生長
[拼音]：feixianxing guihua
[英文]：nonlinear programming
目標函式是非線性函式或約束條件不全是線性等式（或不等式）的一類數學規劃，即在問題
中，若ƒ(尣)為非線性的，或Ω不能用線性（不）等式表出，則此規劃問題就稱為非線性規劃問題。由於問題的這種描述過於廣泛，使得難於得到任何有深刻意義的結果。同時，對於某些特殊型別的Ω（例如Ω中點的座標僅限於取某些整數值），需要特殊的方法去處理因而形成了一些獨立的分支。非線性規劃問題一般取如下的形式：
這裡g(尣)=(g1(尣)，g2(尣)，…，gm(尣))為一給定的m 維向量實函式，g(尣)≤0表示它的所有分量皆不大於0，G為一給定的凸域，在多數情況下，
。Ω={尣∈Rn│g(尣)≤0，尣∈G}稱為問題(P)的約束集，Ω中的點稱為問題的可行解。若Ω＝Rn，則此規劃稱為無約束規劃，否則稱為帶約束規劃。非線性規劃主要包括以下四個方面的內容。
演算法
在ƒ(尣) 和Ω給定時，如何求出一個(或多個)點尣*∈Ω，使得ƒ(尣*)≤ƒ(尣)對所有尣∈Ω成立，是研究非線性規劃的主要目的。因此，尋求能找出此尣*的演算法便成為非線性規劃研究的核心。目前尚未出現可以用來解決所有非線性規劃問題的任何演算法，演算法的研究將是一個長期的課題。一般的演算法都是迭代演算法。除了某些特殊情況之外，求解的過程是一種無限過程，即逐漸逼近於所求的解。為了要判斷一個演算法所產生的點或所產生的極限點是否為所給問題的解，從而導致尋求解的充分必要條件。
充分必要條件
對一般的約束非線性規劃問題：
設函式ƒ、gi、hj都是一階可微函式，
是一可行解。如果梯度
和墷hj(
)(j＝1，2，…，l)線性無關，那麼
是一個區域性極小點的必要條件為：存在u1，u2，…，um和v1，v2，…，vl，滿足條件
這一組條件稱為庫恩－塔克爾條件，又稱為一階必要條件。它是由H.W.庫恩和A.W.塔克爾於1951年提出的。但是在凸性假設下，它又是充分條件。
庫恩－塔克爾條件對於任意一個區域性極小點並不一定成立。約束規格，是指約束條件在區域性極小點處具有使庫恩-塔克爾條件成立的性質。例如上述的“梯度墷gi(
)和墷hj(
)是線性無關 (I∈I，j＝1，2，…，l)”， 就是一種約束規格。此外，還有其他型別的約束規格。若gi，hi都是線性函式，則無需任何約束規格，此時庫恩－塔克爾條件對於任意的區域性極小點都成立。較之庫恩－塔克爾條件為弱的必要條件是弗裡茨·約翰條件，即對於區域性極小點
存在不全為零的數u0、ui和vj，滿足條件
式中ƒ、gi、hj均為一階可微函式。F.約翰在1948年提出這個條件，由於他沒有考慮約束規格，因此他的條件中，主要引數u0可能為零而使此條件失效。
對於不可微的凸規劃，有推廣的庫恩－塔克爾條件。在推廣庫恩-塔克爾條件時需要引入次梯度的概念。設ƒ是Rn中的凸函式，若向量
ξ
滿足
，
，則向量
ξ
稱為凸函式ƒ 在點尣0處的一個次梯度。函式ƒ在尣0處的次梯度不一定是惟一的。若凸函式ƒ在尣0處可微，它在尣0的次梯度即等於它在尣0的梯度墷ƒ(尣0)。對於不可微的凸規劃
式中ƒ和gi都是凸函式。設gi滿足斯雷特約束規格:存在一點尣0，使得gi(尣0)<0，i=1，2，…，m。則可行點
是凸規劃的極小點的充分必要條件是存在數u1，u2，…，um 和ƒ在
處的次梯度
ξ
、gi在
處的次梯度
ξ
i，i=1，2，…，m，滿足條件
i＝1，2，…，m。
對偶問題
是指根據 (P)中的資料建立起來的一個與所給的問題(P)伴隨的問題(P*)。 (P)與(P*)之間有如下的關係：
（1）若(P)是求目標函式ƒ(尣)的極小（大）值，則(P*)是求某一目標函式 l(у)的極大（小）值；
（2）對於(P)與(P*)的可行解尣與у，常有ƒ(尣)≥l(у)(ƒ(尣)≤l(у))；
（3）(P)與(P*)在 x*與у*取最優值的充分必要條件是l(у*)=ƒ(尣*)。
對於所給定的(P)，能滿足上述三種性質的(P*)一般並不是惟一的。因此就存在構造(P*)的不同途徑。目前研究對偶性主要有兩條途徑。
