古巴
[拼音]：jihe guihua
[英文]：geometric programming
一類特殊的非線性規劃。20世紀60年代起，從工程設計費用最小化問題的研究中，發展了這類特殊非線性規劃的處理方法。這類特殊規劃的研究中，幾何平均不等式有著根本的作用，因而稱之為幾何規劃。它在化學和機械、土木、電氣、核工程以及管理科學等方面有許多應用。
廣義幾何平均不等式
設
與w=
（′表示轉置）都是T維向量，並且v>0與w≥0，亦即它們的分量分別都為正與非負，則有
(1)
式中
，而當wt=0時
定義為1;又，當且僅當
(2)
時，(1)中的等號成立。特別當
時，(1)就是熟知的幾何平均-算術平均不等式
。
以上兩個不等式的意義在於把不等式左方若干項的和與右方若干因子的乘積相聯絡。在許多實際問題中，需要最小化的目標函式（例如工程費用）常常可以寫成若干項之和，根據廣義幾何平均不等式，它絕不小於某些因子的乘積。在某些情況下，通過適當選取w1，w2，…，wT，可使這一乘積變成一個與決策變數無關的常數，所選取的wt，即為使目標函式等於這一下界（此時也是最小值）的決策變數數值，也就是問題的最優解。這就是早期幾何規劃的常用方法。
正項式與正項幾何規劃
形如
(3)
的有正變向量
的函式稱為正項式，其中係數ct必須為正，而指數rtn(n=1，2，…，N)可為任意實數。
人們最初研究的幾何規劃是正項幾何規劃，即有正變向量 尣>0的、目標函式和約束函式都是正項式的非線性規劃
min g0(尣)，s.t.gm(尣)≤1 (m=1，2，…，M)，(4)
尣>0，
式中
都是正項式。
一般地，正項式(3)未必是
x
的凸函式，所以正項幾何規劃(4)一般不是凸規劃，但是通過變換zn=lnxn(n=1，2，…，N)可將 g(尣)化成 z的凸函式。因此儘管正項幾何規劃不一定是凸規劃， 但它具有凸規劃所有的優良性質:它的任何區域性極小點一定也是它的整體極小點。對偶規劃
記
，
於是，
，由此及(1)可知，對於任何w＝
≥0，都有
， (5)
式中
。特別，如果取w使之滿足
，則由(5)及gm(x)≤1(m =1，2，…，M)，可知
， (6)
(6)的右方與尣無關，記為d(w)；又，當且僅當
(7)
成立時，g0(尣)與d(w)相等。稱
maxd(w)，
s.t.w 00=1，
為正項幾何規劃(4)的對偶規劃。因為lnd(w)是w的凹函式，所以對偶規劃(8)的任何區域性極大點也是它的整體極大點。由(6)可知， 對於正項幾何規劃(4)與對偶規劃(8)的任何一對可行解
x
與w，(4)的目標函式值絕不小於(8)的目標函式值，並且當且僅當(7)式成立時，這兩個規劃的目標函式值才相等，這時x
與w分別是(4)與(8)的最優解。對偶定理
設正項幾何規劃(4)有滿足gm(尣)<1(m=1，2，…，M)的可行解並且有最優解，則對偶規劃(8)也有最優解，並且這兩個規劃的最優值相等。
對偶定理的假設條件之一是(4)有最優解。但是在什麼情況下(4)一定有最優解呢？可作如下的回答：
若(4)有可行解而(8)有分量全為正的可行解，則正項幾何規劃(4)必有最優解。
由於對偶規劃只有線性約束條件，特別對於某些特殊情形，例如當出現在各個gm(尣) (m ＝0，1，…，M)中的項數總和
正好比變數個數N多1時，對偶規劃只有惟一的、可以通過解線性方程組得到的可行解，所以相對而言，對偶規劃的求解似乎應當容易些。在實際應用中，以對偶定理為基礎，往往先設法求出對偶規劃的最優解w*，然後通過求解與(7)等價的、以lnxn為變數的線性方程組
(9)
來獲得正項幾何規劃(4)的最優解。因為
，所以由(7)或(9)中的第一式可知，
實際意味著υ0t(尣)在正項幾何規劃目標函式g0(x)中所佔的最優比例。
近十多年來，除了正項幾何規劃外，對於容許係數сmt為負的符號幾何規劃、出現反向約束不等式gm(尣)≥1的反向幾何規劃以及gm(尣)是兩個正項式的商的補幾何規劃，也有了不少的研究，特別是E.L.彼得森的工作擴大了幾何規劃的研究範圍。
參考書目
R.J.Duffin， E.L.Peterson and C.M.Zener，Geometric Programming-Theory and Application，John Wiley & Sons， New York，1967.
J.G.Ecker， Geometric Programming: Methods. Computa-tion and Application，SIAM Review，22，pp.338～362，1980.
E.L.Peterson， Geometric Programming─a Survey，SIAM Review，18，pp.1～51，1976.