數學語言教學
摘要：數學語言具有科學性、簡潔性、相通性，所以，數學語言是一種特殊的語言。對數學語言的研究必將對數學本身及數學教育的發展，乃至對人類文明都會起到積極的促進作用。
關鍵詞：數學符號 數學語言 科學 簡潔 相通
我們天天接觸數學，但是很少有人對數學語言進行專門系統的研究。譬如數學語言的產生、發展和形成；數學語言與一般語言有哪些不同，具有哪些特殊性；數學語言在促進人類文明的過程中所起的作用；如何學好數學語言等等。從而使數學語言象漢語語言學那樣成為一門獨特的語言學科——數學語言學。本文只研究數學語言的特殊性。這種特殊性更多地是與一般語言（漢語語言）進行比較而言的。下面只從數學符號的科學性、數學語言的簡潔性、數學語言的相通性三個方面進行探討。
1、數學符號的科學性
數學符號是數學文字的主要形式，它是構成數學語言的基本成份。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，這十個符號是全世界普遍採用的，它們表示了全部的數，書寫、運算都十分方便。這10個符號常被稱為阿拉伯數字，實際上卻是印度人創造的，只是經過阿拉伯傳到歐洲。這是印度對人類文明的一項重大貢獻，這一貢獻的意義也可能是今天的人們不易覺察的。但是，18世紀一位法國著名數學家曾說過：“用不多的記號表示全部的數的思想，賦予它的除了形式上的意義外，還有位置上的意義，它之如此絕妙非常，正是由於這種簡易得難以估量。”
關於“位置上的意義”，指的是數字的進位表達。比如說724，它實際上是7×100+2×10+4，可是它只需簡寫成724就明白了。此外還有空位的問題，假若有個數字是7×1000+2×100+4，那該怎麼寫呢？現在我們是很容易回答了，不就寫為7204嗎？可是，在最初的數字符號系統中是沒有0這個符號的。有的用一個點來表示：72•4有的用一個方格來表示；有的乾脆就拉開一點寫，表示空一位；……但這些寫法的不準確、不方便是顯而易見的。直到使用了
0這個符號，問題才得以解決。而0這個符號比其他符號的出現晚了好幾百年。如果年看72004這個數字，我們能更清楚地體會到0這個符號的特殊意義。
數學符號有許多種，除了前面提到的數字符號外，還有代數的符號，通常用英文字母或希臘字母表示。在笛卡兒時代，以英文字母的開頭幾個表示已知數，如a、b、c、…，以英文字母的最後幾個代表未知數，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常數，以x、y、z代表變數。現在，這已不是固定的了，在某種約定之下，a、b、c、…也可代表未知數，也可以表變數，x、y、z也可以代表已知數，也可以代表常數。還有一些特殊的常數，如π,e。還有另一些表現數量的符號，往往是其他型別符號的組合。
數字研究的物件已不只限於數，還研究形，△表示三角形，□表示四邊形，⊙表示圓。
數學研究的最一般物件是集合，而表示集合的符號常常用英文字母的斜體，如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符號表示，例如，用N表示自然數集，而實數集則用R表示，N與nature***自然***一詞有關，R與real（實的）有關。特定的集合組成空間，空間有時用S表示，S與space***空間***一詞有關，但也用其他字母表示空間。這些符號的運用使得數學語言變得簡練。
還有一類符號是表示關係的，通過種種關係起聯結作用。常用的如等號=，近似等號≈，全等號≌或≡。還有不等號≠，＜，＞，<<。∥表示平行關係，⊥表示垂直關係， 與 表示元素與集合之間的關係， 表示集合與集合之間的關係， 表示蘊涵關係等等。
還有一大類是關於運算的符號。+，－，×，÷是四則運算子號。 是開方運算子號，sin, cos, tan是三角運算子號，lim是極限運算子號，d，是微積分運算子號。 表示若干項乃至無窮項求和， 表示連乘（若干因子或無窮個因子），！表示階乘， , 是集合論中的運算子號。對映是比運算更普遍的概念，f，g，h等常被運用作對映符號。
