有關抽象函式的全面探析

摘要：抽象函式是函式中的一類綜合性較強的問題。這類問題不僅能考查學生的數學基礎知識，更能考查學生的數學綜合能力。 
關鍵詞：抽象函式；定義域；值域；對稱性 
        抽象函式是一種重要的數學概念。我們把沒有給出具體解析式，其一般形式為y=f***x***，且無法用數字和字母的函式稱為抽象函式。由於抽象函式的問題通常將函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、週期性和影象集於一身。這類問題考查學生對數學符號語言的理解和接受能力、對一般和特殊關係的認識以及數學的綜合能力。
　　解決抽象函式的問題要求學生基礎知識紮實、抽象思維能力、綜合應用數學能力較高。所以近幾年來高考題中不斷出現，在2009年的全國各地高考試題中，抽象函式遍地開花。但學生在解決這類問題時常常感到束手無策、力不從心。下面通過例題全面探討抽象函式主要考查的內容及其解法。 

　　一、抽象函式的定義域 
　　例1已知函式f***x***的定義域為[1,3]，求出函式g***x***=f***x+a***+f***x-a*** （a＞0）的定義域。 
　　解析：由由a＞0 
        知只有當0＜a＜1時，不等式組才有解，具體為{x|1+a＜x≤3-a；否則不等式組的解集為空集，這說明當且僅當0＜a＜1時，g***x***才能是x的函式，且其定義域為（1+a,3-a]。 
        點評：1.已知f***x***的定義域為[a,b]，則f[g***x***]的定義域由a≤g***x***≤b，解出x即可得解；2.已知f[g***x***]的定義域為[a,b]，則f***x***的定義域即是g***x***在x[a,b]上的值域。 
　　二、抽象函式的值域 
　　解決抽象函式的值域問題——由定義域與對應法則決定。 
　　例2若函式y=f***x+1***的值域為[-1，1]求y=***3x+2***的值域。 
　　解析：因為函式y=f***3x+2***中的定義域與對應法則與函式y=f***x+1***的定義域與對應法則完全相同，故函式y=f***3x+2***的值域也為[-1，1]。 
　　三、抽象函式的奇偶性 
　　四、抽象函式的對稱性 
        例3已知函式y=f***2x+1***是定義在R上的奇函式，函式y=g***x***的影象與函式y=f***x***的影象關於y=x對稱,則g***x***+ g***-x***的值為（   ） 
　　A、 2    B、 0     C、  1     D、不能確定 
　　解析：由y=f***2x+1***求得其反函式為y=，∵ y=f***2x+1*** 是奇函式，∴y=也是奇函式，∴。∴ ， ，而函式y=g***x***的影象與函式y=f***x***的影象關於y=x對稱，∴g***x***+ g***-x***=故選A 。 
        五、抽象函式的週期性 
　　例4、（2009全國卷Ⅰ理）函式的定義域為R，若與都是奇函式，則***    ***          
　　***A*** 是偶函式         ***B*** 是奇函式   
　　***C***           ***D*** 是奇函式 
        解: ∵與都是奇函式，， 
        函式關於點，及點對稱，函式是週期的周期函式.，，即是奇函式。故選D 
        定理1.若函式y=f ***x*** 定義域為R，且滿足條件f ***x＋a***=f ***x－b***，則y=f ***x*** 是以T=a＋b為週期的周期函式。 
        定理2.若函式y=f ***x*** 定義域為R，且滿足條件f ***x＋a***= －f ***x－b***，則y=f ***x*** 是以T=2（a＋b）為週期的周期函式。 
        定理3.若函式y=f ***x***的影象關於直線 x=a與 x=b  （a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以T=2***b－a***為週期的周期函式。

定理4.若函式y=f ***x***的影象關於點（a,0***與點***b,0*** , ***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以 T=2***b－a***為週期的周期函式。 
        定理5.若函式y=f ***x***的影象關於直線 x=a與 點***b,0***,***a≠b***對稱，則y=f ***x*** 是以 T=4***b－a***為週期的周期函式。 
        性質1：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x***及f***b－x***=f***b＋x*** ***a≠b,ab≠0***,則函式f***x***有周期2***a－b***； 
        性質2：若函式f***x***滿足f***a－x***= － f***a＋x***及f***b－x***=－ f***b＋x***，***a≠b,ab≠0***,則函式有周期2***a－b***. 
        特別：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x*** （a≠0）且f***x***是偶函式，則函式f***x***有周期2a. 
        性質3：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x***及f***b－x***= － f***b＋x*** ***a≠b,ab≠0***， 則函式有周期4***a－b***. 
        特別：若函式f***x***滿足f***a－x***=f***a＋x*** （a≠0）且f***x***是奇函式，則函式f***x***有周期4a。 
        從以上例題可以發現，抽象函式的考查範圍很廣，能力要求較高。但只要對函式的基本性質熟，掌握上述有關的結論和型別題相應的解法，則會得心應手。 

參考文獻： 
[1]陳誠.抽象函式問題分類解析[J].數理化學習·，2008***8***.