盧瑟福，E.

[拼音]：juanji

[外文]：convolution

分析數學中一種重要的運算。設ƒ(x)，g(x)是R1上的兩個可積函式，作積分

。

可以證明，關於幾乎所有的x∈(-∞，∞)，上述積分是存在的。這樣，隨著x的不同取值，這個積分就定義了一個新函式h(x)，稱為ƒ與g的卷積，記為h(x)=(ƒ*g)(x)。容易驗證，(ƒ*g)(x)=(g*ƒ)(x)，並且(ƒ*g)(x)仍為可積函式。這就是說，把卷積代替乘法，l1(R1)空間是一個代數，甚至是巴拿赫代數。

卷積與傅立葉變換有著密切的關係。以弮(x)，抭(x)，表示l1(R1)中ƒ和g的傅立葉變換，那麼有如下的關係成立：

，即兩函式的傅立葉變換的乘積等於它們卷積後的傅立葉變換。這個關係，使傅立葉分析中許多問題的處理得到簡化。

由卷積得到的函式(ƒ*g)(x)，一般要比ƒ，g都光滑。特別當g為具有緊支集的光滑函式，ƒ為區域性可積時，它們的卷積(ƒ*g)(x)也是光滑函式。利用這一性質，對於任意的可積函式，都可以簡單地構造出一列逼近於ƒ 的光滑函式列ƒs(x)，這種方法稱為函式的光滑化或正則化。

卷積的概念可以推廣到數列、測度以及廣義函式上去。例如，α={αn}，b={bn}(n=0，±1，±2，…)為兩個數列，新的數列

定義為數列α與b的卷積。在概率論中也遇到卷積的概念。例如，已知獨立隨機變數ξ和η的概率分佈為

P

ξ（

A

）和

P

η(

A

)，那麼隨機變數ξ+η的分佈

由下式給出

，

式中

A

-y表示點集{x|x+y∈

A

};

A

為直線上任意的波萊爾集。

卷積，作為運算，還具有十分重要的所謂平移不變性。例如以τα表示平移運算元，即(ταƒ)(x)=ƒ(x-α)，那麼就有

利用這性質，可以刻畫出lp(R1)到

有界的平移不變運算元的特徵，即當作用在施瓦茲函式類(記為S(R1))時，這種運算元一定是某個緩增廣義函式u與函式φ∈S的卷積u*φ（見廣義函式）。