畢達哥拉斯
[拼音]：jihelun
[英文]：set theory
數學的一個基本的分支學科，研究物件是一般集合。集合論在數學中佔有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。按現代數學觀點，數學各分支的研究物件或者本身是帶有某種特定結構的集合如群、環、拓撲空間，或者可以通過集合來定義的（如自然數、實數、函式）。從這個意義上說，集合論可以看做是整個現代數學的基礎，至多範疇論除外。
集合論是G.（F.P.）康托爾於19世紀末創立的。它的發展經歷兩個階段:1908年以前稱為樸素集合論;1908年以後又產生了所謂公理集合論。後者不外乎是前者的嚴格處理；由於廣泛使用數理邏輯的工具，它又逐漸成為數理邏輯的一個分支，並從60年代以來獲得迅速的發展。
康托爾的樸素集合論
集合論產生的背景是分析學，特別是三角級數發展的需要。當一個以2π為週期的周期函式ƒ(x)在(0，2π)上表示成三角級數（例如它的傅立葉級數）
時，人們很自然地會提出下面的問題：這個表示是否是惟一的？這問題也可改述為：如果該級數在(0，2π)上都收斂於0，是否它所有的係數 αn、bn皆為0？G.康托爾於1870年對這個問題給予肯定的回答。以後他進一步研究，如果上面條件減弱為：級數在(0，2π)上除若干（有限或無限）個點外均收斂於 0，那麼是否還能保證所有的αn，bn皆為0?正是由於研究這種不影響惟一性的例外點集的需要，G.康托爾引入了直線上的一些點集拓撲概念，探討了前人從未碰過的結構複雜的實數點集。這是集合論研究的開端。
1874年G.康托爾越過“數集”的限制，開始一般地提出“集合”的概念。他給集合下了這樣一個定義：把若干確定的有區別的（不論是具體的或抽象的）事物合併起來，看做一個整體，就稱為一個集合（簡稱集），其中各事物稱為該集合的元素（或成員），也說它屬於該集合。事物α屬於集合
A
記為α∈A
。這樣，中國現有直轄市、《阿 Q正傳》中出現的不同漢字、全體自然數、平面上所有直線等等都是集合的例子。有了集合概念之後，就可進一步定義集合S的子集T吇S，冪集P
(S)，集合的並S∪T、交S∩T，笛卡兒直積S×T，以及集合上的關係，集合到集合的對映等一系列概念（見集合、對映）。在樸素集合論裡，這一切都是很直觀明顯的。G.康托爾的卓越成就是關於無窮集的研究。他把適用於有窮集的不用數數而判定兩集合一樣大的一一對應準則推廣到無窮集。元素間能建立一一對應的集合稱為等勢。一個無窮集可與它的一個真子集等勢，這與傳統的觀念“全量大於部分”矛盾，但G.康托爾認為這恰恰是無窮集區別於有窮集的特徵。他稱與全體自然數N 等勢的集合為可數（無窮）集。當他證明了全體有理數和全體代數數都是可數集合之後，1873年出乎意外地發現，全體實數R這一無窮集竟不是可數集，他在證明中應用了著名的對角線方法。這一事實說明，無窮集並非清一色地都是可數集，它們之間還是存在著差別。在這基礎上，G.康托爾於1878年引入了對有窮集無窮集都適用的“集合的勢”後來又稱為基數的概念。勢是通常“個數”概念的推廣。最初，G.康托爾把勢定義為等勢集合類共性的抽象，後來（F.L.）G.弗雷格與B.A.W.羅素改為等勢類本身。集合S的勢記為|S|，如S={北京、天津、上海}，則|S|=3。利用等勢的概念可將有窮集存在的大小關係推廣到無窮集。例如可以說實數集R 的勢大於自然數集N 的勢。因為可以證明R的勢等於N的冪集
P
(N)的勢，所以也有｜N｜<｜P
(N)｜。1883年G.康托爾得到更一般的結果(康托爾定理)，即｜S｜<|P
(S)|對任何集合S都成立。因此，如果從N出發不斷做冪集，那麼在序列N，P
