虛功原理
[拼音]：gong’e tidufa
[英文]：conjugate gradient method
又稱共軛斜量法，是解線性代數方程組和非線性方程組的一種數值方法，例如對線性代數方程組
A尣＝ƒ， (1)
式中
A
為n階矩陣，尣和ƒ為n維列向量，當A
對稱正定時，可以證明求(1)的解尣*和求二次泛函
(2)
的極小值問題是等價的。此處(尣，у)表示向量尣和у的內積。由此，給定了初始向量尣
，按某一方向去求(2)取極小值的點尣
，就得到下一個迭代值尣
，再由尣
出發，求尣
等等，這樣來逼近尣*。若取求極小值的方向為F在尣
(k＝1，2，…)處的負梯度方向就是所謂最速下降法，然而理論和實際計算表明這個方法的收斂速度較慢，共軛梯度法則是在 尣
處的梯度方向r
和這一步的修正方向p
所構成的二維平面內，尋找使F減小最快的方向作為下一步的修正方向，即求極小值的方向p
（其第一步仍取負梯度方向）。計算公式為
再逐次計算
(k=1，2，…)。可以證明當i≠j時，
從而p
，p
形成一共軛向量組;r
，r
，…形成一正交向量組。後者說明若沒有舍入誤差的話，至多 n次迭代就可得到(1)的精確解。然而在實際計算中，一般都有舍入誤差，所以r
，r
，…並不真正互相正交，而尣
尣
，…等也只是逐步逼近(1)的真解，故一般將共軛梯度法作為迭代法來使用。
近來在解方程組(1)時，常將共軛梯度法同其他一些迭代法結合作用。特別是對病態方程組這種方法往往能收到比較顯著的效果。其方法是選取一對稱正定矩陣
B
B
=LLT。將方程組(1)化為hу＝b， (3)
此處y＝lT尣，b＝l-1ƒ，h＝l-1
A
l-T，而
。再對(3)用共軛梯度法，計算公式為
(k=0，1，2，…)適當選取
B
，當B
很接近A
時，h的條件數較之A
大大減小，從而可使共軛梯度法的收斂速度大為加快，由一些迭代法的矩陣分裂A
=M -N，可選取M 為這裡的B
，例如對稱超鬆弛迭代(SSOR)，強隱式迭代(SIP)等，這類方法常稱為廣義共軛梯度法或預條件共軛梯度法，它也可用於解代數特徵值問題。參考書目
馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京，1978。