錦蛇屬

[拼音]：Dilikelei L hanshu

[英文]：Dirichlet L-function

又稱對應於模q的特徵ⅹ(n)的狄利克雷L函式， 即函式

，其中q≥1，ⅹ(n)是模q的一個特徵，復變數s=σ+it，σ>1。它在q=1時就是黎曼ζ函式。這類函式最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算術級數中的素數分佈問題時引進的。它的性質和作用，都與黎曼ζ函式類似，在許多數論問題中有重要應用。它的主要性質有：

（1）當σ>1時，

，式中

表示對全體素數求積。因而L(s，ⅹ)≠0 (σ>1)。

（2）當ⅹ0是模q的主特徵時，

於是，通過ζ(s)就把L(s，ⅹ0)解析開拓到全平面。

（3）當ⅹ是模q的非主特徵時，一定存在惟一的一個模q*，使當σ>1時，有

（4）當ⅹ是模q的原特徵時，L(s，ⅹ)可解析開拓為整函式，且滿足函式方程

，

式中

τ(ⅹ)為僅與ⅹ有關的常數，且滿足

塣表ⅹ的共軛特徵，即

（5）對任意的模q的特徵ⅹ，有L(1，ⅹ)≠0。

（6）設ⅹ是模q的原特徵，那麼s=-(2n+α(ⅹ))(n =0，1，2，…)是L(s，ⅹ)的一級零點，稱為“無聊零點”；L(s，ⅹ)可能有的其他零點（稱為“非無聊零點”）一定都位於帶形區域0≤σ≤1中;L(s，ⅹ)確有無窮多個非無聊零點。

（7）設T >0，以N(T，ⅹ)表 L(s，ⅹ)在區域0≤σ≤1，｜t｜≤T 中的零點個數。因此，當ⅹ 是模q的原特徵和T≥2時，有

（8）設T>0，

，以N(α，T，ⅹ)表L(s，ⅹ)在區域α≤σ≤1，｜t｜≤T中的零點個數。再設

，其中Σ表對模q的所有特徵求和。因此，當 T≥2時，有

。此結果已被改進和推廣，通常稱之為 L函式的零點密度定理。

（9）在直線σ=1上，L(s，ⅹ)≠0。由此，對任意固定的q，可推出算術級數中的素數定理。

（10）存在絕對正常數X1，使得對任意固定的模q，在所有的函式L(s，ⅹ)(ⅹ mod q)中，僅可能除去一個例外函式外，均在區域

內無零點。如果這樣的例外函式L(s，塣)存在，那麼塣一定是模q 的實的非主特徵，且 L(s，塣) 在上述區域內只有一個一級實零點戓 。這一性質是狄利克雷L函式與黎曼ζ函式的一個主要差別。研究對應於實特徵的L函式的實零點，是L函式論的最重要問題之一。

A. 佩奇於1935年證明了：存在絕對正常數X2，使得對任意的實原特徵ⅹ modq，q≥3，必有 L(1，ⅹ)≥X2q-1/2。由此可推出，存在絕對正常數X3，使得對任意的實特徵 ⅹ mod q，q≥3，當

時，L(σ，ⅹ)≠0。

C.L.西格爾於1936年證明了：對任給的正數ε，存在正常數c3(ε)，使得對任意的實原特徵ⅹmodq， q≥3，必有

。由此推出，對任給正數ε，必有正常數 c4(ε)，使得對任意的實特徵 ⅹ modq，q≥3，當

時，L(σ，ⅹ)≠0。

C. L. 西格爾的結果雖然優於A. 佩奇的結果，但是常數X3(ε)和X4(ε)至今沒有辦法計算出來。

從性質⑩、、可推得有餘項估計的算術級數中的素數定理（見素數分佈）。類似於黎曼假設，有所謂廣義黎曼假設，即猜測所有的狄利克雷L函式的非無聊零點都位於直線σ=1/2上，通常簡記作GRH。大量的數值計算以及理論上的探討都支援這一假設，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數論結果，雖然都是一些假設性的結果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究 L函式零點的重要意義和方向。

參考書目

K.Prachar，Primzahlverteilung，Springer-Verlag， Berlin，1957.

H.Davenport，Multiplicative Number Theory，2nd ed.，Springer-Verlag， Berlin， 1980.