宇宙X射線爆發
[拼音]：guangyi hanshu
[英文]：generalized function，distribution
古典函式概念的推廣。關於廣義函式的研究構成了泛函分析中有著廣泛應用的一個重要分支。歷史上第一個廣義函式是由物理學家 P.A.M. 狄喇克引進的，他因為陳述量子力學中某些量的關係時需要引入了“函式”δ(x)：當 x≠0時，δ(x)=0，但
。按20世紀前所形成的數學概念是無法理解這樣奇怪的函式的。然而物理學上一切點量，如點質量、點電荷、偶極子、瞬時打擊力、瞬時源等物理量用它來描述不僅方便、物理含義清楚，而且當它被當作普通函式參加運算，如對它進行微分和傅立葉變換，將它參與微分方程求解等所得到的數學結論和物理結論是吻合的。這就迫使人們要為這類怪函式確立嚴格的數學基礎。最初理解的方式之一是把這種怪函式設想成直線上某種分佈所相應的“密度”函式。所以廣義函式又稱為分佈，廣義函式論又叫做分佈理論。用分佈的觀念為這些怪函式建立基礎雖然很直觀，但對於複雜情況就又顯得繁瑣而不很明確。後來隨著泛函分析的發展，l.施瓦爾茨(1945)用泛函分析觀點為廣義函式建立了一整套嚴格的理論，接著И.М.蓋爾範德對廣義函式論又作了重要發展。從此，廣義函式被廣泛地應用於數學、物理、力學以及分析數學的其他各個分支，例如微分方程、隨機過程、流形理論等等，它還被應用到群的表示理論，特別是它有力地促進了偏微分方程近30年來的發展。
在廣義函式理論的形成過程中有重要影響的有：j.（-s.）阿達馬 (1932)在研究波動方程基本解時使用了發散積分的有限部分。С.Л.索伯列夫(1936)在研究雙曲型方程的柯西問題時用分部積分引入了廣義導數和微分方程廣義解的概念，並把函式δ及其導數δ′等視為某個函式空間上的線性泛函；他對廣義函式論的建立邁出了決定性的一步。s.博赫納(1932)和T.卡萊曼(1944)討論了冪增長函式的傅立葉變換，提出了連續函式的形式導數概念。
當然為那些怪函式建立嚴格數學基礎的方法並不是惟一的，例如波蘭學者J.米庫辛斯基就曾用較初等的方法建立它們的基礎。也有把廣義函式看作解析函式的邊界值，並由此發展出超函式理論。換句話說，廣義函式的定義並不完全統一，而是具有一定程度的靈活性，可以根據問題的需要適當地定出相應的廣義函式類。
基本函式空間和廣義函式空間
泛函分析觀念下的廣義函式理論的核心是把廣義函式看成某個函式空間上的連續線性泛函，即先選取某些性質很好的函式組成的線性空間，再在其中給出適當的收斂概念，這樣的函式空間就稱為基本函式空間，又稱為測試函式空間，而其中每個函式稱為基本函式或測試函式。相應於基個基本空間上的連續線性泛函就稱為該基本空間上的廣義函式。廣義函式全體就稱為相應於基本空間的廣義函式空間。常用的基本空間有K空間和S空間。
基本函式空間K
設 φ(x)是定義在n維歐幾里得空間 Rn上的復值函式，用Sφ表示集｛x｜φ(x)≠0}的閉包，稱為φ(x)的支集。對任意n個非負整數p1，p2，…，pn。記
，
，和
。
設K是 Rn上無限次可微而且支集有界的複函式全體，K按通常函式的線性運算成為複線性空間。在K上引進極限概念如下：設{φn}嶅K， φ∈K， 如果滿足①對於函式列{φn}存在有界區域Ω， 使所有函式 φn在Ω外為0，即S拻嶅Ω，②對每個
，函式列Dp(φn-φ)一致收斂於0；則稱{φn}在K中收斂於φ，記為φn
φ。賦予上述線性運算和極限運算的 K，作為基本函式空間，簡稱K空間；其中的每個函式稱為基本函式。K空間上收斂概念的嚴格敘述要用到拓撲線性空間的嚴格歸納極限概念。
