丹江

[拼音]：lianfenshu

[英文]：continued fraction

繁分數

叫做有限連分數。常簡記為[α0，α1，…，αn]。當α0是整數、α1，…，αn是正整數時，則叫做有限簡單連分數，當n無限時，[α0，α1，…]稱為無限簡單連分數。通常連分數均指簡單連分數。給定一有理數

，用熟知的輾轉相除法，可展成有限連分數即

，其中α0，α1，…，αN是輾轉相除法中依次得到的不完全商，規定αN>1，則表法惟一。如果α是一個無理數，那麼α可展成無限連分數，且表法惟一。反之，一有限連分數表一有理數，一無限連分數表一無理數。

漸近分數和完全商

在連分數[α0，α1，…，αn，…]中取

而寫

，叫做連分數[α0，α1，…，αn，…]的第n個漸近分數。 定義αń=[αn，αn+1，…]為連分數[α0，α1，…，αn，…]的第n個完全商。

漸近分數有如下簡單關係：

（1）

（2）

（3）(pn，qn)=1和qn≥n (n≥2)

（4）

由此可得

存在；

（5）設α =[α0，α1，…，αn，…]，n≥1，0

，則

，故在分母不大於qn的諸分數中，

與α最接近；

（6）設α=[α0，α1，…，αn，…]，則

；反之，若有一個有理數

適合

，則

必為α的某個漸近分數。

完全商有如下簡單性質：

（1）

，一般地，

；

（2）αn=[αń]，n=0，1，2，…，由此可推出實數展成連分數時表法惟一。該實數為有理數時，規定最後一個αN>1。

迴圈連分數

設α=[α0，α1，…，αn，…]，如果l≥m時，對某個固定的正整數k，有αl=αl+k，那麼這樣的連分數叫做迴圈連分數，這種最小的 k叫做它的週期，記為

。例如

等。運用漸近分數、完全商的性質以及抽屜原理，J.-L.拉格朗日證明了有關迴圈連分數的一個重要定理：一個連分數為迴圈連分數，則此數是某個有理係數的二次不可約多項式的根；反之亦然。

當D>0且不是平方數，則

，其中函式[x]表示不超過x的最大整數。此外，設佩爾方程x2-Dy2=1的最小解為ε，則

的週期k滿足

。

應用舉例

連分數有許多應用。例如：

（1）1891年，A.胡爾維茨證明了：在α 的三個連續漸近分數中必有一個適合

。由此可得，任一無理數α，有無窮多個有理數

。式中

是最佳的，即設

，則必有一無理數α，使

不能有無窮多個解，如

就是這樣一個數；

（2）設D>0且不是平方數，

之連分數展開式中αń可表為

，此處

P

n及

Q

n皆為整數。設n是最小的正整數，使(-1)n-1

Q

n=1，則x=pn-1，y=qn-1是佩爾方程x2-Dy2=1的最小解；

（3）利用連分數可以證明數論中一個著名的定理：設素數p呏1(mod4)，則p可表為二整數的平方和；

（4）在近似計算方面，如求多項式的根的近似值，等等。