嗜熱放線菌

[拼音]：fenxi lixue

[英文]：analytical mechanics

理論力學的一個分支。以廣義座標描述質點系位置為主要手段的一門經典力學。

研究物件

分析力學適合於研究巨集觀現象的力學體系。研究大量粒子的系統需用統計力學；量子效應不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統計力學和量子力學中仍起著重要作用。

分析力學主要以牛頓運動定律為基礎，研究“自由”的或“約束著”的質點系的力學問題。把太陽系中每一個星體（行星、衛星、彗星等）看作一個質點，太陽系就是一個自由質點系；星體間的相互作用是萬有引力。工程上的力學問題大多數是約束著的質點系，由於約束方程型別的不同，就形成了不同的力學系統。例如，完整系統、非完整系統、定常系統、非定常系統等。不同的系統所遵循的運動微分方程不同。

發展簡史

1788年出版的J.L.拉格朗日著作《分析力學》是世界上最早的一本分析力學書。分析力學是建立在虛位移原理(1717，見虛功原理)和達朗伯原理(1743)的基礎上。1760～1761年，拉格朗日用這兩個原理和理想約束結合，得到了動力學普遍方程（又稱達朗伯-拉格朗日方程），幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接匯出的。拉格朗日本人就是根據它匯出了兩個重要方程，分別稱為第一類和第二類拉格朗日方程。前者用未定乘子乘約束方程的變分式，然後同直角座標的動力學普遍方程相加而得。第二類拉格朗日方程是用廣義座標表示的完整系統的動力學方程，在工程技術上很重要，因此，常簡稱為拉格朗日方程。可以用N維q空間或N+1維(q，t)空間配合拉格朗日方程研究完整系統的動力學問題，形成了拉格朗日體系。

1834年，W.R.哈密頓推得用廣義座標 q和廣義動量p聯合表示的動力學方程，稱為正則方程。可用2N 維相空間(q，p)或2N+1維態空間(q，p，t)配合正則方程研究完整系統，這形成了哈密頓體系。在多維空間中可用代表一個系統的點的路徑積分的變分原理研究完整系統的力學問題。

非完整系統的研究，從1861年有人匯出球在水平面上作無滑動的滾動方程開始，到1899年P.阿佩爾在《理性力學》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。

20世紀分析力學對非線性、不定常、變質量等力學系統作了進一步研究，對於運動的穩定性問題作了廣泛的研究。

學科內容

分析力學的研究主要有如下幾個方面。

匯出各類力學系統的運動微分方程

例如，完整系統的拉格朗日方程、非完整系統的阿佩爾方程等。

探求力學的普適原理

例如，哈密頓原理、高斯最小約束原理。

探討力學系統的特性

例如，平衡點附近的穩定性、週期性軌道是否存在等。

研究求解運動微分方程的方法

或同接近求解這一目標有關的一切理論，例如：

（1）研究變數變換理論，如正則變換，以利用變換把微分方程化為低階，或變成形式較簡單的方程；

（2）探求運動微分方程的一次積分式和有關理論，以利用它把微分方程降階；

（3）研究運動微分方程可變數分離的條件；

（4）研究力學系統在(q)、(q，t)、(q，p)、(q，p，t)等多維空間中代表點運動軌跡的幾何性質；

（5）尋找正則變換的不變式，例如，積分不變式、泊松括號等。

研究方法

分析力學解題法和牛頓力學的經典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然後列出運動方程。對於質點系的每一質點，依據牛頓第二定律列出沿三個座標軸的運動方程，這樣得到n個質點系共 3n個二階微分方程，然後再求解。分析力學方法是考慮整個力學系統的能量函式，對於保守系統用動能T和勢能V構成標量函式，例如，拉格朗日函式L＝T-V，哈密頓函式H＝T+V等，然後利用它匯出運動方程。這樣的方程不再包括不做功的約束力。對於具有n個質點和h個約束方程的質點系，運動微分方程的總階數為2(3n-h)，比牛頓法的總階數6n要小，容易求解。

分析力學中也可用變分原理（如哈密頓原理）匯出運動微分方程。它的優點是可以推廣到新領域（如電動力學）和應用變分學中的近似法來解題。從20世紀60年代開始，為了設計複雜的航天器和機器人的需要，發展了研究多剛體系統，並且跳出了傳統使用動力學函式求導的方法來建立動力學方程，所建立的方程能方便地應用電子計算機進行計算。

參考書目

L. Meirovitch， Methods of Analytical Dynamics，McGraw-Hill， New York，1970.