狄爾斯，O.P.H.
[拼音]：qujian guji
[外文]：interval estimation
引數估計的一種形式。通過從總體中抽取的樣本，根據一定的正確度與精確度的要求，構造出適當的區間，以作為總體的分佈引數(或引數的函式)的真值所在範圍的估計。例如，估計一種藥品所含雜質的比率在1～2％之間；估計一種合金的斷裂強度在1000～1200千克之間，等等。在有的問題中，只需要對未知量取值的上限或下限作出估計。如前例中，一般只對上限感興趣，而在第二例中，則只對下限感興趣。
在數理統計學中，待估計的未知量是總體分佈的引數θ或θ的某個函式g(θ)。區間估計問題可一般地表述為：要求構造一個僅依賴於樣本X＝(x1，x2，…，xn)的適當的區間[A(X)，
B
B
(尣)]作為θ或g(θ)的估計。至於怎樣的區間才算是“適當”，如何去構造它，則與所依據的原理和準則有關。這些原理、準則及構造區間估計的方法，便是區間估計理論的研究物件。作為引數估計的形式，區間估計與點估計是並列而又互相補充的，它與假設檢驗也有密切的聯絡。置信區間理論
這是1934年，由統計學家J.奈曼所創立的一種嚴格的區間估計理論。置信係數是這個理論中最為基本的概念。
置信係數
奈曼以概率的頻率解釋為出發點，認為被估計的θ是一未知但確定的量，而樣本X是隨機的。區間[A(X)，
B
(X)]是否真包含待估計的θ，取決於所抽得的樣本X。因此，區間 [A(X)，B
包含未知的θ。對於不同的θ，π(θ)之值可以不同，π(θ)對不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)稱為區間[A(X)，
B
(X)]的置信係數。與此相應，區間[A(X)，B
(X)]稱為θ的一個置信區間。這個名詞在直觀上可以理解為：對於“區間[A(X)，B
(X)]包含θ”這個推斷，可以給予一定程度的相信，其程度則由置信係數表示。對θ的上、下限估計有類似的概念，以下限為例，稱A(X)為θ的一個置信下限，若一旦有了樣本X，就認為θ不小於A(X)，或者說，把θ估計在無窮區間[A(X)，∞)內。"θ不小於A(X)"這論斷正確的概率為
θ)。π1(θ)對不同的θ取的最小值1-α(0＜α＜1)稱為置信下限A(X)的置信係數。
在數理統計中，常稱不超過置信係數的任何非負數為置信水平。
優良性準則
置信係數1-α 反映了置信區間[A(X)，
B
(X)]的可靠程度，1-α愈大，[A(X)，B
(X)]用以估計θ時，犯錯誤(即θ並不在[A(X)，B
(X)]之內)的可能性愈小。但這只是問題的一個方面。為了使置信區間[A(X)，B
(X)] 在實際問題中有用，它除了足夠可靠外，還應當足夠精確。比如說，估計某個人的年齡在 5至95歲之間，雖十分可靠，但太不精確，因而無用。通常指定一個很小的正數α（一般，α 取0.10，0.05，0.01等值），要求置信區間[A(X)，B
(X)]的置信係數不小於1-α，在這個前提下使它儘可能地精確。對於“精確”的不同的解釋，可以導致種種優良性標準。比較重要的有兩個：一是考慮區間的長度B
(X)-A(X)愈小愈好。這個值與X有關，一般用其數學期望Eθ(B
(X)-A(X))作為衡量置信區間[A(X)，B
(X)] 精確程度的指標。這個指標愈小， 置信區間的精確程度就愈大。另一個是考慮置信區間 [A(X)，B
(X)]包含假值（指任何不等於被估計的 θ 的值）θ┡ 的概率
，它愈小，[A(X)，
B
(X)]作為θ的估計的精度就愈高。如果A(X)是θ的置信下限，則在保證A(X)的置信係數不小於1-α的前提下，A(X)愈大，精確程度愈高。這也可以用[A(X) ，∞)包含假值θ┡(θ┡<θ)的概率
來衡量，此概率愈小，置信下限A(X)的精確程度愈高。對置信上限有類似的結果，若在某個準則下，一個置信區間（或上、下限）比其他置信區間都好，則稱它為在這個準則下是一致最優的。例如，在上述準則下，置信係數1-α的一致最優置信下限A(X)定義為：A(X)有置信係數1-α ，且對任何有置信係數1-α的置信下限A1(X)，當θ┡<θ時，成立
有時，對所考慮的置信區間（或上、下限）加上某種一般性限制，在這個前提下尋找最優者。無偏性是經常用的限制之一，如果一個置信區間（上、下限）包含真值θ的概率，總不小於包含任何假值θ┡的概率，則稱該置信區間（上、下限）是無偏的。同變性（見統計決策理論）也是一個常用的限制。
求置信區間的方法
最常用的求置信區間及置信上、下限的方法有以下幾種。