(N)，PP(N)，…中，每一個的勢將比前一個大，而且每次至少要大一個“數量級”。也就是說，在所有的無窮集之間還存在著無窮多個層次。上面對無窮集的討論中，只考慮到集合中元素的多少，沒有考慮這些元素間可能出現的順序。但當人們通常要比較兩個元素很多的集合的大小時，總是先把它們分別排隊，然後齊其一端，依次配對來比較兩隊的長短。由此可知排有順序的集合的重要性。G.康托爾從1883年起開始研究有序集合，特別是其中的良序集，即每一子集都有第一個元素的有序集。為了刻畫良序集的結構，他引入序數的概念。他把序數定義為良序集的序型，可看作用來編序的自然數（第一、第二、第三、……）的推廣。序數可以比較大小。而且任一序數之後，甚至任一序數集之後，恰有一個在大小順序上緊緊尾隨的序數。因此，如果用ω表示自然數集（按自然順序）的序數，並採用序數算術的記法，那麼，將所有序數，從0開始由小到大排起來，就形成如下的無窮序列：
這樣，G.康托爾就給出了序數的一種系統的表示法，相當於十進位制之於自然數。這充分體現了G.康托爾驚人的想象力。利用序數可以把良序集編號，並將數學歸納法推廣到自然數以外去（見超限歸納法）。良序集及序數的研究加深了對於基數的理解。1904年E.F.F.策梅洛證明了任一集合都可良序化（良序定理），將基數等同於一個序數，這才解決了基數可比較大小這一根本的問題。此外，同序數一樣，任一基數之後，甚至任一基數集之後，恰好有一個在大小順序上緊緊尾隨的基數。因此可將所有超限基數按序數來編序，這就是所謂阿列夫的譜系
(其中
0是最小無窮集可數集的基數)，它可無限延長下去。 超限序數和超限基數一起構成了一幅“無限王國”的完整圖景。它們所以還稱之為數，是因為無論是基數和序數都各有自己的算術。就基數而論，加法和乘法都很簡單，不僅服從通常運算規律（序數就不服從交換律：ω＋1≠1＋ω），而且當0<α≤b且b超限時，總有α＋b=b，α·b=b，但方冪則複雜得多，至今還有很多問題沒有解決。
以上關於序數、基數的理論是 G.康托爾於 1895、1897年在以《關於超窮集合論的基礎》為題的兩篇文章中發表的。
集合論的公理化
“無限”是一個重大的哲學問題。自亞里士多德以來直到19世紀的許多大數學家如C.F.高斯，A.-L.柯西等都只承認潛無限：例如，無限展開的自然數列1，2，…，n，…;可以無限延長的直線；永無休止的時間等等。潛無限是由有限量不斷變化而形成的，它變化的每一步都是有限量，但都蘊含著一種潛在的趨向無窮的可能性。G.康托爾則研究實無限。在他那裡，自然數集不是一個一個潛在地向無限變化，而是“一下子”全都呈現在我們面前。前面提到的超限基數
0、
1，及超限序數ω等刻畫的無窮集，都是道道地地的實無限。G.康托爾關於實無限的集合論，一開始就遭到當時權威L.克羅內克，（J.-）H.龐加萊等人的非難，說它不是數學而是神祕主義，是病理學上的病例。但由於它應用在分析、拓撲和測度論上的成功，更多的數學家傾向於接受它，有的還極力擁護它。D.希爾伯特讚譽G.康托爾的超限算術是數學思想最驚人的產物。集合論受到非難，並不僅是因為哲學觀點和數學上的思想分歧，嚴重的困惑來自集合論內部。1900年前後在集合論中出現了悖論。按照樸素集合論的觀點，所有集合的全體也應構成一個集合V，這V的勢應不小於其他任何集合的勢，但由康托爾定理，它又明明小於其冪集
P
(V)的勢，這就出現矛盾（康托爾悖論，1899）。同樣，所有不屬於自身（即不包含自身作為元素）的集合，也應構成一集合R，現在問R是否屬於R？如果R屬於R，則R 滿足R的定義，因此R不應屬於自身，即R不屬於R；另一方面，如果R不屬於R，則不滿足R的定義，因此R 應屬於自身，即R 屬於R。總之，不論哪種情況，R屬於R 與R不屬於R應同時成立，這也是矛盾(羅素悖論，1903)。這類悖論（特別是只涉及“集合”與“屬於”兩個概念的羅素悖論）的出現表明集合論的理論是不協調的，也使得人們對整個數學推理的正確性與結論的真理性產生懷疑，釀成了數學史上的第三次危機。為了克服悖論所帶來的困難，策梅洛於1908年提出了一個公理化的方案。他認為“鑑於羅素悖論的存在，今天已不允許把任何邏輯上可定義的概念外延當作一個集合。G.康托爾原來的集合定義必然需要有所限制，但迄今又沒有成功地被一個簡單而無問題的定義所代替。因此別無選擇，只有從現有的集合論成果出發，反求足以建立這一數學分支的原則。這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以儲存下來。”策梅洛的公理系統以“集合”與“屬於”為僅有的不加定義的原始概念，包括外延公理、空集合存在公理、無序對集合存在公理、並集合公理、冪集合公理、無窮公理、分離(子集合)公理、選擇公理。此後，經過A.A.弗倫克爾和A.T.斯科朗的改進，又補充了替換公理和正則公理兩條，通稱ZF公理系統。上面的分離公理與替換公理實際上是各自包括無窮多條公理的公理模式。其中除第一與第十兩條是對於集合的刻畫或限制之外，其餘的都是關於集合的存在性公理。特別值得注意的是子集公理：給定一個集合S和任一性質