微積分是英國人牛頓和德國人萊布尼茨彼此獨立發現的，牛頓和萊布尼茨使用的微分符號卻是不同的。牛頓創立了微分符號，比如說 的微分用表示，可是牛頓的這一符號對於高階微分並不方便，並且不宜於表現微分與積分的關係，因而實質上並不十分科學。相比之下，萊布尼茨的符號在這兩方面都比牛頓的符號更加科學合理，它反映了事物最內在的本質，減輕了想象的任務。諸如這樣的優美的式子，是在萊布尼茨符號下才能出現的。而英國人卻以牛頓為自豪，這是無可厚非的，但是，由於他們長時間固守牛頓的符號，使英國數學的發展受到了嚴重的損害。
所以，數學符號的科學性直接影響著數學語言的質量，影響著數學及數學教育的發展。
2、數學語言的簡潔性
數學語言非常簡潔精確，它具有獨特的價值，它是科學語言的基礎。
從巨集觀來說，人們常以“成千上萬”來研究多，再多就是“百萬”、“千萬”了，更多則是“億萬”。可是，數學能作出更簡潔也更明確、更有力的表示，比如說，1025、286243這樣巨大的數字，一般語言就說不太清楚了。
從微觀來說，日常語言之中，“失之毫釐，廖以千里”，用一毫一釐來形容微小，還有形容體積之小的，時間之短的，距離之近的。但是，沒有比10-15，10-45這樣一些表達更能說明問題，它也更簡潔、更明瞭。
[a, b]僅由a、b、[ ]這三個數學符號表出，但如果比用一般語言描述就成為“大於或等於a，小於或等於b的一切實數的集合。”除去標點還得需要20個符號，其中18個漢字。
若對任何 使得對任何n,m>N，有 ，則數列 有極限。這是著名的柯西判別準則。如果要用一般語言是無論如何也表示不清的，
作為有理數、無理數、代數數、超越數、實數、虛數之間關係之一的式子 ，是各種數的大統一。用數學語言來表達是這樣的簡潔、明晰。
數學語言有其獨特之處，有其獨特的價值，它不僅是普通語言無法替代的，而且它構成了科學語言的基礎。越來越多的科學門類用數學語言表述自己，這不僅是因為數學語言的簡潔，而且是因為數學語言的精確及其思想的普遍性與深刻性。
我們看看下面幾個式子，就能明白物理學是如何用數學語言來表述的。
F=0
F=
F=
第一、二兩個式子分別表達的是牛頓第一定律和第二定律，第三個式子說的是萬有引力定律。
慣性定律說的是，在沒有外力的條件下，物體保持原有的運動（或靜止）狀態，然而簡潔的數學式F=0 （C是常數）表達了定律的實質。
第二定律說的是，力與質量和加速成正比，數學式子F= 表達了這一點。當質量是常數的時候，式子可寫為F= ，又可用a表示加速度，因此牛頓第二定律又可以表示為人所共知的形式F=ma。
萬有引力定律說的是，任何兩個物體之間都有引力存在，其大小與兩物體質量之積成正比，與距離的平方成反比，式子F= 又是多麼有力地刻畫了這一思想。
3、數學語言的通用性
數學語言與一般語言相比，它具有無民族性、無區域性，它世界上唯一的通用語言。
數學語言是人類語言的組成部分，它與一般語言是相通的，而且可以說是以一般語言為基礎的。一般語言掌握得如何，直接會影響數學語言的學習。但是，一般語言學得很好的人也不一定能掌握好數學語言，它們畢竟有差別。
一般語言具有民族性、地區性，一般語言與民族、地區文化有極密切的聯絡。不同地區語言的差別可以很大，這種差別主要指符號及法則體系的不同。例如，英語與俄語，不僅符號表示的差別很大，而且語言規則的差別也很大；至於漢語，它與英語、俄語的差別更大，從書寫來看，漢語是方塊字，從讀音來看，英語、俄語是拼讀法，語法的差別也特別大。
就是同一民族，書面語言完全相同而發音很不相同的情形更多，例如同講漢語，北方與南方就有很大不同，北京話與廣大話很不相同。而且，目前世界上的語言就多達2500—3000種，其中僅美洲語言即有1000多種，非洲語言也近1000種。100萬以上人口使用的文字則只有140種。這140
