日冕光學偏振

[拼音]：duliang kongjian

[英文]：metric space

現代數學中一種基本的、重要的、最接近於歐幾里得空間的抽象空間。19世紀末葉，德國數學家G.康托爾創立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎。20世紀初期，法國數學家M.-R.弗雷歇發現許多分析學的成果從更抽象的觀點看來，都涉及函式間的距離關係，從而抽象出度量空間的概念。具體說來，如果X是一集合，d是定義在X×X上的非負實值函式，使得對任何x，y，z∈X有：

（1）d（x，y）=0的充要條件是x=y；

（2）d（x，y）=d(y，x)；

（3）d(x，z)≤d(x，y)+d(y，z)。這時便稱X是一個度量空間，d(x，y)稱為x與y之間的距離。

下面是幾個度量空間的例子。

歐氏空間Rn

由所有的 n元實陣列(x1，x2，…，xn)構成集合Rn，Rn中元素x＝(x1，x2，…，xn)與y＝(y1，y2，…，yn)之間的距離定義為

。

希爾伯特空間H

其中R表示實數集合。定義元素x=(x1x2，…，xn，…)及y=(y1，y2，…，yn…)之間的距離為

。

貝爾空間B

B={(x1，x2，…，xn，…)│(xn∈R，n=1，2，…)}對於兩個不同的元素x=(x1，x2，…，xn，…)及y=(y1，y2，…，yn，…)，用m(x，y)表示滿足 xn≠yn的最小標號n，定義x與y之間的距離為

；再規定d(x，x)=0（x∈B）。一般假設Ω是任意一個集合，取X={(x1，x2，…xn，…)|xn∈Ω)，可以按同樣的方法定義m(x，y)與d(x，y)，得到的度量空間也稱作貝爾空間。

函式空間

處理分析問題時，根據具體情況需要可以引入種種函式空間。例如，考慮定義於閉區間[0，1]上的一切連續實值函式的集合，就可以定義兩個函式ƒ 和g的距離為

對於度量空間X，可以利用它的度量d 引進一個拓撲結構，其基的元就是所有的開球B(x，r)={y∈x｜d(x，y)

就產生同一個拓撲結構。度量不是拓撲概念。

完備度量空間

在度量空間中可以用距離定義點列的收斂概念:xn→x0就是指d（xn，x0）。點列{xn}稱為柯西點列，是指對任意正實數ε，都存在自然數N，使得m、n≥N時有

。可以證明收斂點列一定是柯西點列，反過來並不成立。每個柯西點列都收斂的度量空間叫做完備度量空間。這類空間有許多好的性質。例如，完備度量空間中壓縮對映原理成立。可以用它證明微分方程、積分方程以及無限線性代數方程組的一系列存在惟一性定理。度量空間X的任何子集Y配上原有的距離也成為度量空間，稱作X的子空間。如果每個開球{x∈X｜d(x0，x)

完備化定理

每一度量空間X 都是另一完備度量空間X

的稠密子空間，而且X

由X惟一構造出來。例如，實數直線就是有理數集的完備化，20世紀初建立嚴密的數學分析理論正是基於這一重要事實。

可以證明：在完備度量空間中可數多個稠密開子集的交仍是稠密集。

可度量化拓撲空間

度量空間具有許多良好性質，例如，它滿足第一可數公理，它是豪斯多夫空間，正規空間，還是仿緊空間。此外對度量空間而言，緊緻性等價於下列三條中的任一條：

（1）任何可數開覆蓋都有有限子覆蓋；

（2）每一無限子集都在空間中有聚點:③每一點列都有收斂子列。緊度量空間一定滿足第二可數公理從而必是可分的。實際上對於度量空間而言，可分性與第二可數公理等價。因此，一個拓撲空間的拓撲結構在什麼條件下能作為一個度量空間的拓撲？這是拓撲空間理論的重要問題，稱作度量化問題。50年代長田潤一。ю.М.斯米爾諾夫以及R.H.賓得到了可度量化問題的重要結果。例如，拓撲空間可度量化的充要條件是：它是T1正則空間，且具有一個基