參宿七
[拼音]：changweifen fangcheng
[外文]：ordinary differential equation
包括一個自變數和它的未知函式以及未知函式的微商的等式。運動著的物體的位置(x，y，z)是隨時間t的變化而變化的。按牛頓運動定律，力等於質量乘加速度，它牽涉到x、y、z對於t的二階微商， 這就可用常微分方程表示。例如，在大地上的自由落體運動，可以用下面的常微分方程來描述：
(1)
式中g是重力加速度，z是鉛直位置。
一般說來，如果y是自變數x的函式，則y的常微分方程可以表達為
(2)
式中F是它所依賴的n+2個變數的函式，n為正整數。由自變數x的n個未知函式y1，y2，…，ym的m個常微分方程
(3)
所形成的一組方程稱為常微分方程組，其中n1，n2，…，nm為非負整數。如果一個常微分方程（組）關於所有未知函式及其各階微商都是線性的，則稱為線性常微分方程（組）；否則，稱為非線性常微分方程（組）。
如果能由(2)解出最高階微商，則得到
(4)
式中ƒ是它所依賴的n+1個自變數的函式。這種就最高階微商解出的微分方程，稱為正規型微分方程；而稱(2)為隱微分方程。任一正規型微分方程(4)與微分方程組
是等價的，因此(4)總可以化成一個與之等價而形如
(5)
的正規型方程組。對於微分方程組(3)，也有上述相似的結果，即任一正規型微分方程組也可化為等價的而形如(5)的正規型方程組。
滿足常微分方程的函式稱為常微分方程的解，也就是說，對方程(2)，如果有函式φ(x)，在x軸的某區間I上有定義，具有從1階到n階的微商
且滿足
對所有x∈I，則稱φ(t)為方程(2)在區間I上的解。常微分方程研究的內容包括解的基本性質（如存在性、惟一性等）、解的解析表示式或近似的解析表示式、解的定性性質（如運動穩定性、週期解的存在性等）以及解的數值解法。
常微分方程的形成和發展是與力學、天文學、物理學及其他自然科學技術的發展互相促進和互相推動的。數學的其他分支的新發展如複變函式、李群、組合拓撲學等都給常微分方程的發展以深刻的影響。當前計算機的發展為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。常微分方程研究的歷史發展大體可分為四個階段：18世紀及其以前；19世紀初期和中期；19世紀末期及20世紀初期，以及20世紀中期以後。
18世紀及其以前是常微分方程產生和發展的第一個階段。質點動力學是這個階段研究的問題的主要來源之一。例如牛頓建立了太陽系行星運動方程
(6)
並求出其通解的顯式解析表示式。這裡t是時間，R(t)=(x(t)，y(t)，z(t))是以太陽為原點的直角座標系中行星的位置，G是萬有引力常數，M是太陽質量。
這個階段主要是求常微分方程的通解，亦即對於方程(2)求含有n個任意常數c1，c2，…，cn的形如
(7)
的解。對於方程組(3)，則要求含有n1+n2+…+nm個任意常數的解組。
這個階段的成果有：G.W.萊布尼茨關於齊次方程和線性方程的通解；雅各布第一·伯努利提出並解決、現命名為伯努利方程的特殊非線性方程
(8)
L.尤拉等得到的常係數線性常微分方程的通解；以及利用變換x＝et將尤拉方程
(9)
化為常係數線性方程。
但是，求顯式通解的可能性十分有限，上述努力經過一段時間便停滯下來。當時若干實際問題又迫切需要解決，例如新興的航海事業需要計算月球的運動，這類問題只能用數值方法近似求解，尤拉折線法便是這一方向的開始工作。到近代電子計算機出現以後，常微分方程的數值解法發展成一個重要的分支。
