高二數學第一學期期末模擬試題

  數學練習題是所有考生最大的需求點,只有這樣才能保證答題的準確率和效率,以下是小編為您整理的關於的相關資料,供您閱讀。

  

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每個小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求的.

  1.如果a>b>0,那麼下列不等式成立的是***  ***

  A.a2>ab B.ab D. >

  2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是***  ***

  A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0

  C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0

  3.在等差數列{an}中,a5=5,a10=15,則a15=***  ***

  A.20 B.25 C.45 D.75

  4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,則b=***  ***

  A. B. C. D.

  5.函式y=lnx+x在點***1,1***處的切線方程是***  ***

  A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0

  6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的***  ***

  A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

  C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

  7.函式f***x***的定義域為R,其導函式f′***x***的圖象如圖,則f***x***的極值點有***  ***

  A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

  8.已知數列{an}是遞增的等比數列,a1+a5=17,a2a4=16,則公比q=***  ***

  A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

  9.經過點***3,﹣ ***的雙曲線 ﹣ =1,其一條漸近線方程為y= x,該雙曲線的焦距為***  ***

  A. B.2 C.2 D.4

  10.若函式f***x***=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為***  ***

  A.4 B.9 C.18 D.81

  11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值是***  ***

  A. B. C. D.

  12.設橢圓 + =1***a>b>0***的左、右焦點分別為F1、F2,P是橢圓上一點,|PF1|=λ|PF2|*** ≤λ≤2***,∠F1PF2= ,則橢圓離心率的取值範圍為***  ***

  A.***0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1***

  二、填空題:本大題共4個小題,每小題5分.、共20分.

  13.已知 =***2,3,1***, =***x,y,2***,若 ∥ ,則x+y=      .

  14.若變數x,y滿足約束條件 ,則z=x﹣2y的最小值為      .

  15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行,經過1小時後在觀測點P測得輪船位於北偏東60°方向B處,又經過t小時發現該輪船在北偏東45°方向C處,則t=      .

  16.對於正整數n,設曲線y=xn***2﹣x***在x=2處的切線與y軸交點的縱座標為an,則數列{an}的前n項和為Sn=      .

  三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.已知等差數列{an},公差為2,的前n項和為Sn,且a1,S2,S4成等比數列,

  ***1***求數列{an}的通項公式;

  ***2***設bn= ***n∈N****,求數列{bn}的前n項和Tn.

  18.△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知***a+c***2﹣b2=3ac

  ***1***求角B;

  ***2***當b=6,sinC=2sinA時,求△ABC的面積.

  19.已知拋物線C:y2=2px***p>0***的焦點為F,C上一點***3,m***到焦點的距離為5.

  ***1***求C的方程;

  ***2***過F作直線l,交C於A、B兩點,若線段AB中點的縱座標為﹣1,求直線l的方程.

  20.如圖,在多面體ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F為BC的中點.

  ***Ⅰ***求證:AF⊥BD;

  ***Ⅱ***求二面角A﹣BE﹣D的餘弦值.

  21.已知函式f***x***=ax2+bx在x=1處取得極值2.

  ***Ⅰ***求f***x***的解析式;

  ***Ⅱ***若***m+3***x﹣x2ex+2x2≤f***x***對於任意的x∈***0,+∞***成立,求實數m的取值範圍.

  22.曲線C上的動點M到定點F***1,0***的距離和它到定直線x=3的距離之比是1: .

  ***Ⅰ***求曲線C的方程;

  ***Ⅱ***過點F***1,0***的直線l與C交於A,B兩點,當△ABO面積為 時,求直線l的方程.

  參考答案與試題解析

  一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每個小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求的.

  1.如果a>b>0,那麼下列不等式成立的是***  ***

  A.a2>ab B.ab D. >

  【分析】利用不等式的基本性質即可判斷出結論.

  【解答】解:∵a>b>0,

  ∴a2>ab,ab>b2, ,b2

  故選:A.

  【點評】本題考查了不等式的基本性質,考查了推理能力與計算能力,屬於基礎題.

  2.“∀x∈R,x2﹣2>0”的否定是***  ***

  A.∀x∈R,x2﹣2<0 B.∀x∈R,x2﹣2≤0

  C.∃x0∈R,x ﹣2<0 D.∃x0∈R,x ﹣2≤0

  【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題進行判斷即可.

