泡利，W.
[拼音]：chaoyue fangcheng shuzhi jiefa
[外文]：numerical method of transcendental equations
當一元方程ƒ(z)=0的左端函式ƒ(z)不是z的多項式時，稱之為超越方程。這類方程除極少數情形（如簡單的三角方程）外，只能近似地數值求解，此種數值解法的研究至今仍是計算數學的主要課題。超越方程的數值解法也適用於代數方程。
數值求解超越方程時首先需要確定解的分佈區域，它可以利用圖解法或者根據ƒ(z)的解析性質來確定。當ƒ(x)為實函式時，確定方程實根的分佈的最常用方法是應用連續函式的中值定理：如果實的連續函式ƒ(x)在區間[α，b]的兩個端點的值異號，則ƒ(x)在此區間內至少有一個根。
二分法
利用中值定理計算實函式實根的簡單易行的方法，演算法如下：
設區間[α0，b0]滿足條件ƒ(α0)ƒ(b0)<0，[α0，b0]的二等分點為
計算ƒ(x0)的值，若ƒ(x0)=0，即為所求解;若ƒ(x0)ƒ(α0)<0，取α1=α0，b1=x0作為新的區間端點;若ƒ(x0)ƒ(α0)>0，取α1=x0，b1=b0作為新區間的端點。[α1，b1]的二分點為
計算ƒ(x1)的值並重覆上述步驟以確定新的區間[α2，b2]，如此繼續下去。則得到區間序列 [αk，bk](k=0，1，…)，它滿足ƒ（αk）ƒ（bk）<0，並且
當bk-αk達到指定的精確度要求時，則取
為方程的解，它與精確解的誤差不超過
迭代法
解超越方程的主要方法，既適用於求實根，也適用於求復根。使用這類方法時一般需要知道根的足夠好的近似值。最常用的方法有牛頓法、割線法、二次插值法、雙曲插值法、切比雪夫迭代法、艾特肯δ2加速方法和斯梯芬森方法等。
牛頓法
也稱切線法，其計算公式為
z0為事先選定的根的初始近似。設z
為 ƒ(z)的根，若ƒ(z)在z
的某鄰域內二次可微，且ƒ┡(z
)≠0，則當z0與z
充分接近時，牛頓法至少是二階收斂的，即當k充分大時有估計式
成立，C為確定的常數。一般說來，牛頓法只具有區域性收斂性，即僅當初始近似與根充分接近時才收斂。但是，當ƒ(x)為實函式，且於[α，b]上ƒ┡(x)和 ƒ″(x)不變號時，若ƒ(x)於[α，b]上有根，則只要初始近似x0滿足條件ƒ(x0) ƒ″(x0)>0，牛頓法就收斂。一般情形，為減弱對初始近似的限制，可利用牛頓下降演算法，其算式為
ωk>0為迭代引數，由條件│ƒ(zk+1)│<│ƒ(zk)│確定，牛頓法的k+1次近似 zk+1是ƒ(z)在zk處的泰勒展開式的線性部分的根。
割線法
又稱弦位法，其算式為
z0、z1為初始近似。若ƒ(z)於其根z
的某鄰域二次連續可微，且ƒ┡(z
)≠0，則z0、z1與z
充分接近時，割線法收斂於z
，並當k充分大時有估計式
式中C為常數，
割線法的k+1次近似zk+1是以zk、zk-1為插值節點的線性插值函式的根，如果利用更精確的近似表示式則可構造出更高階的迭代法。
二次插值法
亦稱繆勒方法，是利用二次插值多項式構造的迭代演算法。設已確定了zk、zk-1、zk-2，則zk+1就取為以 zk、zk-1、zk-2為節點的二次插值多項式兩個根中與zk最接近者，其算式為
式中“±”號選成使分母的模為最大者，而
－
式中
當分母為0，則λk=1。
雙曲插值法
利用線性分式插值構造的迭代演算法，其算式為
式中μk、δk、Δzk和ƒk的意義與二次插值法相同。
若ƒ(z)在其根z
的某鄰域內三次可微，並且z0、z1、z2與z
充分接近，則二次插值法和雙曲插值法均收斂。此外，如果ƒ┡(z
)≠0，對充分大的 k，有估計式
式中 C為確定常數，τ為方程式t3-t2-t-1=0的惟一正根，τ＝1.839…。
切比雪夫迭代法
三階收斂的方法，其算式為
當ƒ(z)在其根z
的鄰域內三次可微且ƒ┡(z
)≠0時，對充分大的k，有
C為確定常數。
艾特肯δ2加速方法
提高迭代法收斂速度的有效演算法，設{zk}為迭代序列，δ2加速的算式為
若ƒ(z)在其根z
處充分光滑，且ƒ(z
)≠0，則對充分大的k，有
並且若zk是p(p>1)階收斂，即
C0均為常數。當ƒ┡(z
)=0時也有加速作用。此演算法可以迴圈使用。
斯梯芬森方法
不算微商而二階收斂的方法，其算式為
它可由迭代演算法
迴圈使用 δ2程式匯出。
所有的迭代法用於求重根（即ƒ┡(z
)=0）時， 其收斂速度將變慢，收斂階將降低。
為求得達到所需精度的解而花費的代價是評價迭代法優劣的依據，效能指數是其重要指標，它定義為p1/寶，p 為收斂階，μ 為每步需要計算的函式值和微商值的總數。效能指數越大，說明方法越好。二分法及上述各種迭代法的收斂階（單根時和重根時）和效能指數如表。
只有當初始近似與解充分接近時，迭代法才收斂，這是所述演算法的共同特點。減弱對初始近似的限制是提高迭代法有效性的重要措施，例如，牛頓法中引進下降因子。對一些特殊函式類（如單調函式，只有實根的解析函式等）的大範圍收斂迭代演算法也有一些研究工作。
參考書目
A.Ostrowski，Solutions of Equations in Euclidean and Banach Spaces， 3rd ed.， Academic Press， New York， 1973.
J.F.Traub，Iterative Methods for the Solution of Equations， Prentice-Hall， Englewood Cliffs， New Jersey， 1964.