種之中，以漢語為母語的人最多，約佔世界人口的20%；其次是英語，約佔6%；再次是俄語、西班牙語、法語，使用這五種語言的人佔世界人口的40%以上。
但數學語言沒有地區性、民族性。全世界因為地區之不同、民族之不同而有二、三千種語言（遠遠超過全世界國家的數目），可是，全世界的數學語言只有一種。
這種語言符號，全世界的中學生大學生們都認識，同一種書寫、同一個含義，只是讀音一般有所不同而已。
從以上的探討中我們可以發現，由於構成數學語言的數學符號科學、簡潔，而導致數學語言具有不同一般語言的特殊性，也就是具有科學性、簡潔性、相通性。對數學語言的研究，不僅能促進數學及數學教育的發展，而且也能對人類精神文明和物質文明的進步起到積極作用。
正因為數學語言是一種特殊的語言,那它在數學教育中也具有重要的作用:
1、掌握數學語言是學習數學知識的基矗一方面，數學語言既是數學知識的重要組成部分，又是數學知識的載體。各種定義、定理、公式、法則和性質等無不是通過數學語言來表述的。離開了數學語言，數學知識就成了“水中月，鏡中花”。另一方面，數學知識是數學語言的內涵，學生對數學知識的理解、掌握，實質是對數學語言的理解、掌握。一個對數學語言不能理解的人是絕對談不上對數學知識有什麼理解的。因此，從一定意義上講。掌握數學語言是學習數學知識的基礎，是數學教學的關鍵。
2、掌握數學語言，有助於發展邏輯思維能力。
邏輯思維是思維的高階形式。在各種能力中，邏輯思維能力處於核心地位。
因此，培養學生的邏輯思維能力是數學教學的中心任務。語言是思維的物質外殼，什麼樣的思維依賴於什麼樣的語言。具體形象語言有助於具體形象思維的形成；嚴謹縝密、具有高度邏輯性的數學語言則是發展邏輯思維的“培養液”。
3、掌握數學語言是解決數學問題的前提。
培養學生運用所學知識解決數學問題的能力，是數學教學的最終目的。“對一個問題能清楚地說一遍，等於解決了問題的一半。”解決問題的過程是一個嚴密的推理和論證的過程，正確地理解題意，畫出符合要求的圖形。尋找已知條件，分析條件與結論之間的關係，有關知識的映象，解題判斷的形成，直至解答過程的表述等，處處離不開數學語言。
4、掌握數學語言，有利於思維品質的形成。
數學語言的特點決定了數學語言對思維品質的形成有重要作用。嚴謹、準確是培養思維的邏輯性、周密性與批判性的“良方”；清晰、精練對培養思維的獨立性與深刻性有特效。
5、掌握數學語言，能激起學習數學的興趣。
數學的語言美具有自己的特點，它是一種內在的美，表面顯得枯燥乏味，其實卻蘊藏著豐富的內涵。充分理解、掌握它，就能領略其中的微妙之處，感受其中的美的意境，從而激起學習、探究的興趣。
數學語言作為一種表達科學思想的通用語言和數學思維的最佳載體，包含著多方面的內容；其中較為突出的是敘述語言、符號語言及圖形語言，其特點是準確、嚴密、簡明。由於數學語言是一種高度抽象的人工符號系統，因此，它常成為數學教學的難點。一些學生之所以害怕數學，一方面在於數學語言難懂難學，另一方面是教師對數學語言的教學不夠重視，缺少訓練，以致不能準確、熟練地駕馭數學語言。
接下來根據數學語言的特點及數學要求，談談教學中的實踐與認識。
首先，注重普通語言與數學語言的互譯普通語言即日常生活中所用語言，這是學生熟悉的，用它來表達的事物，學生感到親切，也容易理解。其他任何一種語言的學習，都必須以普通語言為解釋系統。數學語言也是如此，通過兩種語言的互譯，就可以使抽象的數學語言在現實生活中找到借鑑，從而能透徹理解，運用自如。“互譯”含有兩方面的意思：一是將普通語言譯為數學符號語言，也就是通常所說的“數學化”，例如方程是把文字表達的條件改用數學符號，這是利用數學知識來解決實際問題的必要程式。二是將數學語言譯為普通語言。數學實踐告訴我們，凡是學生能用普通語言複述概念的定義和解釋概念所揭示的本質屬性，那麼他們對概念的理解就深刻。由於數學語言是一種抽象的人工符號系統，不適於口頭表達，因此也只有翻譯成普通語言使之“通俗化”才便於交流。