一種是利用已知的抽樣分佈(見統計量)。例如，設x1，x2，…，xn為正態總體N(μ，σ2)（見正態分佈）中抽出的樣本，要作μ 的區間估計，記
，
·
則
服從自由度為n-1的t分佈。指定α>0，找這個分佈的上α/2分位數tα/2(n-1)，則有
即
由此得到 μ 的一個置信係數為 1-α 的置信區間
。類似地可以定出μ的置信係數為1-α的置信上、下限分別為
。
另一種是利用區間估計與假設檢驗的聯絡，設要作θ的置信係數為1－α 的區間估計，對於任意的θ0，考慮原假設為 H:θ＝θ0，備擇假設為 K:θ≠θ0。設有一水平為α 的檢驗，它當樣本X屬於集合A( θ0)時接受H。若集合{θ0∶X∈A(θ0)}是一個區間，則它就是θ的一個置信區間，其置信係數為1-α。就上例而言，對假設H:μ＝μ0的檢驗常用t檢驗：當
時接受μ＝μ0，集合
即為區間
這正是前面定出的μ的置信區間。若要求θ的置信下限（或上限），則取原假設為θ≤θ0（或θ≥θ0），備擇假設為θ＞θ0（或θ＜θ0），按照同樣的方法可得到所要求的置信下（上）限。
還有一種方法是利用大樣本理論（見大樣本統計）。例如，設x1，x2，…，xn為抽自引數為p的二點分佈（見概率分佈）的樣本，當n→∞時，
依分佈收斂（見概率論中的收斂）於標準正態分佈N(0，1)，以 uα/2記N (0，1)的上 α/2 分位數，則有
。所以，
可作為p的一個區間估計，上面的極限值1－α就定義為它的漸近置信係數。
費希爾的信任推斷法
20世紀30年代初期，統計學家R.A.費希爾提出了一種構造區間估計的方法，他稱之為信任推斷法。其基本觀點是：設要作θ的區間估計，在抽樣得到樣本X以前，對θ一無所知，樣本X透露了θ的一些資訊，據此可以對θ取各種值給予各種不同的“信任程度”，而這可用於對θ作區間估計。例如，設X是從正態總體N(θ，1)中抽出的樣本，則
服從標準正態分佈N(0，1)，由此可知，對任何α 即 費希爾把這個等式解釋為：在抽樣以前，對於θ落在區間 內的可能性本來一無所知，通過抽樣，獲得了上述數值，它表達了統計工作者對這個區間的"信任程度"，若取b)=-α=uα/2，則得到區間 ，其信任程度為 1-α。即當用上述區間作為θ的區間估計時，對於“它能包含被估計的θ”這一點可給予信任的程度為1-α。 在本例以及其他某些簡單問題中，用費希爾的方法與用奈曼的方法得出一致的結果。但是，這兩個方法不僅在基本觀點上不一致，而且在較複雜的問題中，所得出的結果也不同。一個著名的例子是所謂的費希爾－貝倫斯問題：設兩個正態分佈 μ1，μ2，σ娝，σ娤都未知，要求μ1-μ2的區間估計。費希爾用他的方法提供了一個與奈曼理論不一致的解法，奈曼在1941年曾對此進行了詳盡的討論。 另外，貝葉斯方法（見貝葉斯統計）也是一個重要的構造區間估計的方法。統計決策理論中引進的一些概念和優良性準則，也可用於區間估計。此外序貫方法(見序貫分析)在區間估計中也有了相當的發展。
區域估計
有時要對兩個或更多的引數θ＝(θ1，θ2，…，θk)(k>1)，例如正態分佈N(μ，σ2)中的μ與σ2，同時進行估計；這時，每當有樣本X，就由X在θ的取值的k維空間Rk內定出一個區域Q(X)，而把θ估計在Q(X)內。這種估計叫做區域估計。所用區域一般為比較簡單的幾何形狀，如長方體、球或橢球等。關於區域估計的置信係數、優良性準則及其求法等，與區間估計情況相似。
容忍限與容忍區間
這是一個與區間估計有密切聯絡的概念，但處理的問題不同。給定β，у，0<β<1，0<у<1，以F記總體分佈。若T(X)為一統計量，滿足條件
，則稱 T(X)為總體分佈F 的上（β，у）容忍限。類似地可定義下(β，у)容忍限。若T1(X)和T2(X)為兩個統計量，T1(X)≤T2(X)，且
，則稱 [T1(X)，T2(X)] 為總體分佈的一個(β，у)容忍區間。例如，X是某產品的質量指標，而F為其分佈，則(β，у)容忍區間[T1(X)，T2(X)]的意義是：至少有1-β的把握斷言“至少有100(1-у)％的產品，其質量指標落在區間[T1(X)，T2(X)]之內”。可以說，容忍區間估計的是總體分佈的概率集中在何處，而非總體分佈引數。
參考書目
J.Neyman， Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability，Philosophical Transactions of the Royɑl Society， Vol. 236， 1937.
陳希孺著，《數理統計引論》，科學出版社，北京，1981。