五當召

[拼音]：yiban tuopuxue

[英文]：general topology

又稱點集拓撲學，拓撲學的一個分支，主要研究拓撲空間的自身結構及其間的連續對映的學科。在19世紀70年代，德國數學家G.（F.P.）康托爾建立了集合論並藉以描述了歐氏空間中子集的極限點、開集與閉集等概念，一般拓撲學研究已見端倪。到了20世紀初葉，有人用集合論觀點來研究曲線族、函式族等。其中，法國數學家M.-R.弗雷歇在1906年的一篇論文中，用集合論的語言與方法頗為直觀地得到函式之間諸如收斂之類的關係，開創了抽象空間研究的先河。繼後，德國數學家F.豪斯多夫1914年在其專著中藉助鄰域系引進了現在稱之為豪斯多夫空間的一種重要的拓撲空間。20世紀20年代，波蘭學派崛起，1920年，重要期刊《基礎數學》創刊。1922年波蘭數學家K.庫拉托夫斯基藉助閉包運算元給出了拓撲空間的一般定義。一系列深刻的結果與巧妙的方法紛紛出現。這個20年代可謂一般拓撲學的黃金時代。

拓撲學關心的是幾何物件的相對形勢關係，早期拓撲學就叫形勢分析學。現在把集合看成一種廣義的幾何物件，從拓撲學角度要考察的形勢關係中，最自然的莫過兩點之間的鄰近關係。直線上兩點鄰近就是指他們之間距離很短，鄰近概念是一個明白易懂的概念，然而它也是很基本很深刻的。數學分析的中心論題是極限問題，它就是考察一串點是否與定點逐漸地鄰近的問題。數學分析中收斂與連續這類重要概念是某種極限問題，涉及到鄰近性態的研究，應該指出，收斂與連續也是一般拓撲學中最基本的課題。鄰近概念又如何來描述呢？已經說過，直線上兩點之間的鄰近關係是用其間的距離來描寫的。這裡涉及到點對之間的距離，或者更確切地說度量（見度量空間）的問題。然而，鄰近關係與度量並無必然的關係，在直線上給了一點p，以p為中點的一串開區間形成了點p的鄰域系。藉助鄰域系，在數學分析中已成功地描寫了“極限趨向 p點”這種鄰近狀態。這種辦法可以在一般的集合上來進行。在非空集合 x上給定了一個鄰域系構造是指對x中每點p，指定了若干含有點p的子集，它們滿足適當的條件，叫做p的鄰域系。在x上指定了鄰域系的構造就說賦予x上一個拓撲，有了拓撲的集合x 就叫做拓撲空間。

使用上述鄰域系構造可以描述鄰近關係。如果點p的每個鄰域都與子集A有交點，就說p鄰近於A。如果點p的每個鄰域與A都有異於p的交點，就可說p是A的極限點。將與A鄰近的所有點新增到A上，得出一個新的子集，稱作A的閉包。將閉包等於自身的集稱作閉集。閉集A的補集x-A稱作x的開集。也可以用閉集族或開集族來等價地刻畫拓撲。

有了鄰近關係，可以把數學分析中連續函式的概念一般化為拓撲空間的連續對映概念（見拓撲空間），雙向的一一且連續的對映稱作拓撲對映。在拓撲對映下保持的空間性質叫做拓撲性質。彼此之間存在拓撲對映的兩個空間叫做同胚的。

拓撲性質的探討是拓撲學研究的主題。一個空間x中如有可數子集C，使得x中每一點的每一鄰域都與 C相交，則稱 x為可分的。可分性是一種拓撲性質。圖形連成一片的直觀形象在數學上精確地處理的一種辦法就是藉助連通性這個拓撲性質。有界實數序列必有收斂的子序列這條性質本質上也是拓撲性質，叫做緊性。直線上有界閉子集都是緊的。連通性與緊性都是重要的拓撲性質。

