問題變式:結構與功能的統一的論文
問題變式:結構與功能的統一的論文
摘要：數學問題變式可分為水平變式和垂直變式，問題變式本身展示了結構與功能的統一。
關鍵詞：問題變式；結構；功能；認知
本文以數學問題變式為例，論述問題變式中結構與功能的統一。
近幾十年來，數學學習中，問題受到了很好的注意。但很多研究更多地關注單個問題，數學問題與數學問題之間的關係，並未加以應有的關注。事實上，學生往往不是解一道題，而是解幾道題，學生可能從題題之間不變的關係中抽象出數學意義，進而把問題分類，使題目型別化。變式教學是數學教師十分熟悉的教學思想、教學理念，這方面有很多實踐，可理論研究還很弱。為什麼該教學方法有用？變式教學的合理之處是什麼？本文嘗試以此為“透鏡”，透過題題之間的結構，透視數學問題變式的功能。
最近，以Marton為首的歐洲學派的變式學習理論研究，逐步在香港教育界紮根並開花結果。Marton變式學習理論認為經歷事物的方式就是學習（Marton & Booth，1997）。把“變的部分”和“不變的部分”加以區別，人們所經歷的過程，稱為變式學習。
一、數學教學中的問題變式
變式，可以說是中國內地“本土化”的實用教學經驗。為了通俗地介紹變式題，筆者先從讀小學時的一個小故事談起。一位小學教師出了一道題：的是多少？當時大家都不會做。於是這位教師就說：“以後解題，凡看見××××的多少，用除法。看見××××是多少，用乘法。所以這道題用乘法。”於是我會做這類題了，卻根本不懂什麼意思。後來，這位數學教師繼續上課，他用一串啟發性的由淺入深的題組（下表），令我豁然開朗。這就是問題變式。
題目：的倍是多少？
我們一般把將源問題加以變化的這些新問題，稱為變式題。將源問題加以變化，稱為問題變式。
二、數學問題變式的結構
（一）問題的兩重特徵
每個數學問題可分解為表面形式特徵和深層數學結構特徵。表面形式特徵是指問題呈現的表述方式的淺層特徵；數學結構特徵指涉及問題本質的概念、關係與原則等的深層特徵。
例如，25個學生一起去划船。大船每條可以坐6人，租金10元；小船每條只可以坐4人，租金8元。應該怎樣租船才付最少的租金呢？要租多少條大船？多少條小船？租金又是多少呢？這個問題的表面特徵是問題情境的陳述：一系列數字。這些數字，經過調換，可以變化，但是對問題的本質影響不大。至於這一題目的數學結構特徵則是：題目中涉及人數、大小船數、空位數和錢數共四個變數，學生需要綜合思考四個變數之間的變化依賴關係。
問題的表面特徵和數學結構特徵彼此相異，又互相補充。數學結構特徵必須透過表面形式特徵來體現，表面形式特徵可以反映數學結構特徵。但是，數學結構特徵反映問題“質”的方面，處於核心地位。
（二）問題變式的兩類結構：水平變式和垂直變式
這裡，我們提出一種新的分類。新問題相對源問題來說，學生能區分問題表面形式特徵變化背後的結構特徵變化，不帶來認知負荷的變化，為水平變式；學生不能區分問題表面形式特徵變化背後的結構特徵變化，帶來認知負荷的變化，為垂直變式。這裡我們把“問題解決過程中，記憶容量和資訊加工的負荷，統稱為認知負荷（cognition load）。
這樣，可按問題結構的變化分成不同的層次（垂直變式），在同一結構層次中，可以分成問題表面形式特徵不同的變化（水平變式）。一般來說，題目的認知負荷要在學生可理解的範圍即最近發展區內。
例如，源問題是：2的1倍是多少？變式題1是：2的2倍是多少？
相對源問題，變式題1的水平變式部分是：2的幾倍是多少？1倍變為2倍是變化的新部分，若新部分不帶來認知負荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。
還可以有變式題2：的2倍是多少？
相對變式題1，變式題2的水平變式部分是：幾的2倍是多少？2變為是變化的新部分，增加了分數概念或小數的概念以及約分的技能的認知負荷。若學生能區分問題表面形式特徵變化背後的結構特徵變化，不帶來認知負荷的變化，為水平變式，否則是垂直變式。這種區分，以學生的感知為標準。
教學的關鍵是化“難”為“易”，化“垂直變式”為學生容易理解的“水平變式”，化“大變”為學生容易區分的“小變”，化“質變”為“量變”，這是數學教學的重要技能。