K空間上的廣義函式
設 ƒ是定義在K空間上的復值函式，如果ƒ(φ)是K上連續線性泛函，即滿足①(線性)對任意φ1，φ2∈K，複數
，②(連續性)對於基本函式列φn
0，ƒ(φn)→0;則稱ƒ為K空間上的廣義函式，並把ƒ(φ)寫成 <ƒ，φ>或形式地寫成
。K 空間上廣義函式全體記為K′。K′按通常線性運算也是一個線性空間。
K上廣義函式的例子
（1）設ƒ(x)是Rn上的可測函式，如果在每個有界閉立方體上勒貝格可積，則稱為區域性可積函式， 其全體記為l*。在l*中幾乎處處相等的函式看作相同。對每個ƒ∈l*，令
，
式中dx是Rn上的勒貝格測度。上式確定的Tƒ是K上的一個廣義函式。也就是說，普通的區域性可積函式可以等同於K上一個廣義函式，稱為正則廣義函式。
（2）由下式定義的泛函
，是K上廣義函式，通常形式地記δ為δ(x)。
（3）設μ是Rn中波萊爾可測集上的復值的可列可加集函式，並且在每個緊集上測度有限，由
·μ(dx)定義的Tμ是 K上的一個廣義函式。
（1），②中的廣義函式都是它的特例。
（4）單變數函式
在R上不是區域性可積的，令
（
P
V表示柯西主值）。
是R上的一個廣義函式。
K′上的拓撲
在K′上可如下引進序列收斂概念。設{Fn}嶅K′，F∈K′，如果對每個φ∈K有
，那麼稱{Fn}在K′中收斂到F，記為
。
廣義函式的支集
對於廣義函式一般說來在某一點的值是沒有意義的。例如不能講廣義函式F在x0點為0，但可以說廣義函式F 在某鄰域（開集）U 中為0，它的意思是，對每個支集在U 中的基本函式φ ，<F，φ >=0，記為 F｜U=0。並集 ∪｛U｜F｜U=0｝的餘集SF稱為廣義函式F的支集。一般地，例①中ƒ(x)如果是連續函式，那麼它的支集和Tƒ的支集
是一致的。
K上廣義函式的導函式和原函式
當F 是K空間上的廣義函式時，顯然
也是K上的廣義函式，稱它是廣義函式F對xi的偏導數，記為
，即
。
當ƒ(x)是Rn上普通的連續可微函式時，ƒ作為廣義函式意義下的導數和ƒ 的經典導數是一致的。可見廣義函式導數概念是普通導數概念的推廣。但從廣義函式導數的定義可以知道，對於每個廣義函式存在任意階的廣義導函式，並且可以交換廣義函式求導次序。另外廣義函式的求導運算和極限運算是可以交換的。上述性質表明廣義函式的出現解除了經典分析中對求導運算和對函式列的極限進行求導運算的種種限制。例如對於 R上亥維賽函式θ(x)：當x≥0時，θ(x)=1。當x<0時，θ(x)=0，它的廣義導數
，而
。
廣義函式也可定義原函式或不定積分。設 F是單實變數的K 空間上廣義函式，如果廣義函式G滿足
，則稱G為F的原函式。對於每一個廣義函式F∈K′，必存在原函式G，F的一切原函式必然形如G+с，其中с是常數。
K上廣義函式的構造
利用廣義函式的導數概念可以給出一類廣義函式的結構。下述定理表明 K上每個廣義函式區域性地是一個有界函式的導函式。
K空間上廣義函式的區域性構造定理：設F∈K′，w是Rn中有界開集，則F在w上等於一個具有有界支集的連續函式的導函式。
特別，每一個具有有界支集的廣義函式F∈K′必能表示為
，其中ƒp都是有有界支集的連續函式，r是某個自然數。更為特別的是，如果廣義函式F的支集僅有一點α，那麼F能表示為
，式中αp為數，且
。
K 上廣義函式的傅立葉變換
設
。稱F:φ
愩為傅立葉變換。記愩=F(φ)。K中函式的傅立葉變換全體組成的線性空間記為Z=FK。如果
，則稱函式列{愩n}在Z中收斂於愩，記為
。Z空間上的連續線性泛函，稱為Z空間上的廣義函式，其全體記為Z′。又記J∶φ(x)
