西方心理學史

[拼音]：pusuanzi

[英文]：spectral operator

巴拿赫空間上具有某種譜分解性質的一類運算元，它是若爾當型矩陣在無窮維空間的一種推廣。

自共軛的常微分方程的邊值問題的研究發展成希爾伯特空間上自伴運算元（或自共軛運算元）的譜論，這是20世紀數學上的重大成就。

自伴運算元譜論是對稱矩陣酉等價理論的推廣，而對一般的矩陣，則問題歸結於刻畫其完全的相似不變數。至於希爾伯特空間上的非正規運算元以至巴拿赫空間上的一般運算元的譜論，從理論和應用來看雖然都很重要，但是處理起來十分困難。例如和這件事有關的不變子空間問題，從J.馮·諾伊曼的研究到現在已有半個世紀，進展仍不大。其次，即使解決了不變子空間問題，對許多運算元也還難於有一個能與自伴運算元譜論相比擬的完全的譜分析。遠在20世紀之初，G.D.伯克霍夫等便已研究過一類非自伴的常微分運算元的特徵展開問題，並且討論了它的特徵展開的收斂性。 F.（F.）里斯和後來的И.М.蓋爾範德等人則開展了取值於巴拿赫空間的複變函式論並用於研究一般運算元的譜論。30年代末，K.O.弗里德里希斯為研究連續譜擾動而提出了相似方法。正是在以上這些工作的基礎上，N.鄧福德在50年代創立了譜運算元理論。

譜測度

設B為複平面

C

σ

代數。若E是從B到巴拿赫空間X上射影運算元族之同態對映，並且E(·)還是一致有界的，即

E(

C

C

，

‖E(σ)‖≤K（常數） (σ∈B)，

則稱{E(σ)｜σ∈B}為譜測度。這裡運算元

A

B

A

B

A

B

譜運算元

設T是復的巴拿赫空間X上的有界運算元。若有譜測度{E(σ)｜σ∈B}使得：

（1）TE(δ)=E(δ)T，

，當δ∈B，這裡T│M表示T在M上的限制；

（2）E(δ)是可數可加的，即對B中任意可數多個互不相交的集

，皆有

＝

， x∈X，則稱T 為譜運算元，而稱E：δ→E(δ)為T 之單位分解。每個譜運算元的單位分解是惟一的。對具緊支集

的譜測度{E(σ)｜σ∈B}，則

稱為標運算元。這裡需要說明，對簡單函式

，

定義

，而對

上任何有界可測的ƒ(λ)，恆有簡單函式列{ƒn(λ)}在

上一致地收斂到ƒ(λ)，從而定義

。

T是譜運算元的充要條件是T=N+S，這裡S是標運算元，N是擬冪零運算元且N與S可交換。可見譜運算元正是若爾當型矩陣在無窮維空間的推廣。對希爾伯特空間h上的譜運算元，則有更深刻的結果:凡標運算元皆相似於一正規運算元。h上交換的譜運算元之和與積也都是譜運算元。

譜運算元概念可推廣到無界的情況。設線性運算元 T之定義域D(T)與值域部在巴拿赫空間X中，且T是閉的，

若有可數可加的譜測度

使

，當

且有界；

，且TE(δ)x=E(δ)Tx，當

而δ∈B；

，這裡T│E(δ)X之定義域為D(T)∩E(δ)X，則稱運算元T為無界譜運算元。

研究一個運算元是譜運算元的條件，當然很重要。自伴運算元理論已經指出這類問題的困難和一些可能進攻的途徑。這裡擾動的方法是常用的，據此人們把前述伯克霍夫等人的工作推廣到一類譜運算元上去。重要的弗裡德思希斯方法的大意是對運算元T與適當的運算元K，如果能找到具有界逆的運算元U使得T+K=U -1TU，那麼T+K的譜論便化歸為T。這些方面的結果，已成功地應用於大量的運算元和物理問題。

參考書目

N.Dunford and J.T.Schwartz，Linear Operators，Interscience， New York， 1971.