  【解答】解:命題是全稱命題,則命題的否定是特稱命題,

  即∃x0∈R,x ﹣2≤0,

  故選:D.

  【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定,比較基礎.

  3.在等差數列{an}中,a5=5,a10=15,則a15=***  ***

  A.20 B.25 C.45 D.75

  【分析】利用等差數列的通項公式列出方程組,求出首項和公差,由此能求出數列的第15項.

  【解答】解:∵在等差數列{an}中,a5=5,a10=15,

  ∴ ,

  解得a1=﹣3,d=2,

  ∴a15=﹣3+14×2=25.

  故選:B.

  【點評】本題考查等差數列的第15項的求法,是基礎題,解題時要認真審題,注意等差數列的性質的合理運用.

  4.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,a=3,A=45°,B=60°,則b=***  ***

  A. B. C. D.

  【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.

  【解答】解:∵a=3,A=45°,B=60°,

  ∴由正弦定理可得:b= = = .

  故選:B.

  【點評】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用,屬於基礎題.

  5.函式y=lnx+x在點***1,1***處的切線方程是***  ***

  A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0

  【分析】求函式的導數,利用導數的幾何意義進行求解即可.

  【解答】解:函式的導數為f′***x***= +1,

  則f′***1***=1+1=2,

  即切線斜率k=2,

  則函式y=lnx+x在點***1,1***處的切線方程是y﹣1=2***x﹣1***,

  即2x﹣y﹣1=0,

  故選:A.

  【點評】本題主要考查函式的切線的求解,求函式的導數,利用導數的幾何意義求出切線斜率是解決本題的關鍵.

  6.“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的***  ***

  A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

  C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

  【分析】x2+x+m=0無實根⇔△<0,即可判斷出結論.

  【解答】解:x2+x+m=0無實根⇔△=1﹣4m<0,⇔m .

  ∴“m>0”是“x2+x+m=0無實根”的必要不充分條件,

  故選:B.

  【點評】本題考查了一元二次方程的實數根與判別式的關係、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計算能力,屬於中檔題.

  7.函式f***x***的定義域為R,其導函式f′***x***的圖象如圖,則f***x***的極值點有***  ***

  A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

  【分析】結合圖象,根據導數大於零,即導函式的圖象在x軸上方,說明原函式在該區間上是單調遞增,否則為減函式,極大值點兩側導數的符號,從左往右,符號相反,因此根據圖象即可求得極值點的個數,

  【解答】解:結合函式圖象,根據極值的定義可知在該點處從左向右導數符號相反,

  從圖象上可看出符合條件的有3點,

  故選:A.

  【點評】本題主要考查函式在某點取得極值的條件,以及學生的識圖能力.屬於基礎題.

  8.已知數列{an}是遞增的等比數列,a1+a5=17,a2a4=16,則公比q=***  ***

  A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

  【分析】設等比數列{an}是公比為q的遞增的等比數列,運用等比數列的性質,求得a1=1,a5=16,再由等比數列的通項公式求得公比即可.

  【解答】解:設等比數列{an}是公比為q的遞增的等比數列,

  由a2a4=16,可得a1a5=16,

  又a1+a5=17,解得 或 ***不合題意,捨去***,

  即有q4=16,解得q=2***負的捨去***.

  故選:D.

  【點評】本題考查等比數列的通項公式的運用,是基礎題.

  9.經過點***3,﹣ ***的雙曲線 ﹣ =1,其一條漸近線方程為y= x,該雙曲線的焦距為***  ***

  A. B.2 C.2 D.4

  【分析】將點***3,﹣ ***代入雙曲線的方程,由漸近線方程可得 = ,解得a,b,可得c=2,進而得到焦距2c=4.

  【解答】解:點***3,﹣ ***在雙曲線 ﹣ =1上,可得

  ﹣ =1,

  又漸近線方程為y=± x,一條漸近線方程為y= x,

  可得 = ,

  解得a= ,b=1,

  可得c= =2,

  即有焦距為2c=4.

  故選:D.

  【點評】本題考查雙曲線的焦距的求法,注意運用點滿足雙曲線的方程和漸近線方程的運用,考查運算能力,屬於基礎題.

