空中交通管制系統

[拼音]：renkou xitong shuxue moxing

[英文]：mathematical models of population system

用來描述人口系統中人的出生、死亡和遷移隨時間變化的情況，以及它們之間定量關係的數學方程式或方程組，又稱人口模型。人口控制論和人口系統工程的首要任務是建立人口系統的數學模型。根據人口系統的反饋機制，明確區分狀態變數、控制變數和觀測量，可以建立人口系統的閉環控制模型。模型是對實體的近似描述，如果模型精度滿足所研究問題的要求，模型便被認為是準確的。用中國人口統計資料校驗有關人口系統數學模型時，其近期精度達到0.1％左右,這表明中國人口模型的精度很高。

發展概況

20世紀30年代A.J.洛特卡建立了人口的定常積分方程模型。40年代萊斯利建立了差分方程組模型。60年代又出現了弗爾斯特的偏微分方程模型。70年代波拉德在萊斯利模型基礎上提出了隨機模型。建立完善的人口系統閉環控制模型，則是最近幾年的事。中國控制論學者在這項工作中取得了重要成果。

分類

人口模型分為兩類，一類是確定性模型，另一類是隨機模型。如果按年齡和時間是連續量還是離散量，又可將人口模型分為連續模型和離散模型兩種。連續模型是由偏微分方程描述的帶邊界控制的分佈引數系統，離散模型是由差分方程組描述的雙線性系統。離散模型可用離散化方法從連續模型得到。連續模型便於理論分析，而離散模型適合於計算機模擬。

人口系統連續模型

兩個自變數的函式N(ɑ，t)代表t時刻一切年齡小於a的人口總數，稱為人口函式。P(ɑ，t＝媆N(ɑ，t)/媆a,稱為人口密度函式。則人口系統連續模型為

(1)

式中μ(α，t)是相對死亡率函式，g(α，t)為人口遷移率函式，嗘(t)為絕對出生率函式,U(t)為相對出生率函式，P0(α)為初始年齡密度函式。在(1)中唯一能控制的是出生率嗘(t),它是系統的控制變數。它出現在系統的邊界條件中，所以模型 (1)又稱為邊界控制的分佈引數系統。這裡的嗘(t)並不與實時人口狀態P(α，t)發生聯絡，所以這種控制又稱為開環控制。

實際上，嗘(t)應與 t時刻的人口狀態，特別是與處在生育期內婦女的生育水平有密切關係。考慮到這一特點又有如下的人口閉環控制模型：

(2)

式中β(t)稱作婦女總和生育率,它是人口系統的控制變數。中國人口控制和計劃生育是靠控制β(t)來進行的。[α1，α2]稱為婦女育齡區間,a1為最小生育年齡，α2為最高生育年齡，K(α，t)為女性比例函式，h(α，t)為婦女生育模式，滿足歸一化條件：

在模型(2)中,嗘(t)與t時刻的人口狀態P(α，t)建立了直接關係，這在控制論中稱為實時狀態反饋，這種控制形式稱為閉環控制（見閉環控制系統）。

人口系統離散模型

如果用x0(t),x1(t),x2(t),…,xm(t)表示t時刻的年齡構成,其中xi(t)表示t年代年滿i週歲但不到i＋1週歲的人口數，寫成向量形式

則離散人口模型可寫成

(3)

式中H(t)，B(t)為相應維數的矩陣，

式中

稱為按齡死亡率,m為人類能活到的最高年齡;

稱為嬰兒死亡率；Ki（t）為女性比例函式；hi（t）為婦女生育模式,服從歸一化條件

；g(t)為人口遷移向量；x0為人口初始年齡狀態;β(t)為婦女總和生育率,它是系統控制變數;x(t)是人口狀態變數。模型(3)是一個雙線性系統。在這個模型中,

一項是t年代人口經死亡後留存到下一年的人口年齡構成。而

是 t年代出生的人口留存到下一年的人口,g(t)是t年代遷移人口留存到下一年的人口。在模型(3)中，方程左端表示t＋1年代的人口年齡構成,而方程右端則表現了t年代人口年齡的變化。因此在這個模型中，時間、出生、死亡和遷移四個因素以及它們之間的定量關係得到了完全描述。

在模型(1)、(2)、(3)中,觀測變數就是人口指數，例如總人口數N(t)

人口控制就是通過改變、調節婦女總和生育率 β(t)來控制人口狀態x(t)，達到改變和控制人口趨勢的目的。

參考書目

宋健、於景元：《人口控制論》，科學出版社，北京，1985。

Nathan Keyfitz,Introductionto the Mathematicsof Population,Addison-Wesly Publishing Company,California,London,1968.