P
，則S中所有具有性質P
的元素構成一個集合。它不象G.康托爾那樣承認一切具有給定性質P的事物總構成一個集合，而是先要有一個更大的集合，這就大大限制了集合構成的任意性。起初策梅洛公理系統中除了集合以外，還容許有本身不是集合，但可作為集合的元素的所謂原子。但在以後的發展中，人們認為這種原子對於開展數學是多餘的，而將它們摒棄了。這樣一來，一個集合，如果不是空集，便是以其他集合作為元素。於是一切集合，不論怎樣複雜，無不是從空集出發，通過取冪集、並集、子集的步驟輾轉生成的，也就是說，都呈現如下的形式:
，{
}，{
，{
}}，{
，{
}，{{
}}}，…，這也是ZF集合論的一個特點。此外，在ZF公理系統中，不像G.康托爾那裡，用共同性質的抽象來定義基數和序數(因為抽象涉及心理，是非數學的)，也不象在弗雷格和羅素那裡，用等價類來定義（因為它“過大”，不在集合之列），而是選用與某集合等勢（或與某良序集相似）的一個標準的代表集合作為該集合的基數（或序數）。例如，自然數0，1，2就定義為分別含有零個、一個和兩個元素的集合：
=0，{
}={0}=1，{
，{
}}={0，1}=2等等。這是 ZF集合論的另一特點。由此也可看出，公理化的處理給集合論帶來的高度的統一性與一貫性。ZF集合論承襲了康托爾集合論的全部成果。事實上，凡是數學所需的一切有關集合運算、關係、對映的結果以及全部基數、序數的理論全都可以從ZF公理系統中演繹出來。ZF集合論又排除了康托爾集合論中可能出現的悖論。因此，ZF公理系統是相當成功的，它確實在很大程度上彌補了樸素集合論的不足。當然，由於哥德爾第二不完備性定理，ZF公理系統作為包括自然數理論的一階形式體系是不可能在其內部解決本身的協調性問題的。這是一切這類體系固有的侷限性。
集合論的公理系統除ZF公理系統外還有好多種，其中最重要的要算1925～1937年形成的 J.馮·諾伊曼、P.貝爾奈斯、K.哥德爾的公理系統，稱為NBG公理系統，它的特點是在“集合”與“屬於”之外，還引入了“類”作為不定義的概念。類比集合更為概括，任一性質都可確定一個類。可以說“一切集合所成之類”，也可說“一切不屬於自身的集合所成之類”。一個類是一個集合，當且僅當它是某一個類的元素。不是集合的類稱為真類，上面提到的兩個類就是真類的例子。 NBG公理系統優於ZF公理系統之處在於它可表述為不含公理模式而只由有限多條公理所組成的體系。可以證明，如果ZF公理系統協調則 NBG公理系統也協調（而且後者是前者的一個保守的擴張）。但由於 NBG公理系統沒有ZF公理系統簡明方便，所以數學家中採用得比較少（特別在科恩的工作以後）。
選擇公理與連續統假設
雖然由於哥德爾不完備性定理，證明整個公理系統的協調性的努力已無意義，但是關於公理系統中某一個別公理或某一假設的相對協調性和相對獨立性仍不失為研究的重要課題。在這些課題中選擇公理與連續統假設佔著特殊的地位。
選擇公理是集合論中最著名的公理，簡記為AC。最早見於G.康托爾著作中，作為一種顯而易見的事實被不自覺地加以運用。1890年G.皮亞諾在證明常微分方程解的存在性定理時已注意到，在集合族裡的每一個集合中是否能選出一個代表元素這一事實在論證中至關重要。1904年策梅洛在證明良序定理時明白地表述選擇公理：設
A
是一個非空集族，它的元素是互不相交的非空集合，則存在一個集合C
，它與A
中每一個集有且僅有一個公共元。其中集合C
稱為集族A
的選取集合。1906年羅素給出了選擇公理的另一表述形式：互不相交的非空的非空集族的直積不空，稱為乘積公理。1908年策梅洛在他的ZF公理系統中，給出了與原選擇公理等價的一般化形式，取消了集合互不相交的限制，表述為：設A