  10.若函式f***x***=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1處有極值,則9a+3b的最小值為***  ***

  A.4 B.9 C.18 D.81

  【分析】求出函式的導數,得到2a+b=4,根據基本不等式的性質求出代數式的最小值即可.

  【解答】解:f′***x***=4x3﹣2ax﹣b,

  若f***x***在x=1處有極值,

  則f′***x***=4﹣2a﹣b=0,

  ∴2a+b=4,

  ∴9a+3b=32a+3b≥2 =18,

  當且僅當9a=3b時“=”成立,

  故選:C.

  【點評】本題考查了導數的應用,考查基本不等式的性質,是一道基礎題.

  11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值是***  ***

  A. B. C. D.

  【分析】以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角座標系,利用向量法能求出直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值.

  【解答】解:以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角座標系,

  設正方體ABCD﹣A1B1C1D1中稜長為1,

  則D***0,0,0***,C1***0,1,1***,A1***1,0,1***,B***1,1,0***,

  =***0,1,1***, =***1,0,1***, =***1,1,0***,

  設平面A1BD的法向量 =***x,y,z***,

  則 ,取x=1,得 =***1,﹣1,﹣1***,

  設直線DC1與平面A1BD所成角為θ,

  則sinθ= = = ,

  ∴cosθ= = .

  ∴直線DC1與平面A1BD所成角的餘弦值為 .

  故選:C.

  【點評】本題考查直線與平面所成角的餘弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

  12.設橢圓 + =1***a>b>0***的左、右焦點分別為F1、F2,P是橢圓上一點,|PF1|=λ|PF2|*** ≤λ≤2***,∠F1PF2= ,則橢圓離心率的取值範圍為***  ***

  A.***0, ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ ,1***

  【分析】設F1***﹣c,0***,F2***c,0***,運用橢圓的定義和勾股定理,求得e2= ,令m=λ+1,可得λ=m﹣1,即有 = =2*** ﹣ ***2+ ,運用二次函式的最值的求法,解不等式可得所求範圍.

  【解答】解:設F1***﹣c,0***,F2***c,0***,由橢圓的定義可得,|PF1|+|PF2|=2a,

  可設|PF2|=t,可得|PF1|=λt,

  即有***λ+1***t=2a①

  由∠F1PF2= ,可得|PF1|2+|PF2|2=4c2,

  即為***λ2+1***t2=4c2,②

  由②÷①2,可得e2= ,

  令m=λ+1,可得λ=m﹣1,

  即有 = =2*** ﹣ ***2+ ,

  由 ≤λ≤2,可得 ≤m≤3,即 ≤ ≤ ,

  則m=2時,取得最小值 ;m= 或3時,取得最大值 .

  即有 ≤e2≤ ,解得 ≤e≤ .

  故選:B.

  【點評】本題考查橢圓的定義、方程和性質,主要考查離心率的範圍,同時考查不等式的解法,屬於中檔題.

  二、填空題:本大題共4個小題,每小題5分.、共20分.

  13.已知 =***2,3,1***, =***x,y,2***,若 ∥ ,則x+y= 10 .

  【分析】根據向量的共線定理,列出方程組求出x、y的值,再計算x+y的值.

  【解答】解:∵ =***2,3,1***, =***x,y,2***,且 ∥ ,

  ∴ = = ,

  解得x=4,y=6;

  ∴x+y=10.

  故答案為:10.

  【點評】本題考查了空間向量的座標運算與共線定理的應用問題,是基礎題.

  14.若變數x,y滿足約束條件 ,則z=x﹣2y的最小值為 ﹣2 .

  【分析】作出可行域,變形目標函式,平移直線y= x可得結論.

  【解答】解:作出約束條件 所對應的可行域***如圖△ABC***,

  變形目標函式可得y= x﹣ z,平移直線y= x可知,

  當直線經過點A*** , ***時,直線的截距最大,z取最小值﹣2,

  故答案為:﹣2.

  【點評】本題考查簡單線性規劃,準確作圖是解決問題的關鍵,屬中檔題.

  15.已知在觀測點P處測得在正東方向A處一輪船正在沿正北方向勻速航行,經過1小時後在觀測點P測得輪船位於北偏東60°方向B處,又經過t小時發現該輪船在北偏東45°方向C處,則t=   .

  【分析】設輪船的速度為v,求出BC,即可得出結論.

