酉U模。如果U的元素在乘積的右邊即xα，那麼X稱為右U模。域F上的線性空間當然是一個（雙邊的）F 模。環U的任一個左理想必是一個U模，特別，環U本身也是一個U模(也是右U模)。對於任一個加法交換群X，若以l(X)為其左自同態環，則X是一個左l(X)模。因為當σ∈l(X)時，可定義σx=σ(x)，故對於任意的環U，任何交換群X都可由環同態
來定義成一個U模，因為這時可取αx=ψ(α)x。
假定X是一個U模，而
A
是X的子群，如果A
也是一個U模（對同樣的乘法），那麼A
稱為X 的子模。這時，商群X/A
可以作成一個U模，稱為商模或差模（因X是一個加法交換群）。若A
與B
都是X的子模，則A
∩B
也是X 的一個子模，而且集合{α+b│α∈A
，b∈B
}是A
與B
的和，記為A
+B
，如果A
+B
中每一個元素表成A
與B
的元素之和的表示式是惟一的，即，當α+b=α┡+b┡時必有α=α┡，b=b┡，那麼此和稱為直和，記為A
嘰B
。以下假定所考慮的環都有單位元，而且所有的模都是酉模。設X 與Y 都是U模，如果σ 是X 到Y的群同態，而且σ(αx)＝ασ(x)，那麼σ 稱為一個模同態。由X 到Y的所有模同態組成之集Hom寶（X，Y）是一個加法交換群
。於是，以U模為物件，Hom(X，Y)為態射集，則得一個模範疇寶M。右U模的範疇常以M寶表之。由於模範疇寶M的性質實際上取決於環U，因此，模論也是研究環的一個重要工具。
單模
如果除了0與X 本身以外，X 沒有其他的子模，那麼X 稱為一個單模。例如，若
P
是U的極大左理想，則商模U/P
是一個單模，而且任何單模都取此形式。一些（有限或無窮多個）單模的直和稱為半單模。若X是單模，則Hom(X，X)是一個體D。這就是許爾引理。因此，X可視為D上的線性空間，而且每一個α∈U都對應於這個空間的一個線性變換，把這個空間的所有線性變換定義成某一個拓撲空間T，N.雅各布森曾證明U在T 中是處處稠密的。用代數的語言來表達稠密性定理，即為，對任意n個D上線性無關的模元素x1，x2，…，xn，與任意的n個模元素y1，y2，…，yn，必有一個α∈U，使αxi=yi(i=1，2，…，n)。
單模在環論中是起著一定的作用的，例如，具有忠實單模X 的環U，稱為本原環。所謂忠實模，是指αX=0時必有α=0。在雅各布森意義下的半單環是本原環的次直和。
諾特模與阿廷模
設X為一個U模，如果X 的任何一些子模之集S 都有一個極小的模
A
，它不包含S 中任何其他的模，那麼X 稱為一個阿廷模。如果任何一些子模之集S一定有一個極大的模B
，它不包含在S 的任何其他的模內，那麼X 稱為一個諾特模。一個U模
C
稱為不可分解模，是指它不是C
的兩個真子模的直和。若X 既是一個阿廷模，又是一個諾特模，則X 可分解成有限個不可分解模的直和，而在某種同構的意義下，此分解式是惟一的。這就是著名的克魯爾－雷馬克－施密特定理。
自由模與投射模
設X為U模，若X有子集
使X 中的每一個元x 都可表為如下形式
(1)
則S 稱為X 的一個生成系。若Λ為單元集合，則X 稱為一個迴圈模。若(1)中的αi都是惟一的，則X 稱為一個定義於集合S上的自由模。當S為任一個非空集合時，所有如(1)的形式也組成一個自由模。任何模
A
都是一個自由模的同態象，因為若取｛αλ｝為A
的一個生成系，再取一個抽象集合 S={sλ}與｛αλ｝一一對應，讓F 為定義於S上的自由模，於是讓ψ:F→A
使得
，即得滿同態。取K=Kerψ，得短正合列
(2)
其中“
”表單同態（或嵌入對映），“
”表滿同態。這個性質表達了自由模在模論與同調代數中所起的主要作用。
對於同一個
A
，(2)中的F並不惟一，可能會出現這樣的現象：對於某一個F，其相應的K是自由的，但對於另外的一個F，相應的K卻不是自由的（當然可能所有的K都不自由）。但是，如果放寬條件，把自由模改成投射模，那麼就不僅每一個A
都是一個投射模P
的同態像，而且不同的P
所對應的K 或者全部都是投射模，或者全都不是投射模。如果對於任何U模
B
，任何模同態σ:P
→B
，以及任何滿同態π:C
