餘弦定理訓練題

　　餘弦定理，是描述三角形中三邊長度與一個角的餘弦值關係的數學定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣。下面是小編整理了。希望對廣大考生在學習過程中有所幫助!

　　：

　　1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，則邊c的值是***　　***

　　A.8　　　　　　　　　 B.217

　　C.62 D.219

　　解析：選D.根據餘弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76，c=219.

　　2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120°，則sin A的值為***　　***

　　A.5719 B.217

　　C.338 D.-5719

　　解析：選A.c2=a2+b2-2abcos C

　　=22+32-2×2×3×cos 120°=19.

　　∴c=19.

　　由asin A=csin C得sin A=5719.

　　3.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，試判斷△ABC的形狀.

　　解：法一：根據餘弦定理得

　　b2=a2+c2-2accos B.

　　∵B=60°，2b=a+c，

　　∴***a+c2***2=a2+c2-2accos 60°，

　　整理得***a-c***2=0，∴a=c.

　　∴△ABC是正三角形.

　　法二：根據正弦定理，

　　2b=a+c可轉化為2sin B=sin A+sin C.

　　又∵B=60°，∴A+C=120°，

　　∴C=120°-A，

　　∴2sin 60°=sin A+sin***120°-A***，

　　整理得sin***A+30°***=1，

　　∴A=60°，C=60°.

　　∴△ABC是正三角形.

　　4.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那麼它的頂角的餘弦值為__________.

　　解析：設底邊邊長為a，則由題意知等腰三角形的腰長為2a，故頂角的餘弦值為4a2+4a2-a22•2a•2a=78.

　　答案：78

　　課時訓練

　　一、選擇題

　　1.在△ABC中，符合餘弦定理的是***　　***

　　A.c2=a2+b2-2abcos C

　　B.c2=a2-b2-2bccos A

　　C.b2=a2-c2-2bccos A

　　D.cos C=a2+b2+c22ab

　　解析：選A.注意餘弦定理形式，特別是正負號問題.

　　2.***2011年合肥檢測***在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，則最大角的餘弦值是***　　***

　　A.1213　　　　　　　　 B.513

　　C.0 D.23

　　解析：選C.∵c>b>a，∴c所對的角C為最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.

　　3.已知△ABC的三邊分別為2,3,4，則此三角形是***　　***

　　A.銳角三角形 B.鈍角三角形

　　C.直角三角形 D.不能確定

　　解析：選B.∵42=16>22+32=13，∴邊長為4的邊所對的角是鈍角，∴△ABC是鈍角三角形.

　　4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，則角A為***　　***

　　A.π3 B.π6

　　C.2π3 D.π3或2π3

　　解析：選C.由已知得b2+c2-a2=-bc，

　　∴cos A=b2+c2-a22bc=-12，

　　又∵0

　　5.在△ABC中，下列關係式

　　①asin B=bsin A

　　②a=bcos C+ccos B

　　③a2+b2-c2=2abcos C

　　④b=csin A+asin C

　　一定成立的有***　　***

　　A.1個 B.2個

　　C.3個 D.4個

　　解析：選C.由正、餘弦定理知①③一定成立.對於②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin***B+C***，顯然成立.對於④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，則不一定成立.

　　6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，則cos B等於***　　***

　　A.14 B.34

　　C.24 D.23

　　解析：選B.∵b2=ac，c=2a，

　　∴b2=2a2，

　　∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a•2a

　　=34.

　　二、填空題

　　7.在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，則AC=________.

　　解析：由余弦定理，

　　得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA，

　　即49=25+AC2-2×5×AC×***-12***，

　　AC2+5AC-24=0.

　　∴AC=3或AC=-8***捨去***.

　　答案：3

　　8.已知三角形的兩邊分別為4和5，它們的夾角的餘弦值是方程2x2+3x-2=0的根，則第三邊長是________.

　　解析：解方程可得該夾角的餘弦值為12，由余弦定理得：42+52-2×4×5×12=21，∴第三邊長是21.

　　答案：21

　　9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，則B的大小是________.

　　解析：由正弦定理，

　　得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.

　　不妨設a=5k，b=7k，c=8k，

　　則cos B=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12，

　　∴B=π3.

　　答案：π3

　　三、解答題

　　10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.

　　解：A為b，c的夾角，

　　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，

　　∴16=9+c2-6×35c，

　　整理得5c2-18c-35=0.

　　解得c=5或c=-75***舍***.

　　由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0，

　　∵0°

　　11.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C所對的邊長，若***a+b+c******sin A+sin B-sin C***=3asin B，求C的大小.

　　解：由題意可知，

　　***a+b+c******a+b-c***=3ab，

　　於是有a2+2ab+b2-c2=3ab，

　　即a2+b2-c22ab=12，

　　所以cos C=12，所以C=60°.

　　12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，試判斷△ABC的形狀.

　　解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，

　　得c=a•a2+c2-b22ac，∴c2+b2=a2，

　　∴△ABC是以A為直角的直角三角形.

　　又∵b=asin C，∴b=a•ca，∴b=c，

　　∴△ABC也是等腰三角形.

　　綜上所述，△ABC是等腰直角三角形.