  【解答】解:設輪船的速度為v,則AB=v,PA=AC= v,

  ∴BC=*** ﹣1***v,

  ∴t= = .

  故答案為: .

  【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題,考查學生分析解決問題的能力,屬於基礎題.

  16.對於正整數n,設曲線y=xn***2﹣x***在x=2處的切線與y軸交點的縱座標為an,則數列{an}的前n項和為Sn= 2n+2﹣4 .

  【分析】利用導數的幾何意義求出切線方程為y=﹣2n***x﹣2***,從而得到an=2n+1,利用等比數列的求和公式能求出Sn.

  【解答】解:∵y=xn***2﹣x***,∴y'=2nxn﹣1﹣***n+1***xn,

  ∴曲線y=xn***2﹣x***在x=2處的切線的斜率為k=n2n﹣***n+1***2n=﹣2n,

  切點為***2,0***,

  ∴切線方程為y=﹣2n***x﹣2***,

  令x=0得an=2n+1,

  ∴Sn= =2n+2﹣4,

  故答案為:2n+2﹣4.

  【點評】考查學生利用導數研究曲線上某點切線方程的能力,以及利用等比數列的求和公式進行數列求和的能力.

  三、解答題:本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

  17.已知等差數列{an},公差為2,的前n項和為Sn,且a1,S2,S4成等比數列,

  ***1***求數列{an}的通項公式;

  ***2***設bn= ***n∈N****,求數列{bn}的前n項和Tn.

  【分析】***1******由a1,S2,S4成等比數列得 .化簡解得a1,再利用等差數列的通項公式即可得出;

  ***2***利用“裂項求和”即可得出.

  【解答】解:***1******由a1,S2,S4成等比數列得 .

  化簡得 ,又d=2,解得a1=1,

  故數列{an}的通項公式 …

  ***2***∵ ∴由***1***得 ,

  ∴ = ….

  【點評】本題考查了等差數列的通項公式、“裂項求和”方法,考查了推理能力與計算能力,屬於中檔題.

  18.△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知***a+c***2﹣b2=3ac

  ***1***求角B;

  ***2***當b=6,sinC=2sinA時,求△ABC的面積.

  【分析】***1***由余弦定理變形已知式子可得cosB的值,可得B值;

  ***2***由題意和正弦定理可得c=2a,代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值,可得三角形為直角三角形,由面積公式可得.

  【解答】解:***1***∵***a+c***2﹣b2=3ac,∴b2=a2﹣ac+c2,

  ∴ac=a2+c2﹣b2,∴

  ∵B∈***0,π***,∴ ;

  ***2***∵sinC=2sinA,∴由正弦定理可得c=2a,

  代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2,

  解得 , ,滿足a2+b2=c2,

  ∴△ABC為直角三角形,

  ∴△ABC的面積S= ×2 ×6=6 .

  【點評】本題考查正餘弦定理解三角形,涉及三角形的面積公式,屬基礎題.

  19.已知拋物線C:y2=2px***p>0***的焦點為F,C上一點***3,m***到焦點的距離為5.

  ***1***求C的方程;

  ***2***過F作直線l,交C於A、B兩點,若線段AB中點的縱座標為﹣1,求直線l的方程.

  【分析】***1***利用拋物線的定義,求出p,即可求C的方程;

  ***2***利用點差法求出直線l的斜率,即可求直線l的方程.

  【解答】解:***1***拋物線C:y2=2px***p>0***的準線方程為 ,

  由拋物線的定義可知

  解得p=4

  ∴C的方程為y2=8x.

  ***2***由***1***得拋物線C的方程為y2=8x,焦點F***2,0***

  設A,B兩點的座標分別為A***x1,y1***,B***x2,y2***,

  則

  兩式相減.整理得

  ∵線段AB中點的縱座標為﹣1

  ∴直線l的斜率

  直線l的方程為y﹣0=﹣4***x﹣2***即4x+y﹣8=0

  【點評】本題考查拋物線的定義與方程,考查點差法的運用,考查學生分析解決問題的能力,屬於中檔題.

  20.如圖,在多面體ABCDE中,∠BAC=90°,AB=AC=2,CD=2AE=2,AE∥CD,且AE⊥底面ABC,F為BC的中點.

  ***Ⅰ***求證:AF⊥BD;

  ***Ⅱ***求二面角A﹣BE﹣D的餘弦值.

  【分析】***1***推匯出AF⊥BC,從而AF⊥DC,進而AF⊥面BCD,由此能證明AF⊥BD.

