望遠鏡用控制機
[拼音]：jifen jihexue
[英文]：integral geometry
通過各種積分考察圖形性質的一門學科，本質上屬於整體微分幾何範疇。它起源於幾何概率的研究，其發展也始終和幾何概率聯絡著。積分幾何的研究從歐氏平面和三維歐氏空間開始，逐步拓廣到高維歐氏和非歐空間，然後概括到滿足一定條件的齊性空間。
常曲率空間的積分幾何
主要有以下幾種：
歐氏平面的積分幾何
每個積分都和一定的密度和測度相聯絡。例如，在歐氏平面E2上，若(x，y)為一點
P
的直角座標，則區域D上的二重積分
裡的二次微分式dxdy 就是點密度，而當ƒ(x，y)=1時，這積分就等於D 的面積，也就是D 作為點的集合的測度。若把點密度用外微分式d
P
。點密度在極座標(r，θ)下的表示式d
P
=rdr∧dθ。容易證明，這個點密度經過剛體運動不變，而且除一個常數因子外，它是E2上惟一的不變點密度。在E2上，一個典型的，和點密度相聯絡的克羅夫頓積分公式是
式中K 表示一個凸集，
P
點不在K 內，t1，t2是從P
到K兩條切線的長，ω 是切線間的夾角（圖1）。
歐氏平面上也有不變直線密度。設p是從座標原點O到直線G 的垂直距離(p≥0)，φ是由O到G 的垂線同坐標橫軸所作的有向角(0≤φ<2π)（圖2），則直線密度dG=dp∧dφ。與直線密度相聯絡的一個著名的克羅夫頓公式是
在這式裡，
C
表示E2上一條曲線，l是它的長，n是G同C
的交點數。特殊地，若C
即同閉凸線
C
相交的直線，其集合的測度等於C
的周長。由最後這個公式，容易獲得一系列簡單的結論，下面是兩個例。（1）若 C0，
C
1是閉凸線，C
1完全位於C
0的內部，U0、U1依次是它們的周長，則和C
0相交的一條隨機直線也和C
1相交的概率是U1/U0；（2）若
C
0，C
1是閉凸線，C
1完全位於C
0的外部，則同它們都相交的直線的集合，其測度等於圖3
中的粗線長減去虛線長。
把E2上的點密度和直線密度作種種不同的結合，就得到點偶(
P
1，P
2)，線偶(G1，G2)，點線(P
，G)，以及三點組(P
1，P
2，P
3)等等的幾何物件的密度，並推得許多積分公式。例如，若σ 是閉凸線C
式中F表示
C
所包圍的面積（圖4）。
一種十分重要的不變密度叫做運動密度。在E2上，設圖形K在平面上作剛體運動，
P
是隨意選定的，同K相固連，並同K一起運動的點，φ是同K相固連的任意有向直線與固定的座標橫軸所作的有向角(0≤φ<2π)(圖5)，則三次微分式dK=dP
∧dφ 就是K 的運動密度。由W.J.E.布拉施克給出的所謂運動主要公式是
式中D0，D1表示區域，D0固定而D1作運動，它們的邊界都是有盡多條簡單閉線所構成，F0，F1;U0，U1;
C
0，C
1依次是它們的面積，邊界周長和邊界總曲率（即邊界相對曲率在邊界上的線積分），C
01是交集D0∩D1的邊界總曲率；dK1是D1的運動密度。這個公式包含許多特殊情形和極限情形。例如，當D0，D1縮成兩條長度為l0，l1的曲線C
0，C
1時，若n是它們的交點數，則C
01=2πn，C
0=C
1=2π，F0=F1=0，U0=2l0，U1=2l1，運動主要公式就簡化為龐加萊公式
n維歐氏空間的積分幾何
在n維歐氏空間En裡，同樣有點密度，直線密度，以至 r維線性子空間密度(r≤n-1)，也有運動密度，它們在剛體運動下都不變。在En，特別是在普通的三維歐氏空間，已經有大量的成果，例如在En裡，陳省身、嚴志達給出的運動主要公式是
式中D0，D1表示區域;V0，V1和
是積分不變數;ⅹ(D0)，ⅹ(D1)，ⅹ(D0∩D1)是拓撲不變數；Om是通用常數;dK1是K1的運動密度。具體地，Vi表示Di的n維體積，M
表示Di的邊界（超曲面）的第 r箇中曲率積分(i=0，1)，ⅹ(D)表示區域D的尤拉-龐加萊示性數，
是 m維單位球的m-1維表面積。一個超曲面的所謂第r個曲率積分為