φ(-x)。
設ƒ∈K′，作Z上連續線性泛函F(ƒ)
JF_1
∈Z，稱F(ƒ)為廣義函式ƒ的傅立葉變換，通常也記為愝（或形式地寫成愝(σ)）。傅立葉變換把K上的廣義函式映為Z上的廣義函式。它的逆對映稱為傅立葉逆變換。廣義函式的傅立葉變換理論比經典傅立葉分析提供了更為靈活和適應範圍更為廣闊的有力工具。
對一元廣義函式，常用的傅立葉變換列表如下：
基本空間S和S上的廣義函式空間S┡
設φ(x)是Rn上的無限次可微函式，如果對於任一自然數r和
…，
P
n)，滿足關係式
，則稱φ(x)在無窮遠處是急速下降的，其全體組成的複線性空間記為S(Rn)。S中的函式序列{φm(x)}收斂於0是指對任意的r和p，
。同樣稱 S上的連續線性泛函 ƒ為S空間上的廣義函式，也稱為緩增廣義函式，其全體記為S′。明顯地有K嶅S，S′嶅K′。
考慮S空間上的廣義函式的好處是對於ƒ∈S′，它的傅立葉變換F(ƒ)仍是屬於S′的緩增廣義函式，這就給討論帶來很大方便。因此在不少應用場合多采用 S空間的廣義函式。
廣義函式的直積
又稱張量積。設 x，y是Rn和Rm中的點，K(Rn)，K(Rm)分別表示其上K 空間。ƒ∈K′(Rn)，g∈K′(Rm)那麼存在一個且僅有一個Rn×Rm上的廣義函式，記為ƒ圱g，它由下式定義：
式中
，並且對φ(x∈K(Rn)，
，滿足
，稱Rn×Rm上的廣義函式ƒ圱g為ƒ和g的直接積。上面的定義可以看作富比尼定理的一個拓廣。
廣義函式的卷積
設 ƒ，g∈K′，其中至少有一個支集有界，則可定義 K 上廣義函式
，稱為ƒ和g的卷積(定義卷積的條件在一些情況下還可放寬一點)。對ƒ∈K′，
，
。
廣義函式和婛∞類函式的乘積
設ƒ∈K′，α∈
(
是Rn上無限次可微函式），則定義廣義函式αƒ:
<αƒ，φ>=<ƒ，αφ> (φ∈K)，
稱為α和ƒ的乘積，並稱α為K′上乘子。當ƒ∈l*時，它和通常函式乘積相一致。
記OM(Rn)為滿足下述條件的所有
組成的線性空間：對於每個
，必存在多項式
P
p(x)，使
稱OM為在無限遠點處緩增的無限次可微函式空間。OM是緩增廣義函式S′的乘子空間。
如果ƒ∈S′，φ ∈OM，定義乘積φƒ為
那麼φƒ仍屬於S′。
但是一般地定義兩個廣義函式的乘積是困難的。例如兩個區域性可積函式的乘積就不一定是區域性可積的，於是就不一定能確定為廣義函式。
基本解
作為應用，廣義函式論特別是它的傅立葉變換理論可有效的用來研究偏微分方程的求解問題。
設
P
(D)是Rn上常係數線性偏微分運算元，如果能找到一個廣義函式ƒ，使得P
(D)ƒ=δ，那麼稱ƒ為P
(D)的基本解或方程P
(D)ƒ=0的基本解。如果ƒ是
P
(D)的基本解，那麼對於一般的非齊次方程P
(D)u=μ，它的解為 u=ƒ*μ，這裡μ∈K′，且假定 ƒ*μ是有意義的。事實上如 ƒ*μ存在的話，則由卷積的性質知
P
(D)(ƒ*μ)=P
(D)ƒ*μ=δ*μ=μ。這樣，基本解就可以起到構造其他解的作用。也可以利用它來討論微分方程其他解的性質。下面是基本解的存在定理：設P
為一n元多項式，那麼必存在常係數偏微分方程P
(D)ƒ=δ的基本解ƒ∈K′，而且這時可取ƒ，使得F(ƒ)是解析泛函。亥維賽函式θ(x)是
的基本解。
此外，還可以考慮柯西問題基本解的概念。例如，稱適合熱傳導方程
和初始條件ƒ(x，0)=δ(x)的解E(x，t)為熱傳導方程柯西問題的基本解。容易求得
因此適合初始條件ƒ(x，0)=ƒ0(x)(ƒ0(x)也可以是廣義函式)的熱傳導方程的解為
。
對變係數偏微分方程的研究，廣義函式也同樣起著很重要的作用。