其次，注重數學語言學習的過程，合理安排教學
數學概念和數學符號的形成一般包括邏輯過程、心理過程和教學過程三個環節。邏輯過程能夠揭示概念之間的各種邏輯關係，便於對數學結構從整體上理解，有助於學生對數學本質的理解與認識。心理過程是指學生從學習數學語言到掌握數學語言的過程，這種過程往往是因人而異。數學符號和規則從現實世界得到其意義，又在更大的範圍內作用於現實。學生只有在理解數學語言的來龍去脈及意義，而且熟練地掌握他們的各種用法，從而得到理性的認識之後，在數學學習中才能靈活地對它們進行各種等價敘述，並在一個抽象的符號系統中正確應用，從而達到對數學符號語言學習的最高水平。教學過程則是教師具體對某個數學符號進行講解、分析、舉例、考查的過程，教師在教學中要善於駕馭數學語言。
１．善於推敲敘述語言的關鍵詞句。
敘述語言是介紹數學概念的最基本的表達形式，其中每一個關鍵的字和詞都有確切的意義，須仔細推敲，明確關鍵詞句之間的依存和制約關係。例如平行線的概念“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”中的關鍵詞句有：“在同一平面內”，“不相交”，“兩條直線”。教學時要著重說明平行線是反映直線之間的相互位置關係的，不能孤立地說某一條直線是平行線；要強調“在同一平面內”這個前提，可讓學生觀察不在同一平面內的兩條直線也不相交；通過延長直線使學生理解“不相交”的正確含義。這樣通過對關鍵詞句的推敲、變更、刪簡，使學生認識到“在同一平面內”、“不相交的兩條直線”這些關鍵詞句不可欠缺，從而加深對平行線的理解。
２．深入探究符號語言的數學意義。
符號語言是敘述語言的符號化，在引進一個新的數學符號時，首先要向學生介紹各種有代表性的具體模型，形成一定的感性認識；然後再根據定義，離開具體的模型對符號的實質進行理性的分析，使學生在抽象的水平上真正掌握概念（內涵和外延）；最後又重新回到具體的模型，這裡具體的模型在數學符號的教學中具有雙重意義：一是作為一般化的起點，為引進抽象符號作準備，二是作為特殊化的途徑，便於符號的應用。
數學符號語言，由於其高度的集約性、抽象性、內涵的豐富性，往往難以讀懂。這就要求學生對符號語言具有相當的理解能力，善於將簡約的符號語言譯成一般的數學語言，從而有利於問題的轉化與處理。
３．合理破譯圖形語言的數形關係。
圖形語言是一種視覺語言，通過圖形給出某些條件，其特點是直觀，便於觀察與聯想，觀察題設圖形的形狀、位置、範圍，聯想相關的數量或方程，這是“破譯”圖形語言的數形關係的基本思想。例如，長方體的表面積教學，學生初次接觸空間圖形的平面直觀圖———這種特殊的圖形語言，學生難於理解，教學時可採用以下步驟進行操作：①從模型到圖形，即根據具體的模型畫出直觀圖；②從圖形到模型，即根據所畫的直觀圖，用具體的模型表現出來，這樣的設計重在建立圖形與模型之間的視覺聯絡，為學生提供充分的感性認識，並使它們熟悉直觀圖的畫法結構和特點；③從圖形到符號，即把已有的直觀圖中的各種位置關係用符號表示；④從符號到圖形，即根據符號所表示的條件，準確地畫出相應的直觀圖。這兩步設計是為了建立影象語言與符號語言之間的對應關係，利用圖形語言來輔助思維，利用符號語言來表達思維。
總之，在數學教學中，教師應指導學生嚴謹準確地使用數學語言，善於發現並靈活掌握各種數學語言所描述的條件及其相互轉化，以加深對數學概念的理解和應用。
參考書目：
1.張楚廷 數學文化[M]，高等教育出版社.2000年；
2.鄧東皋.數學與文化[M]，北京大學出版社.1990年；
3.王慶人.數學家談數學本質[M]，北京大學出版社.***；
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