榆綠毛螢葉甲

[拼音]：youxiancha fangcheng

[英文]：finite difference equation

含有未知函式的差分的條件等式，它是重要的一類函式方程，也稱有限差分方程。

有限差方程的一般形式是

， (1)

式中F是已知函式，ƒ(x)是未知函式，Δ是差分運算元（見有限差演算）。利用Δ與移位運算元E的關係式Δ＝E-I，其中I是不變運算元，(1)可化成

。 (2)

如果(2)既明顯地含有ƒ(x+nh)，又含有ƒ(x)就稱(1)或(2)為n階有限差方程。

滿足有限差方程的函式稱為它的解，n階有限差方程的含有 n個任意常數的解稱為通解。通解中的任意常數被確定後，即可獲得一個特解。

線性有限差方程解的結構

稱有限差方程

， (3)

為n階線性有限差方程。如果Q(x)呏0，則稱該方程為齊次方程；反之，則稱為非齊次方程。

方程(3)的解具有以下性質：

（1）如果函式ƒ1(x)，ƒ2(x)，…，ƒn(x)是相應於方程(1)的齊次方程的線性無關解，則相應的齊次方程的通解為

，其中C1，C2，…，Cn為任意常數。

（2）方程(3)的通解可表為它的一個特解 ƒ*(x)與相應的齊次方程的通解之和，即

，這兩條性質就完全確定了線性有限差方程解的結構。

常係數線性有限差方程

如果方程(3)中的αk(x)(k=0，1，…，n)都為常數，且h=1，則方程

(4)

就是常係數線性有限差方程。

求得方程(4)的通解，可根據線性有限差方程解的結構特點，由以下兩個步驟來完成。第一步，求相應於(4)的齊次方程

的通解。設ƒ(x)=λx，代入上述方程，得到

，

稱它為相應齊次方程的特徵方程，其根稱為特徵根。如果所有的特徵根λ1，λ2，…，λn都是實的單根，則齊次方程的通解為

:如果特徵根中有實的重根出現，則齊次方程的通解為

，

式中sk為特徵根λk的重數， 且s1+s2+…+sp=n;Cjk(j=1，2，…，sk；k=1，2，…，p)為任意常數。第二步， 求非齊次方程(4)的一個特解。當右端函式 Q(x)具有某些特殊形式時，利用待定係數法可以直接求得特解，例如Q(x)是 k次多項式，且 1是相應的特徵方程的s重根，則設

，代入方程(4)，兩邊對比係數，可求出待定係數A0，A1，…，Ak，從而求得方程(4)的一個特解ƒ*(x)。又如Q(x)=p(x)b)x，其中p(x)為k次多項式，k為特徵方程的s重根，則設

， 代入方程(4)，求出待定係數，即得方程(4)的一個特解。將兩步所求得的結果相加，即可得到方程(4)的通解。

如果特徵根中出現復根，則對每一對共軛復根，利用尤拉公式

，分別取實部和虛部作為線性無關解，參照上述方法，也可得到實的通解

除去上述的解法，還可利用發生函式、符號運算元以及變易常數等方法去求方程(4)的通解。

舉例

求二階常係數線性有限差方程

，

滿足條件ƒ(1)=ƒ(2)=1的方程解ƒ(n)，其中變數n取自然數。

相應的特徵方程為 λ2-λ-1=0。由此解出特徵根為

。從而通解為

，

由條件 ƒ(1)=ƒ(2)=1可求得

。故解為

。

這就是斐波那契數列的通項表示式。

參考書目

L.M.Milne-Thomson，The Calculus of Finite Differences， Macmillan， London，1951.