式中
表示∑的主曲率的第 r個初等對稱函式，dσ表示∑的n-1維面積元素。
非歐空間的積分幾何
把歐氏空間的積分幾何的基本概念推廣到非歐空間，就可以建立非歐積分幾何，L.A桑塔洛推得了n維非歐空間運動主要公式。
齊性空間的積分幾何
歐氏（和非歐）空間積分幾何的基本概念還可以推廣到滿足一定條件的齊性空間。已給微分流形M，若有一個李變換群
可遷地作用於M上（即對於M上任意兩點
P
，P
′，總有
裡的一個變換，把
P
變成P
′），則M就成為具有變換群
的齊性空間，再設在M裡有一個圖形的集合S，在
的作用下不變（即在
的任意一個變換的作用下，S裡的一切圖形只是經歷一個置換）。例如歐氏平面E2對於運動群就是齊性空間，S可以是E2上一切點或一切直線的集合，也可以是一個互相全等的橢圓的集合，等等。這樣，在一種確定條件下，S裡的圖形F 就有在
下不變的密度dF， 而且除一個常數因子外，它是惟一的。這時，若S1是S的一個子集而ƒ(F)是S1上的函式，積分
就完全確定。
若Г是李變換群
的離散子群，則商群
/Г是齊性空間。C.L.齊格爾把這個事實應用於 n維仿射空間裡的齊次么模(或特殊)仿射變換群和格的集合，證明了“數的幾何”中著名的閔科夫斯基-拉夫卡定理。
研究動向
關於齊性空間積分幾何的一般原理已富有成效地用於埃爾米特幾何學和辛幾何學。但這些方面的工作仍有待於繼續展開。
運用葉層空間的理論，可以對齊性黎曼空間中一些短程線集合和點集合引進具有某種不變性的密度，並得到一些積分公式和結果，其中有些是常曲率空間結果的推廣。
近20年來，求一種拉東變換的逆變換的課題也納入了積分幾何範疇。設 X為微分流形，M(u)是X的一族子流形，它們依賴於引數u1，u2，…，un，dσ(u)是M(u)上適當選定的微分齊式。已給X上的函式ƒ(x)(x∈X)，令
則ƒ(x)→弮(u)叫做拉東變換。所考慮的課題就是，倒過來，用函式弮(u)來表達ƒ(x)。當X是歐氏空間En而M(u)是超平面時，這個問題早已解決，其解答後來推廣到一切非緊緻對稱空間。這些成果在微分方程理論和群表示論中有應用。
簡史
幾何概率的研究要以有關的圖形集合的測度為基礎，因而自然要導致積分幾何的建立。一般認為，最早的幾何概率問題是 G.-L.L.de布豐提出並解決的投針問題：設在平面上有一組平行線，其行距都等於D；把一根長度l 中國較早從事積分幾何研究的還有吳大任，他第一次把歐氏空間積分幾何的基本成果（包括運動主要公式在內），推廣到三維橢圓空間。他還證明了關於E2和E3裡凸體弦冪積分的一系列不等式。中國學者還獲得了其他若干成果，例如，任德麟推得了n維歐氏空間和非歐空間裡含在一個凸體內的定長線段測度公式，把關於弦冪積分的不等式推廣到En，並且推廣了布豐投針問題。 由於積分幾何是和概率以及統計緊密聯絡著的，它在許多學科（如生物學、醫學、礦物學、金屬學，以至物理、天文、建築、聲學等）中都有應用。隨著電子計算機效能的迅速提高，使用的日益廣泛，這種應用正方興未艾。已經出現了“隨機幾何學”和“數理生態學”這樣的學科名稱。這方面，所採用的方法之一是所謂的立體度測法：簡單地說，有些幾何物件的立體性質只能通過對它們的直線截痕或平面截痕的大量觀測來推算，積分幾何就在這裡提供了理想的工具。 參考書目 W.Blaschke，Vorlesungen ╇ber Integralgeometrie，Aufl.3，Deutscher Verlag der Wissenschaften，Berlin， 1955. M.G.Kendall and P.A.P.Moran，Geometrical Probability，Griffin， London， 1963. L.A.Santal圝，Integral Geometry and Geometric Probability，Addison-Wesley， Reading， Mass.，1976.