嘉陵江小三峽

[拼音]：gangti dingdian zhuandong

[英文]：rotation of a rigid body about a fixed point

剛體繞一固定點的運動。繞固定點轉動的剛體只有一點不動，而其餘各點則分別在以該固定點為中心的同心球面上運動。支在固定球鉸鏈上的剛體、萬向聯軸節中的十字頭、萬向支架中的陀螺轉子等，都可以作這種運動。 定點轉動的剛體通常用尤拉角ψ、θ、嗞來定位。

剛體的定點轉動方程為：

式中t為時間。

達朗伯－尤拉定理

可表述為：定點轉動剛體的任何有限位移可用繞某軸的一次轉動來實現，該軸通過剛體的固定點。這個定理是J.le R.達朗伯於1749年，L.尤拉於1750年先後提出的，故得名。說明如下：

以中心在固定點O的任一球面擷取剛體的截面圖形S（圖1）。

在剛體的有限位移中，圖形內一點由A運動到A1，而另一點由B運動到B1，則大圓弧

的中垂面OA┡P＊和大圓弧

的中垂面OB┡P＊的交線OP＊就是剛體這一有限位移的轉軸。

微小角位移

在短暫的時間間隔Δt內，剛體繞軸OP＊轉過一微小角度

Θ

，稱為角位移。它具有向量的性質，可按平行四邊形規則相加。如果尤拉角定位，則當ψ、θ、嗞有微小變化dψ、dθ、d嗞時，剛體的微小角位移向量

Θ

可表示成：

，

式中

i

、

j

、

k

為固定軸系 Oxyz的單位矢；

n

、

k

┡為節線和動基軸Oz┡的單位矢（圖2）。

角速度

Δt趨向於零時，

Θ

趨於一個極限方向，

Θ

與Δt之比也趨於一個極限值

ω

。向量

ω

稱為剛體在瞬時t的角速度，其數學表示式為：

，

式中

分別是繞三個尤拉角的軸z、n、z┡轉動的角速度。Δt→0時轉軸OP＊所趨於的極限位置OP稱為剛體的瞬時軸，在每一瞬時，剛體以角速度

ω

繞瞬時軸轉動。

瞬軸錐面

隨著時間的推移，剛體的瞬時軸要改變位置，它在固定空間描出一個錐面，稱定瞬軸錐面（即空間極錐的錐面）;同時在剛體內部也描出一個錐面，稱為動瞬軸錐面（即本體極錐的錐面）。由此可得潘索定理：剛體定點轉動可用動瞬軸錐面在定瞬軸錐面上的純滾動來代替。

在定瞬軸錐面上，剛體的角速度矢

ω

的端點E描出的曲線稱為

ω

矢端圖（圖3）。

角加速度

作定點轉動的剛體角速度

ω

通常是變數。角速度變化 Δ

ω

與對應時間間隔Δt的比值當Δt→0時所趨至的極限值

ε

稱為剛體在瞬時t的角加速度，其數學表示式為：

可以把

視為

ω

矢端E沿矢端圖運動的速度。

裡瓦斯公式

定點轉動剛體內任一點Q的速度v和加速度

a

的公式，它們是：

v＝

ω

×

r

，

a

＝

a

1＋

a

2＝

ε

×

r

＋

ω

×v，

式中

r

為點Q的矢徑;

a

1=

ε

×

r

為旋轉加速度，沿著(

ε

，

r

)平面的法線，一般並不和速度v共線；

a

2=

ω

×v為向軸加速度，恆垂直並指向瞬時軸(圖4)，但不是沿點Q軌跡的主法線。

下面以分析碾盤的定點轉動為例作一說明。 如圖5所示，碾盤在固定水平面上繞固定點 O作無滑動的勻速滾動。碾盤和水平底盤相接觸之點P┡的速度為零。OP是瞬軸，定瞬軸錐面是圓錐AOP，動瞬軸錐面是圓錐

OB。角速度矢

ω

的端點E具有線速度

u

＝

ε

，沿軸Ox┡正向。碾盤上B點的速度vB平行於軸Ox┡，加速度

a

B＝

a

＋

a

且

a

垂直於OB和Ox┡所在平面，而

a

垂直並指向瞬時軸OP。