是一個非空集的一個非空族，則存在一個定義於A
且取值於∪A
的函式 ƒ，對於A
中任一元素x，總有ƒ(x∈x。這樣的函式ƒ稱為A
的選擇函式。選擇公理對整個數學的影響是巨大的。與它等價的命題有良序定理、滿射原理、極大原理、關係的限制對映性質、基數的和積等性質、柯尼希定理、吉洪諾夫緊直積空間定理、理想子代數的存在定理等多達一百餘個。它在數學的許多分支，如分析、拓撲、代數中幾乎已是不可缺少的工具。例如，可數集在無限集中的地位、各種無限定義的一致性、基數的運算、柯西極限與海涅極限的等價性、極限點與聚點的關係、不可測集的存在性、哈恩- 巴拿赫定理、線性空間的基底存在定理、素理想定理、伯克霍夫抽象代數的表現定理、域的代數閉擴張的存在性與惟一性等問題都需要藉助AC或它的等價命題才能解決。但是，AC具有純存在、非構造的性質，即在集族A
已知的條件下，沒有一個能行的方法把選擇函式ƒ構造出來。此外巴拿赫-塔爾斯基怪球定理也是應用AC證明的，這些都使它成為數學史上繼平行公理之後最有爭議的一條公理的主要原因。由於AC所處的這種特殊地位，人們把包括AC的公理系統記為ZFC，以區別不包括AC的ZF系統。連續統假設
是集合論中的一個著名猜想，簡單地說就是關於直線上有多少點的問題，也稱連續統問題，簡記為CH。1878年G.康托爾猜測實數集的任一不可數子集與實數集等勢。他稱實數集為連續統。因為它的自然順序具有戴德金連續性。任意兩個連續統是彼此等勢的。如果用c表示連續統基數，用
1表示最小的不可數基數，則CH可表示為
1=c。由於實數集R 的勢等於自然數集N（它的勢為
0）的冪集的勢
，即
，所以CH也可寫成
。1900年希爾伯特在巴黎國際數學家大會上所做的著名講演中把CH列為當時未解決的23個數學問題中的第一個。1908年希爾伯特又把它推廣為：對於任何序數α，
，稱為廣義連續統假設，簡記為GCH。在沒有選擇公理的ZF系統中，GCH與下述任一命題等價：
（1）對於任何基數 λ，
，若
，則
＝λ；
（2）對於任何無限基數
，
。連續統問題自從G.康托爾1878年提出以來已有百年的歷史，但這問題始終沒有解決，它也已成為數學史上堪與費馬猜想、黎曼猜想並提的一大難題。
儘管如此，近40年來對AC和CH的研究還是取得了很大進展。1938年哥德爾在《選擇公理和廣義連續統假設同集合論公理的協調性》(1940)一書中證明了，從ZF推不出AC的否定，從ZFC推不出GCH的否定(因而也推不出CH的否定);即AC對於ZF，CH對於ZFC是相對協調的。但人們期待的關於它們獨立性的證明卻遙在25年之後。1963年P.J.科恩利用了他為之專門設計的力迫方法證明了AC對於ZF，CH對於ZFC的相對獨立性，即從ZF推不出AC，從ZFC推不出CH。綜合哥德爾與科恩的結果，就是AC和CH分別在ZF和ZFC中都是不可判定的。這樣，連續統問題也終於在某種程度上獲得瞭解決，成為20世紀最大的數學成果之一。AC對於ZF的相對協調性從理論上祛除了長期以來對AC的疑慮，叫人們可放心大膽地使用它。而由於它的相對獨立性，人們不妨可以尋找它的替身(例如決定性公理)或研究不滿足AC的模型（如索洛韋模型或費弗曼-萊維模型），正如當年非歐幾何是值得研究一樣。關於CH也有類似情形，人們不僅可以研究蘊涵CH的可構造性公理，也可研究代替CH的馬丁公理。從公理系的角度看，探究各種不同假設所引出的各種結論，任何時候都是有益的。但是，上述CH的不可判定性（在此且不談AC）是否意味著：可以有同時並存的兩種集合論（CH成立的和CH不成立的），恰如歐氏幾何與羅氏幾何一樣。少數形式主義者可能認為事情就是這樣，但大多數數學家則不然。對他們來說，集合論不同於幾何或代數等假設演繹理論，而反映了某種客觀實在。在此CH或非CH二者必居其一。不可判定性只能解釋為ZF公理系對於這種客觀實在的描述尚未臻完善。人們還得尋找迄今尚未發現的、與其他公理協調的、可信賴的新的公理（CH或它的任一具體的否定都不具備這資格），以期在更有效的途徑上來解決連續統問題。在這方面的各種嘗試正在進行中，成為集合論當前研究的主流。