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[拼音]：Lapulasi bianhuan

[英文]：Laplace transformation

為簡化計算而建立的實變數函式和復變數函式間的一種函式變換。對一個實變數函式作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對於求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函式代替微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見訊號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示實變數t的一個函式，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變數s＝σ＋jω的一個函式，其中σ和ω 均為實變數,j2＝-1。F(s)和f(t)間的關係由下面定義的積分所確定：

。

如果對於實部σ ＞σc的所有s值上述積分均存在，而對σ ≤σc時積分不存在，便稱 σc為f(t)的牲a href='http://www.baiven.com/baike/221/243225.html' target='_blank' >樟蠶凳６願ǖ氖當淞亢 f(t)，只有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上,常稱F(s)為f(t)的象函式,記為F(s)＝L[f(t)];稱f(t)為F(s)的原函式,記為ft＝L-1[F(s)]。

函式變換對和運算變換性質

利用定義積分，很容易建立起原函式 f(t)和象函式 F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域內的運算與F(s)在複數域內的運算間的對應關係。表1和表2分別列出了最常用的一些函式變換對和運算變換性質。

拉普拉斯反變換

拉普拉斯變換具有可逆性。由複數表示式F(s)來定出實數表示式f(t)的運算稱為反變換。拉普拉斯反變換的定義積分式是

。

直接計算這個積分是困難的。但是對於大多數工程問題，F(s)往往是s的一個嚴格真有理分式

可採用簡單步驟來完成反變換運算。對應於F(s)的分母多項式為零的根是兩兩不相等的情況，在定出它們的值λ1、λ2、…、λn以後,由部分分式展開並結合查表1,可定出反變換函式為

式中

。如果F(s)的分母多項式為零的根中包含有重根，那麼反變換的結果和計算過程都要複雜一些。

應用

從數學的觀點來說，拉普拉斯變換主要為求解線性微分方程提供了一種簡便的運算方法。在給定微分方程後，運用表1的變換關係和表2的運算性質，就可把問題化成為求解象函式的代數方程，它的解經反變換後的結果就是微分方程的解。

參考書目

鍾士模、鄭大鐘著：《過渡過程分析》，清華大學出版社，北京，1986。