值得一提的是，水平變式和垂直變式的劃分是相對認知水平而言的。例如，上述問題變式對小學生而言，可能有認知負荷，那麼是垂直變式，而對中學生而言，可能沒有認知負荷，是水平變式。兩類結構的區分主要以有無認知負荷為標準。
水平變式是問題表面重複部分，垂直變式是問題表面變化部分，增加了認知負荷，二者圍繞數學結構“中心軸”發展，三者（水平部分，垂直部分，數學結構“中心軸”）形成了螺旋式發展問題空間。變式教學的精髓就是把認知負荷大的問題，分解為認知負荷小的問題，把垂直變式化為螺旋，循序漸進，分解水平變式。（這即是中國數學教學的傳統策略“大化小，小化了，分而治之，分散難點”的做法。）
問題變式的優勢在於“漸”。變式題不同於記憶型題目和高層思維型開放題，而是在記憶型題目和高層思維型開放題兩個“極端”之間保持“平衡”，漸漸地增加認知負荷，更注意題與題之間的變化，由水平變式到垂直變式，逐步區分表面形式特徵並提取數學結構的元素，逐步區分題目中的數學結構的元素，發現“變中的不變”，同時培養“以不變應萬變”的能力，從量變到質變，漸漸領悟，把握數學教學的規律（如下頁圖）。
圖1 問題變式結構示意圖
（三）問題變式的意義
表面形式有差異的水平變式仍然有重要的價值。Marton變式學習理論認為，經驗不斷重複才能形成意義。重複是手段，擴充套件重複形成意識。第一次經歷與第二次經歷是互相彌補的。第一次關注理論描述效度。當第二次經歷時，第一次所經歷的方面被放大。第二次的經歷“豐富”並“加深”第一次經歷的各個方面。經歷者與經驗的關係只有第二次才能看到。第一次是第二次的基礎，每次焦點不同，強調的方面也不同。學習經驗的兩個維度是直接維度（內容）和間接維度（方法）。學習是經驗的“迴歸”方式，重複是手段，重複的意義在於保持某些方面變而其他方面不變，強調內容不變的某些方面，使其他在邊緣的東西，慢慢淡化，突出主要因素，慢慢形成結構。
水平變式題雖然只是解題技能的簡單重複，但量變是質變的基礎，學生透過表面形式特徵的重複，才能慢慢形成問題的.圖式，進而成為問題解決的基礎。
當然，沒有垂直變式題，只有水平變式是不行的。數學學習停留於淺層的學習是經驗的淺層“迴歸”方式，不會實現深層意義的“迴歸”和深層結構的“迴歸”。按照Sfard（1991）數學概念的二重性分析，沒有垂直變式題，只有水平變式，數學學習不能到達內化和濃縮化階段，僅停留於過程性理解，難以生成概念性理解，難以生成抽象化和高層數學理解。
三、數學問題變式的功能：“概念與過程”
數學學習往往要經歷“過程”達成，然後轉化為“概念”（物件）的認知過程（Sfard,1991；鮑建生，等，2003）。從這個意義上，問題變式也不可避免地扮演過程的操作性和概念的結構性兩重角色，鮑建生等（2003）把變式分為“概念性變式與過程性變式”正基於這種考慮。
教學上，問題變式不要無的放矢，為變而變，變式題設計總是圍繞數學概念的元素和關係，分別設計區別該元素的題組，圍繞“期望達成的概念和程式”而設計“問題變式題組”。變式問題，包含雙重目的：概念與過程，即建構概念和技能與發展思維過程，也就是兼顧“內容和過程”，兼顧數學知識基礎到高層次思維能力。
例如，我們透過這樣的題目：“2個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“4個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“6個蘋果，2個人分，每個人分多少個”，學習除法概念和除法運算程式。
而透過題組：“1個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“1個蘋果，3個人分，每個人分多少個”“2個蘋果，3個人分，每個人分多少個”，同時學習分數概念和除法運算程式。
而兩者結合，題組：“個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“個蘋果，2個人分，每個人分多少個”“個蘋果，2個人分，每個人分多少個”，則圍繞分數除法的概念和分數除法的運算程式，設計新的變式題組。而對於分數除法的概念和運算程式建立，是以“除法概念”和“分數概念”及“除法運算”和“分數運算”為基礎的。