其一是利用拉格朗日乘子。例如線性規劃(P):
已知其對偶問題(P*)是
記
是(P)的拉格朗日函式，則(P，P*)顯然分別等價於以下兩個極值問題
這裡，I(I*)中之min(max)只限於就
（或
）之尣（或у）來取。
一般，令
作(P)的拉格朗日函式
則(P)即等價於
其對偶問題為
更一般言之，設φ(尣，у)為定義在X×Y上的實函式，於此，X吇Rn，Y吇Rm。作
記
則(P)：
與
分別稱為原規劃和對偶規劃。不難證明，若X與Y皆為緊緻凸集，φ(尣，у)在X×Y上為連續，且對於固定的у∈Y(尣∈X)，φ(尣，
y
)為X(Y)上的凸(凹)函式，則上述性質①、②、③皆成立。其二是利用共軛函式。若ƒ(或l)為定義在凸集
C
吇Rn(D吇Rn)上之凸(凹)函式，則稱
為ƒ(或l)的凸(凹)共軛函式。記
，
，則(P):
與
即互為對偶。實際上，性質①與②是顯然成立的。 至於③，則有下面定理：設
C
與D有公共內點，且
為有限，則存在
，使得
。
上述兩條途徑皆得到了深入的發展，特別是R.T.洛卡費勒基於增廣拉格朗日函式發展了一般的對偶理論。
研究對偶理論的目的主要有三：一是某些實際問題，特別是某些經濟問題，其中所出現的某些現象用對偶理論容易得到解釋;二是可以利用它來幫助求解原問題;三是判定原問題是否有解。例如，有時(P*)比(P)容易得到解決，利用性質③即可得出ƒ(尣)的極值；性質②有助於求ƒ(尣)的下界。這一點在分枝定界法中常用到。對偶問題的出現是相當普遍的。數學規劃中的許多分支，例如整數規劃，引數規劃、模糊規劃等皆有類似的問題和不同深度的處理。
穩定性
一個數學規劃問題
已經給定，意即ƒ(尣)和Ω已經用某種關係和資料具體表出。所謂穩定性，是指當這些資料作微小變動時問題的解所受到的影響的程度。關於這類問題的研究也稱為靈敏度研究。引數規劃就是這類問題的一個擴充。
形如
的規劃稱為引數規劃，式中的
是引數。對於一個給定的z∈Z，就得出一個具體的數學規劃。引數規劃的研究目的之一，就是要在Z中求出一個子集 Z┡，使得Op(z)對所有的z∈Z┡具有某種給定的性質。例如要在Z中求出使得Ω(z)非空的z所成之集，使得Op(z)為可解的z所成之集（即存在尣*∈Ω(z)，使得ƒ(尣*，z)=Op(z))，以及使得Op(z)的解集是具有某種共同給定的結構的z所成之集，等等。求解引數規劃Op(z)(z∈Z)是指尋求Z 中的一個子集，對於其中的z，Op(z)成為一個關於某種性質是不變的數學規劃問題。引數規劃的研究內容主要包括以下幾個方面：解的穩定性問題；解對於初始資料的依存關係；初始資料依某種方式具有不確定性的問題（例如，某些量只知其屬於某一區間、某些量是隨機變數，等等）;在一類數學規劃問題中，尋求其中容易解決者；尋求可以用來處理和衡量其他最優化問題的輔助手段；研究某些問題類的一般性質，並發展一般性的方法，等等。
非線性規劃是極值理論的一部分。早在17世紀P.de費馬提出如下的問題：對於平面上給定的三點，要作一點使其與這三點的距離之和為最小。它的對偶問題：過所給三點作一最大的等邊三角形，也早在18世紀初即已提出，並證明了這兩問題之間存在對偶關係。
對具有等式約束的非線性規劃的解應滿足的必要條件的研究，可上溯到L.尤拉和J.-L.拉格朗日時代。W.卡魯什在1939年開始了對具有不等式約束的非線性規劃的類似問題的研究，但由於他的工作沒有正式發表，同時由於當時計算機尚未出現，數學規劃不能在生產實際中產生影響，這項工作便湮沒無聞。非線性規劃的發展是由於線性規劃的出現而引起的。1951年H.W.庫恩和A.W.塔克爾的研究工作，雖是重複了W.卡魯什的結果，但可以看作是非線性規劃理論工作的先驅。這組條件更合適的名稱應該是卡魯什-庫恩-塔克爾條件。
參考書目
M.阿弗里耳著，李元熹等譯：《非線性規劃──分析與方法》，上海科學技術出版社，上海，1979。(M.Avriel，Nonlinear Programming-Analysis and Methods， Prentice-Hall，Englewood Ciffs，New Jersey，1976.)