發現特定的拓撲空間的拓撲性質是重要的。另一方面，還很重要的是所謂識別問題，它要求找出一組拓撲性質來刻畫一類空間。也就是說，凡具有這一組拓撲性質的空間都是彼此同胚的。人們已成功地用可分性、連通性與緊性等拓撲性質刻畫了直線段、球面等拓撲空間。對於三維球面的拓撲刻畫問題就是十分著名的龐加萊猜想。圍繞這個猜想而十分活躍的低維流形的拓撲研究中，一般拓撲學也佔有一席地位。歐氏空間子集的拓撲研究本來就是一般拓撲學的一個傳統課題，當然，這些研究已遠遠超出一般拓撲學範圍，常常要藉助代數拓撲等方法來綜合地處理。

代數拓撲側重於代數方法來研究拓撲性質，而一般拓撲無論從其自身淵源與使用方法上都具有濃厚的分析學的色彩，這一點從上面用鄰域系構造來引進拓撲這一過程中就可以看出。但是這並非說在一般拓撲學中不用代數方法。事實上，一般拓撲學中有一個方向叫做連續函式環理論。它就是通過一個拓撲空間上連續函式全體形成的環以及有界連續函式全體形成的子環的代數性質的研究來得到該空間的拓撲性質的。

一般拓撲學的理論是從數學若干分支的基本概念的深化過程中昇華得到的，自然是較抽象的。這種抽象性的另一面正決定了應用的廣泛性，集合上拓撲結構在近代數學中可稱得上俯拾即得、普遍存在的結構，例如巴拿赫空間上範數小於或等於 1的線性泛函全體在弱星拓撲下就形成一個緊集，這一重要結論在其證明中還自然地藉助於一般拓撲學中乘積空間吉洪諾夫定理。一些粗看起來不是拓撲不變的性質也可藉助一般拓撲學的結果作出深一層次的分析，度量概念不是拓撲對映下不變的。但應用一般拓撲學的結果，在20世紀40年代末已得出拓撲空間可度量化的拓撲刻畫，從而可以推知區域性可度量空間在整體上可度量化的充要條件是仿緊的。這是一個頗為有用的結論（見拓撲空間、度量空間）。仿緊概念是1944年由法國數學家J.迪厄多內提出的，儘管區域性有限族的概念早在1924年就由蘇聯的∏.С.亞歷山德羅夫提出，但只是在仿緊概念出現後，才可能把區域性範圍的一些結構協合成一個整體結構，因而不只在一般拓撲學自身而且在注重整體分析的許多近代數學分支中，仿緊性都是重要的概念。在基礎數學的研究中，一般拓撲學也可發揮作用，著名的哥德爾完備性定理本身反映的就是一種拓撲空間中緊性問題。

一般拓撲學經過70～80年的發展，已較成熟。但其自身結構中若干問題仍然引人注意，例如維數論仍在不斷地取得進展（見維數）。當然，作為較為成熟分支的特點，其最活躍的領域總是在它與其他分支互動作用的邊緣地帶。

在20世紀60年代，集合論有一個重大突破，這就是P.J.科恩關於連續統假設獨立性的證明以及在這個證明中所用的力迫方法（見連續統假設）。於是20年代一般拓撲學黃金時代中提出的一些與集合論頗有關聯的問題又引起了一般拓撲學家的興趣，使用力迫法及其種種變種進行新的探討，一個稱作集論拓撲學的領域也就形成了，這是一般拓撲學中比較活躍的領域之一。

在20世紀60年代L.A.扎德提出了模糊集論（見模糊性數學）。從純數學角度看，模糊集的提出豐富了經典集論的內容，從而也刺激了與集合論關係密切的一般拓撲學的研究。經過中外學者的努力，現已形成了稱之為不分明拓撲學（即模糊拓撲學）這個生機勃勃的研究領域。不分明拓撲空間以通常拓撲空間為特款；但在這更一般的框架上，傳統的鄰域系這個鄰近構造呈現出嚴重的侷限。中國學者提出了稱作重域系的新的鄰近構造，克服了這一基本困難。重域概念的提出，收斂理論的完成以及諸如不分明嵌入定理的建立在不分明拓撲學中都是重要的。這個領域正結合著若干代數性質的研究，圍繞格（見格）上拓撲學這個主題深入展開。不分明拓撲的成果已應用於模糊數學的其他理論研究與實際應用中。

在一般拓撲學的活躍領域中還有與同倫論的基本概念關係密切的型論研究以及綜取收縮核理論與 n維流形理論(見流形)的成果而展開的無限維流形理論研究。這兩個方向的研究前途遠大。