B
，恆有ƒ:P
→C
，使πƒ=σ，即可交換，那麼P
稱為一個投射模(圖1
)。不難證明以下四種敘述是等價的：
（1）
P
是投射模；（2）對任何滿同態C
P
必有Q
，使
③
時，
P
1與P
2均為投射模；（4）有
P
┡及自由模F，使F=P
嘰P
┡。這些等價敘述刻畫了投射模的基本性質，特別，由④可知，自由模必是投射模。因此，對每一個A
，必有投射模P
，使得有短正合列
(3)此列稱為
A
的投射表現。如果A
另有一個投射表現
(4)那麼由沙魯爾引理，
，故K與K┡或者都是投射模，或者都不是投射模。正是由於這個性質，才使投射模在模論與同調代數中處於特殊重要的地位，而在模與環的研究中起著極其重要的作用。
內射模
這是一個與投射模相對偶的概念，只要將圖1中
所有的箭頭都調轉方向，“滿”改為“單”即得內射模的定義，如圖2所示。於是，I是內射模；對任何單同態I
C
必有J使
；當
時，I1與I2都是內射模;這三種說法是等價的。此外，任何U模
A
都可嵌入到一個內射U模中，即有內射表現
。 (5)
與投射模的情況一樣，如果另有一個內射表現
，則
因此，內射模在模論與同調代數中的某些方面也將起著與投射模相類似的作用。
對偶模與自反模
設
A
為U模，把U本身也看成一個U模，則Hom(A
，U)是一個加法交換群。若在
時，定義(ƒα)(α)=ƒ(α)α ∈U，則ƒα∈Hom(
A
，U)，因此後者是一個右U模，記作A
*。同樣，
可定義成一個左U模。
A
*通常稱為A
的對偶模，因而，A
**是A
*的對偶模。在 α∈A
時，定義
，使對任何ƒ∈
A
*，恆有
，於是，讓α對應α**就得出
A
到A
**的一個自然對映φ。若φ是同構，則A
是自反模。若φ是同態，則A
是半自反模。模的張量積與平坦模
設
A
為右U模，X為左U模，G是一個加法交換群，對映φ:A
×X→G稱為一個線性平衡對映，是指①
②
假定ψ:
A
×X→T是一個線性平衡對映，且有泛性質，即：對任何線性平衡對映φ)：A
×X→G，恆有唯一的ƒ:T→G，使得有交換圖（圖3
），則T稱為
A
與X的張量積，記為
或
A
圱X，而ψ(α，x)則記為α圱x。可以證明，A
圱X 恆存在且惟一，而T=A
圱X是由ψ的像所生成的。例如，若A
與X依次為域K上的n維與m 維線性空間，基底依次為αi與xj，則A
圱X是K上的一個nm 維線性空間，其基底可取為
假定g:
A
→B
是一個單同態（g的核等於0），問
1:
使
是否一定是 單同態? 答案是否定的，即g圱1可能不是單同態。例如，設
A
與B
相應為由α與b所生成的無窮迴圈群，X是由x所生成的三元迴圈群(3x=0)，它們都是Z模，Z是整數環。令g:A
→B
，g(α)=3b，則g為單同態。由於A
圱X與B
圱X相應為由α圱x與b圱x 所生成的三元迴圈群，故α圱x≠0。但
，所以g圱1不是單同態。然而，在X為一個由x所生成的無窮群時，若g:
A
→B
是單同態，則
仍是一個單同態。因此有如下的定義：若對任何單同態g:
A
→B
，g圱1:A
圱X→B
圱X仍是單同態，則X稱為一個平坦模。模表示
它的理論在群論與環論中都是非常重要的。設U與B都是環，而M既是一個左U模，又是一個右B模，且對α ∈U，m∈M.β∈B，恆有(αm)β=α(mβ)，於是有對應φ，每一個α∈U對應B模M的一個模自同態σ，αx=σx，這個對應是一個環同態φ，它稱為U在B上的一個表示，M為相應的表示模。通常還要求U以B為右運算元區，
，且(αβ)m=(αm)β=α(mβ)，再定義(σβ)(m)=σ(mβ)，則上述的φ為一個運算元同態。
例如，設G為一個群，取K為一個域，M為K上的一個線性空間。於是，群環KG 在域K上的一個表示φ，就是由KG到M的線性變換環l(M)的一個環同態。由於α∈G有逆元素，所以φ(α)是M的一個非異線性變換，因此φ給出G的一個線性表示。特別，若M是有限維線性空間，則在固定一個基底後，φ給出G的一個矩陣表示。
參考書目
T.S.Blyth，Module Theory，Clarendon Press，Oxford，1977.