高中數學數列基礎知識

　　數列***sequence of number***是以正整數集***或它的有限子集***為定義域的函式，是一列有序的數。下面是小編為你整理的，一起來看看吧。

　　：等差數列

　　定義

　　一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列***arithmetic sequence***，這個常數叫做等差數列的公差***common difference***，公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.***Arithmetic Progression***。

　　通項公式

　　an=a1+***n-1***d

　　n=1時 a1=S1

　　n≥2時 an=Sn-Sn-1

　　an=kn+b***k,b為常數*** 推導過程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 則得到an=kn+b

　　等差中項

　　由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項***arithmetic mean***。

　　有關係：A=***a+b***÷2

　　前n項和

　　倒序相加法推導前n項和公式：

　　Sn=a1+a2+a3 +·····+an

　　=a1+***a1+d***+***a1+2d***+······+[a1+***n-1***d] ①

　　Sn=an+an-1+an-2+······+a1

　　=an+***an-d***+***an-2d***+······+[an-***n-1***d] ②

　　由①+②得2Sn=***a1+an***+***a1+an***+······+***a1+an******n個***=n***a1+an***

　　∴Sn=n***a1+an***÷2

　　等差數列的前n項和等於首末兩項的和與項數乘積的一半：

　　Sn=n***a1+an***÷2=na1+n***n-1***d÷2

　　Sn=dn2÷2+n***a1-d÷2***

　　亦可得

　　a1=2sn÷n-an

　　an=2sn÷n-a1

　　有趣的是S2n-1=***2n-1***an，S2n+1=***2n+1***an+1

　　性質

　　一、任意兩項am，an的關係為：

　　an=am+***n-m***d

　　它可以看作等差數列廣義的通項公式。

　　二、從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：

　　a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*

　　三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有

　　am+an=ap+aq

　　四、對任意的k∈N*，有

　　Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S***n-1***k…成等差數列。

　　：等比數列

　　定義

　　一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，這個數列就叫做等比數列***geometric sequence***。這個常數叫做等比數列的公比***common ratio***，公比通常用字母q表示。

　　縮寫

　　等比數列可以縮寫為G.P.***Geometric Progression***。

　　等比中項

　　如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。

　　通項公式

　　an=a1*q^***n-1*** ***其中首項是a1 ，公比是q***

　　an=Sn-S***n-1*** ***n≥2***

　　前n項和

　　當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為

　　Sn=a1***1-q^n***/***1-q***=***a1-a1*q^n***/***1-q*** ***q≠1***

　　當q=1時，等比數列的前n項和的公式為

　　Sn=na1

　　前n項和與通項的關係

　　an=a1=s1***n=1***

　　an=sn-s***n-1******n≥2***

　　性質

　　***1***若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;

　　***2***在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。

　　***3***從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}

　　***4***等比中項：q、r、p成等差數列，則aq·ap=ar²，ar則為ap，aq等比中項。

　　記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=***an***2n-1，π2n+1=***an+1***2n+1

　　另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數後構成一個等差數列;反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。

　　***5*** 等比數列前n項之和Sn=a1***1-q^n***/***1-q***

　　***6***任意兩項am，an的關係為an=am·q^***n-m***

　　***7***在等比數列中，首項a1與公比q都不為零。

　　注意：上述公式中a^n表示a的n次方。

　　：等和數列

　　定義

　　“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

　　對一個數列，如果其任意的連續k***k≥2***項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列

　　性質

　　必定是迴圈數列

　　證明：對任意正整數n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k，　所以對任意正整數n，an = an+k，如果這個數列有n+k項的話。