模

[拼音]：qunbiaoshilun

[英文]：group representation theory

用具體的線性群（矩陣群）來描述群的理論，是研究群的最有力的工具之一。在19世紀末和20世紀初它由F.G.弗羅貝尼烏斯和W.伯恩賽德獨立開創，而弗羅貝尼烏斯的工作則由I.舒爾所改善和簡化。下面只論及有限群表示論。

設G是有限群，V是複數域 C上的有限維向量空間，GL（V）是V上全體可逆線性變換所組成的群。從G 映入GL(V)的一個同態

稱為G的一個表示，而V稱為ρ的表示空間。設U是V的一個子空間，若

，則稱U是V（關於ρ）的一個不變子空間，這時ρ(g)在U上的限制就給出G的一個表示

如果沒有非零真不變子空間，就說V是不可約表示空間，而ρ稱為G的不可約表示；否則就說V和ρ是可約的。如果V有不可約不變子空間V1，V2，…，Vr使V是它們的直和即V=V1嘰…嘰Vr，就說ρ 是完全可約的。這時，若

，則記

，並說ρ分解成不可約表示ρ1，ρ2，…，ρr的和。有限群表示論的一個重要結果即馬施克定理：有限群的任一表示都是完全可約的。因此，研究有限群的表示只要研究它的不可約表示就夠了。

設ρ:G→GL(V)是有限群G的一個表示。如果選V的一個基υ1，υ2…，υn，並令

那麼對映

，g∈G，就是從G映入GLn(C)的同態，稱為與ρ相應的G的矩陣表示。設相應於V的兩個基，ρ分別相應矩陣表示

則有可逆矩陣p使

。（p實際上是V的兩個基的轉換矩陣），這時就說這兩個矩陣表示是等價的。

設ρ1和ρ2 是有限群 G的兩個表示，表示空間分別是V1和 V2，如果有可逆線性對映 φ:V1→V2使

，凬υ1∈V1，g∈G，就說ρ1和ρ2是等價的。顯然，兩個表示等價，當且僅當它們相應的矩陣表示是等價的。等價的表示並不視為有什麼本質區別。

設H是有限群G的子群，x1，x2，…，xk是H在G中一左陪集代表系，ρ是H的一個表示。那麼，對每個g∈G規定ρG：

，式中

ρG是G的一個表示，即所謂ρ的誘導表示。設ρ和ψ是G的兩個表示，規定

，其中ρ(g)圱ψ(g)是矩陣ρ(g)和ψ(g)的克羅內克乘積，ρ圱ψ也是G的一個表示，即表示 ρ 與 ψ 的張量積。所謂 m×m 矩陣

和n×n矩陣

的克羅內克乘積(張量積)，是指

。它是一個mn×mn矩陣。例如，當m＝2，n＝3時，

設ρ：G→GL(V)是有限群G的一個表示。令

，

，則ⅹρ是定義在G上的函式。顯然它在G的共軛類上取相同的值，因此ⅹρ是G的類函式，ⅹρ稱為表示ρ的特徵標。當ρ不可約時，ⅹρ稱為不可約特徵標。特徵標實際上確定了表示，可以證明，兩個表示等價，當且僅當它們的特徵標相等。利用特徵標還可以證明，G只有有限個不同的不可約特徵標，其個數恰好等於G的共軛類的個數。因此研究有限群的不可約特徵標是有重要意義的。關於不可約特徵標有所謂正交關係，即設ⅹ1，ⅹ2，…，ⅹc是G的不同的不可約特徵標，g1，g2，…，gc是G的所有的不同的共軛類中的代表元，而h1，h2，…，hc是這些共軛類中元素個數，則有

，

，

式中δij為克羅內克符號。

誘導表示的特徵標稱為誘導特徵標。表示的張量積的特徵標是相應特徵標的乘積。誘導特徵標及與其有關的弗羅貝尼烏斯互反律和特徵標乘積的分解，是表示論的主要工具。所謂弗羅貝尼烏斯互反律，即若ρ與ψ分別為G與H的不可約表示，則ψ在ρH(即ρ限制到H上)的完全分解中出現的重數等於ρ在誘導表示 ψG的完全分解中出現的重數。

對任意域F亦可象對複數域C那樣定義表示空間、表示及特徵標等。若F的特徵不整除有限群G的階，則仍然有表示的完全可約性，如果F 同時還是代數封閉的，那麼用F代替C，以上的討論成立。以n記有限群G的所有元素的階的最小公倍數。H.馬施克於1898年曾猜想G 的所有不可約表示皆可在n次分圓域Q(ξn)(ξn為n次本原單位根)中實現， 即如果ⅹ是G的一個(在複數域C上的)不可約特徵標，那麼存在一個矩陣表示

， 其特徵標即ⅹ 。R.（D.）布饒爾在1945年證明了這個猜想。

將群表示論應用於有限群的研究，最早的最著名的結果是伯恩賽德定理：階為pαqβ的群是可解群，這裡p、q是相異素數，α、β是非負整數。近年來這個定理雖已有了抽象群論的證明，但不如用表示論的原證簡捷。

20世紀20年代，E.諾特強調了“模”這一代數結構的重要性，她把有限群G的表示ρ：G→GL(V)的表示空間V看成一個雙模，即除了域F的元素作為運算元（即V到V的自同態）外，還容許群環F[G]的元素

g1，g2，…，gn是G的全部元素）作為運算元：

，

並且適合條件

的模。反之，給定一個有限維F[G]的模V，顯然每個g∈G在V上引起一個可逆線性變換，由此得到G的一個表示。對於F[G]的模，可以與上文完全平行地定義可約性、不可約性及完全可約性。一個F[G]的模是可約的或不可約的或完全可約的，當且僅當G的相應的表示是可約的或不可約的或完全可約的。所謂一個代數A是半單的，是指所有的A模都是完全可約的。因此群代數F[G]是半單的。這樣，E.諾特就將代數結構論和群表示論融合為一，推進了這兩個分支的發展。

近50年來，布饒爾將群表示論的研究大為深化，他引進了模表示論，研究了群階除盡域的特徵的域上的表示，以及模表示與常表示（即C上的表示）的關係，而群表示論在有限群結構理論中起著日益重要的作用。在這方面的第一個重要結果是費特－湯姆森證明了有長期歷史的伯恩賽德猜想：奇數階群都是可解群。近年來則導致了有限單群分類問題的解決。（見有限單群）

有限群的表示論已推廣到無限群，特別是區域性緊拓撲群，這成為近代分析的一個主要領域，推廣了經典的傅立葉分析。群表示論在理論物理和量子力學中有重要的應用。

參考書目

C.W.Curtis and I.Reiner，Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras，John Wiley and Sons， New York， 1962.

I.M.Issacs，character Theory of Finite Groups，Academic Press， New York， 1976.

W.Feit，Representation of Finite Groups，North-Holland， Amsterdam， 1982.