19世紀初期和中期是數學發展史上的一個轉變時期。數學分析的基礎、群的概念、複變函式的開創等都在這個時期。常微分方程深受這些新概念和新方法的影響，進入了它發展的第二個階段。19世紀初期，A.-L.柯西等人建立了數學分析（又稱分析學）的基礎。無限、極限、連續、可微等等概念得到了精確的意義。柯西也是複變函式論的奠基人之一。將這些概念和方法應用於常微分方程，柯西創造性地將常微分方程的研究由實數域擴充套件到複數域。在方程右方是解析函式的條件下，第一個嚴格地證明了解的存在性和惟一性。他用冪級數展開求解時，研究的是對於特定的初值求相應的解，這有別於第一階段求含有任意常數的通解。這種求解滿足特定的初始條件的常微分方程的問題稱為常微分方程的柯西問題或定解問題，通常又稱為初值問題。
在常微分方程的問題的提法方面，除通解問題和初值問題外，這個階段還出現了由C.-F.斯圖姆及J.劉維爾開創的邊值問題與特徵值問題的研究領域。這類問題最初來源於熱傳導和絃振動等實際問題，並以偏微分方程的邊值及初值問題的形式出現。在利用分離變數法後，變成了常微分方程，但方程中帶有待定的引數，稱為特徵值，這些特徵值要由解必須滿足邊界條件（如弦振動要滿足兩端固定）而定。這類問題以後在彈性力學、量子力學中成為很關鍵的問題。
（J.-）H.龐加萊曾經將代數方程求根的問題（見代數學）和常微分方程求解問題的歷史發展作過對比，這種對比既直觀又富有成果。如：
（1）1824年，N.H.阿貝爾證明五次代數方程沒有一般的用根式求解的公式，從而結束了一般代數方程求根式通解的企圖。類似地，1841年劉維爾證明了下述的黎卡提方程
(10)
有且只有在v為非負整數時才有“初等解”，亦即經過有限次的初等運算求得的顯式解，從而結束了一般常微分方程求通解的企圖。
（2）1832年，E.伽羅瓦創造了群的概念，並將代數方程的根用根式表達的可能性和代數方程的根組成的置換群的可解性相聯絡，得到可能性的充分必要條件是可解性。類似地，1874年M.S.李將群的概念用於常微分方程，引入了將常微分方程的解變為解的連續變換群的概念。當連續變換群已知時，常微分方程的積分因子即可顯式地寫出，從而解決了解的可積性問題。這些工作從正反兩方面將常微分方程的理論提高到一個新的水平。
19世紀末期和20世紀初期是常微分方程發展的第三個階段。這個階段常微分方程在三個方面有重大發展，都與龐加萊的工作相聯絡。
第一是關於常微分方程的解析理論的研究。在柯西之後，重點轉向大範圍的研究。C.A.布里奧和J.-C.布凱由常微分方程出發建立橢圓函式的一般理論，（G.F.）B.黎曼和I.L.富克斯關於線性方程的理論，以及富克斯和龐加萊關於一階非線性方程的理論，最後是龐加萊和（C.）F.克萊因的自守函式理論。形象化地說，如果將橢圓函式看作是環面上的解析函式，則一般的自守函式便可看成是在一般有向二維閉曲面上所定義的解析函式，這些自守函式都可用某種常微分方程來描述。自守函式的研究完整地解決了代數微分的積分問題。
組合拓撲學為微分方程的全域性研究提供了背景。常微分方程和組合拓撲學互相支援，共同前進。
第二是常微分方程實域定性理論的創立。在代數學中，五次代數方程沒有一般的根式求解公式這一事實並不防礙斯圖姆創立用代數方法決定實根個數的新成就。類似地，在非線性方程一般不能求“初等解”的事實下，龐加萊開創了常微分方程實域定性理論這一新分支。它的特點是：由復域的研究又轉到實域的研究，由函式的研究轉到曲線的研究，由個別解的研究轉到解的集體的研究，由解的解析性質的研究轉到解所定義的積分曲線的幾何拓撲性質的定性研究，由應用等式轉到應用不等式。龐加萊將他的論文定名為《論微分方程所定義的積分曲線》是突出了他所研究的主題和應用的方法。