  ***2***以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AE為z軸,建立空間直角座標系,利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的餘弦值.

  【解答】證明:***1***∵AB=AC,F為BC的中點,

  ∴AF⊥BC,又AE∥CD,且AE⊥底面ABC,AF⊂底面ABC,

  ∴AF⊥DC,又BC∩DC=C,且BC、DC⊂面BCD,

  ∴AF⊥面BCD,又BD⊂面BCD,∴AF⊥BD.…

  解:***2***以A為原點,AB為x軸,AC為y軸,AE為z軸,建立空間直角座標系如圖,

  ∴B***2,0,0***,D***0,2,2***,E***0,0,1***,

  , ,

  設面BED的一個法向量為 ,

  則 ,令z=2得x=1,y=﹣1,∴ ,

  又面ABE的一個法向量為 ,

  ∴ ,

  ∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是銳角,

  ∴二面角A﹣BE﹣D的餘弦值為 .…

  【點評】本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的餘弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

  21.已知函式f***x***=ax2+bx在x=1處取得極值2.

  ***Ⅰ***求f***x***的解析式;

  ***Ⅱ***若***m+3***x﹣x2ex+2x2≤f***x***對於任意的x∈***0,+∞***成立,求實數m的取值範圍.

  【分析】***Ⅰ***根據極值的定義得到關於a,b的方程組,求出a,b的值,從而求出f***x***的表示式;

  ***Ⅱ***問題等價於m≤xex﹣x2﹣2x於任意的x∈***0,+∞***成立,設h***x***=xex﹣x2﹣2x,根據函式的單調性求出m的範圍即可.

  【解答】解:***Ⅰ***∵函式f***x***=ax3+bx在x=1處取得極值2,

  ∴ ,解得 ,

  ∴f***x***=﹣x3+3x…

  ***Ⅱ***∵***m+3***x﹣x2ex+2x2≤f***x***對於任意的x∈***0,+∞***成立,

  ∴***m+3***x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x

  ⇔m≤xex﹣x2﹣2x於任意的x∈***0,+∞***成立

  設h***x***=xex﹣x2﹣2x,

  則h′***x***=ex+xex﹣2x﹣2=***x+1******ex﹣2***,

  令h′***x***=0解得x=ln2,

  且當0

  當x>ln2時,h′***x***>0,

  ∴h***x***=xex﹣x2﹣2x在***0,ln2***上單調遞減,在***ln2,+∞***上單調遞增,

  ∴ ,

  ∴m≤﹣***ln2***2.

  【點評】本題考查了函式的單調性、極值、最值問題,考查導數的應用以及函式恆成立問題,是一道中檔題.

  22.曲線C上的動點M到定點F***1,0***的距離和它到定直線x=3的距離之比是1: .

  ***Ⅰ***求曲線C的方程;

  ***Ⅱ***過點F***1,0***的直線l與C交於A,B兩點,當△ABO面積為 時,求直線l的方程.

  【分析】***Ⅰ***設M***x,y***,運用兩點的距離公式和點到直線的距離公式,化簡整理即可得到所求方程;

  ***Ⅱ***當l斜率不存在時,l方程為x=1,求得A,B的座標,以及△ABO的面積;由直線l斜率存在,設l方程為y=k***x﹣1***,代入橢圓方程,運用韋達定理和絃長公式,以及點到直線的距離公式,解方程可得斜率k,進而得到所求直線的方程.

  【解答】解:***Ⅰ***設M***x,y***

  由題意可得, ,

  整理得 ,

  則曲線C的方程為 ;

  ***Ⅱ***當l斜率不存在時,l方程為x=1,

  此時l與C的交點分別為 , ,

  即有 ,

  則 ,

  由直線l斜率存在,設l方程為y=k***x﹣1***,

  由 ,

  得 , ,

  ∴ .

  設O到l的距離為d,則 ,

  ∴ ,

  解得k=±1.

  綜上所述,當△ABO面積為 時,l的方程為y=x﹣1或y=﹣x+1.

  【點評】本題考查軌跡方程的求法,注意運用座標法,考查直線方程和橢圓方程聯立,運用韋達定理和絃長公式,考查運算能力,屬於中檔題.