事實上，這組題目顯示了發展概念和培養過程的相輔相成，具有概念與過程雙重性。
因此，問題變式的發展，是為了概念發展的螺旋式改變而設計，透過“結構”問題產生認知“功能”，達成教學“目標”。發展數學認知結構的概念和過程的關係如下圖所示。
圖2 問題變式的雙重目的：概念與過程關係圖示
四、問題變式：結構與功能的統一
在學習者眼中，變式題包含的概念（數學結構）是源題目的重複，是再認（重複性）題目，認知的功能是“鞏固”，否則，垂直變式不能區分題目包含的數學概念和關係（數學結構），即增加了新的認知元素，必須區分題目的認知負荷。在學習者眼中，是發展性題目，認知的功能扮演“發展”的角色。問題變式本身展示了結構與功能的統一。我們以一個例子加以說明。
源問題：x2+5x+6
變式題組一：
變式子問題1：x2+6x+8
變式子問題2：y2+5y+6
變式子問題3：x2+10x+16
變式題組二：
a,b取何值時可使下列各式因式分解
變式子問題1：x2+ax+6
變式子問題2：x2+5x+b
變式子問題3：x2+ax+b
變式子問題4：x3+ax+b
變式子問題5：xn+ax+b
根據一般初二學生的認知水平，變式題組一為水平變式題，變式題組二為垂直變式題①。學生的認知過程可以作以下的描述。
1.源問題提供了問題解決的正確圖式。其中包括與學習有關的關鍵成分：規則功能、適用條件，以及在具體情境中的操作過程。學生從源問題x2+5x+6獲得十字相乘法的規則和圖式認識。
2.對於可以用十字相乘法的數學結構，引出一系列的水平變式“子問題”。經過表面相似問題的解決，學習者就可能會形成一種心理定勢，建立起十字相乘法的數學結構，突破源問題數字和字母的限制。
3.接著，透過垂直變式題x2+ax+6，發展原來的數學結構，建立新數學結構。對於新問題x2+ax+6，學生開始反思x2+5x+6=(x+2)(x+3)中x2+5x+6係數5和6與2和3的關係，逐步擺脫例題表面內容（係數5和6）的制約，由表層結構特徵過渡到數學結構特徵，突破係數的限制，認識到等號左側一次項係數與等號右側一次項係數的一一對應關係即a=2+3。
4.同理，透過垂直變式題x2+5x+b會努力地對問題表面特徵（係數5和6）的變化進行自我解釋，逐步擺脫例題表面內容（係數5和6）的制約，突破係數的限制，認識到等號左側常數項與等號右側常數項的一一對應關係即b=2×3［化為x2+5x+b=(x+2)(x+3)］。
5.發展高層次的結構：韋達定理，隨即乘勝追擊，推廣到於三次、四次方程，進一步n次方程的情形。
問題變式的核心是數學結構的學習。它逐步增加認知負荷，逐步驅動高層的數學思維，逐步由表層類比（數字和字母的變化）向結構類比（因式分解的一般規則）轉化。它增加了深層策略，把原來的程式知識轉化為策略知識，由表層學習向結構學習轉化，逐步增加輸出深層結構的學習結果，逐步增加對數學本質的深層體會，逐步增加對深層數學價值的體會，使數學學習由起點（例題）到終點（垂直變式題）深層經歷。
五、問題變式的問題解決過程理論小結
綜上所述，變式本身是對問題結構的學習。水平變式題建立覆蓋所有正例並排除所有反例的一般描述的數學結構，垂直變式是條件認知的較深層次的加工，它抽取問題表面特徵以外的結構特徵，不會受阻於問題的表面特徵，構成題目的“結構骨架”。學習者由水平變式題到垂直變式題的解答，建立題目的數學結構，逐步由表層區分過渡到結構區分。水平變式是垂直變式的基礎，垂直變式是水平變式的必然發展，二者互相依存，互為補充。
欲從水平變式“過渡到”垂直變式，關鍵要把握認知負荷的問題，認知負荷太大或太小，不會從水平變式“過渡到”垂直變式，好的課程設計要使題目的難度在學生的最近發展區內，變化題目的表面形式特徵，同時控制不變的數學結構，最終讓學生掌握“變中的不變”，培養“以不變應萬變”的本領。在不斷“區分”中，學習數學的“思維”，促進“表層學習向深層學習”方式的培養。課程論和方法論是不可分割的一個整體，從“結構”到“建構”，形成整體“結構”，才會產生整體“功能”。當然，變式的“度”至關重要，變的“度”太小，成了題海戰術，變的“度”太大，又跳到另一個極端，學生不能掌控，產生失敗感，同樣不能產生高層次思維，不能產生認知“功能”。