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[拼音]：gail╇zhi

[外文]：probability paper

一類依特定的概率分佈而製作的座標紙。對於每個連續的分佈函式，都可以設計一種座標紙，使該分佈函式在其上的圖形呈一條直線。因此，概率紙常依概率分佈來命名，例如正態概率紙、對數正態概率紙，威布林概率紙和伽瑪概率紙等。利用概率紙，可根據樣本對總體分佈的型別進行檢驗，對分佈引數進行估計，以及進行其他簡便快速的統計推斷。

概率紙的原理和方法，可以用圖1的正態概率紙為例來說明。正態概率紙的橫軸（常表為x 軸）採用一般的等距刻度；而在縱軸等距刻度u=(x-μ)/σ處標以數值

，

式中σ(>0)與μ是選定的常數;Ф是標準正態分佈函式。在這張座標紙上，一個均值為μ，標準差為σ的正態分佈的影象，是一條通過點(μ，0.5)而斜率為1/σ的直線。若有了樣本x1，x2，…，xn，則對每個i，首先用樣本對分佈函式在xi點的值F(xi)作一估計弲(xi)然後把點(xi，弲(xi)標在正態概率紙上。若這些點很靠近一直線， 則說明總體分佈很接近正態分佈。在n很大時，可以用經驗分佈函式（見樣本）估計F（xi）。若n較小，則先將樣本觀測值按從小到大的次序排列為

。然後用i/(n+1)估計F(x(i))，也可使用

或中位秩數值表。

例如，從某種規格的一批電阻中，隨機抽取n=15只，實際測量的電阻值按從小到大的次序排列的數值 x(i)及相應的弲(x(i)值由公式

計算，見表

。

將上述15對資料(x(i))，弲(x(i))（i=1，2，…，15）標在正態概率紙上，它們基本上成直線排列(圖1

)。這說明這批電阻的電阻值大體上遵從正態分佈。用目測的方法配置一條儘可能靠近所有這些點的直線，則在直線上相應於 F(x)=50％點的橫座標值2.05(歐姆)可以作為均值μ的估計；相應於F(x)=15.9％（正態分佈下小於μ－σ的概率）的點的橫座標值1.74(歐姆)可以作為μ-σ的估計。得到σ的估計值

=2.05-1.74=0.31(歐姆)。

其他連續分佈的概率紙的構造與使用方法，與正態概率紙相同。不同的地方只在於座標軸上的刻度。例如，對數正態概率紙的橫軸採用對數刻度，縱軸刻度與正態概率紙相同。威布林概率紙(見圖2

)的橫軸(常表為t軸)用對數刻度，縱軸則是按lnln(1-F(t))-1刻度，其中F(t)是位置引數為0的威布林分佈函式。在圖上根據觀測值配置直線後，如需估計分佈引數等數字特徵，還需用到印在概率紙上方和右上方的附加尺。以上兩種概率紙在壽命資料統計分析中應用相當廣泛。

利用概率紙作圖，對定時或定數截尾的不完全資料也適用，因為此時對一部分t值，F(t)仍可估計。近年來，有一種稱為累積危險率紙的座標紙，可以處理各種型別的不完全資料。它的構造也隨分佈而異，但用累積危險率Λ(t)代替F(t)，除了估計Λ(t)的方法不同外，其他使用方法與一般概率紙基本相同。

統計分析紙，也即二項概率紙（圖3

），它是另一種常用的概率紙，它的形式和構造與連續分佈的概率紙不同，它是由在座標軸都為平方根刻度的座標紙上，加上一個四分之一圓及若干附加尺而構成的。它的基本原理是R.A.費希爾提出的反正弦變換，若k遵從二項分佈

B

的漸近分佈是正態分佈，而且漸近方差1/4n與總體引數無關。

據此，他首先指出平方根紙可以用作統計推斷。後來經過若干改進和補充，逐漸成為目前使用的形式。統計分析紙可用於對百分率的檢驗，泊松分佈均值的檢驗，符號檢驗以及制定抽樣檢驗方案和控制圖等。

利用概率紙作統計推斷具有直觀、簡單、使用方便等優點，故雖然精度差些，仍受到應用工作者的重視。

參考書目

劉璋溫、戴樹森、方開泰編：《概率紙淺說》，科學出版社，北京，1980。

J. R. King，Probability charts for Decision Making，Industrial Press，New York，1971.