這一新分支的內容包括奇點附近積分曲線的分佈、極限環（即孤立週期解）、奇點的大範圍分佈、環面上的積分曲線、以及三維空間週期解附近積分曲線的情形等等。這些主題後來都得到極大的發展。
高維空間奇點附近積分曲線隨時間發展的定性研究在 1892年被Α.М.李亞普諾夫發展成為一個專門的新分支──運動穩定性。龐加萊在平面上引入的“無切環線”的概念被“李亞普諾夫函式”的概念推廣到高維空間，成為控制理論的有力工具。
極限環，即孤立週期解，已成為許多實際問題的核心，例如在無線電技術中的範德坡方程
(11)
便是非線性方程產生孤立週期振盪的典型例子。
奇點大範圍分佈的研究與組合拓撲學的研究在龐加萊的工作中是雙生的兄弟關係。
環面上的微分方程的研究成為後來迅速發展的流形上的微分方程的研究的最典型的特例。
空間中的解曲線的性質的研究，特別是“三體問題”的研究促使G.D.伯克霍夫於1927年開創了動力系統這一新分支。
第三是攝動理論即小引數理論的創立。由於天體力學，特別是“三體問題”的需要，龐加萊總結了天文學家A.林斯泰特等人的方法，系統地整理在《天體力學的新方法》一書中，並加以發展成為攝動理論。
20世紀中期起，常微分方程的發展既深又廣，進入了一個新的階段，包括了四個方面的工作。
第一是由於工程技術的需要而產生新型問題和新的分支。例如工程控制論中火箭發動機中燃燒過程由於時滯現象而產生的帶有時滯的常微分方程或稱微分差分方程
(12)
這裡
不僅依賴於t時的φ(t)，而且還依賴於(t-τ)時的φ(t-τ)和 μ(t-τ)。這樣便產生了微分差分方程，以及更廣義的泛函微分方程。又如由於空氣中的湍流對於飛行中飛機機翼所引起的干擾對飛機運動的影響，這裡常微分方程帶有隨機攝動項，如
式中x是隨機輸入，α是反饋引數。這類問題產生了常微分方程和概率論之間的一個新分支──隨機微分方程。
第二是由於應用問題需要解析形式的解，雖然明知一般非線性問題得不到精確的解析形式的解，但退而要求給出近似的解析形式的解。這方面包括PLK（龐加萊-萊特希爾-郭永懷）方法、WKB（文策爾-克拉默斯-布里尤安）方法、КБМ（克雷洛夫-博格柳博夫-米特羅波利斯基）方法、多尺度法、匹配法、奇攝動法、區域分析法，等等；以及由於電子計算機的出現而產生的其他近似的解析形式的解的求法。
第三是電子計算機的出現與發展對於常微分方程研究的推動及由此產生的成果。包括常微分方程的數值求解法（如“剛性”方程的求解），常微分方程的數值模擬，（如用於洛侖茨方程的定性研究），常微分方程中若干公式的機器推導(如中心焦點判定公式的機器推導)，等等。常微分方程由解析解難求而轉到定性研究，當定性研究也困難時，又轉而用計算機“強攻”，得出一定的數值模擬結果後，為定性研究提供了感性的新資訊。這方面的發展正在興起。
第四是常微分方程理論本身向高維數、抽象化的方向發展。包括從普通空間常微分方程向抽象空間常微分方程發展，具體動力系統向抽象動力系統發展，實域定性理論向復域定性理論發展，二維平面上的一維積分曲線的研究向四維空間中二維積分曲面的研究發展等等。
中國的常微分方程研究在中華人民共和國建立前只有個別的人從事過，中華人民共和國建立後則由於社會主義建設的需要有了極大的發展，在全國形成若干集體，並取得一批成果。
既有應用方面的需求，又有理論方面的推動，已有三百年曆史的老學科常微分方程正在新的、廣泛深入的領域中得到發展。