線上同位素分離器
[拼音]：jishu
[外文]：cardinal number
又稱勢，集合論基本概念之一，是日常用以表示多少的數的概念的推廣和發展。按照G.（F.P.）康托爾的原意，集合
A
的基數是一切與A
具有等勢關係的集(即存在一個雙射把集合A
的全部元素映成另一集合的全部元素)的共同特徵，是對A
的元素進行屬性及次序雙重抽象之後的結果，所以用戞表示(較多用|A
|)。（F.L.）G.弗雷格與B.A.W.羅素分別在1884年與1902年把戞 定義為所有與集A
等勢的集所成之集，即戞＝{B
｜B
～A
}。這一定義雖然形式簡單明瞭，但在ZFC系統中卻不能證明它構成一個集合。事實上，{B
｜B～A}對於任何非空集A
，是一個真類。因為由{B
A
等勢的集，即所有與A
等勢的序數中最小的一個作為A
的基數，這樣的序數稱為初始序數，根據計數定理與序數的良序性，對於任何集A
，它所對應的初始序數是必定存在且惟一的。兩個集A
、B
具有相同基數的充要條件是A
～B
，這完全符合G.康托爾的原意。當集的基數為有限序數時，稱該基數為有限基數，否則稱為超限基數。它們所對應的集分別稱為有限集與無限集。可以證明集 A為無限的充要條件是存在A
的一個真子集A
1，使得A
1～A
。與自然數集N等勢的集稱為可數集，它的基數是ω，但習慣上常用堗0表示。整數集Z、有理數集Q
C
[0，1]、n維空間En的點集、定義在[α，b]上的函式集等等都是不可數集的例子。設α、β為兩個基數，
A
、B
為兩個集，|A
|=α，|B
|=β，可以定義基數的大小關係及和、積、冪等運算如下：α ≤β當且僅當存在一個從
A
B
的單射；α<β當且僅當α≤β且α≠β；
α＋β=|{0}×
A
∪{1}×B
|；α·β=｜
A
×B
｜；αβ=｜
A
B｜其中
A
B ={ƒ:B
→A
}。在上述定義中，雖然形式上需要通過集A
、B
來表述，但事實上它們都只與α、β有關，而不依賴於A
、B
的選取。即對於任何集C
、D，只要｜C
｜=α，｜D｜=β，所得的結果就保持不變。這就保證了定義的合理性。此外和與積還能推廣到任意基數列αβ(β<γ)。設β<γ時｜A
β｜=αβ則可定義
，
。
對於任何基數α、β、у，下列性質成立。
（1）傳遞性：若α ≤β且β≤у則α ≤у。
（2）自反性：α ≤α。
（3）反對稱性：若α ≤β且β≤α 則α ＝β。
（4）強連結性：α ≤β與β≤α 二者必居其一。
（5）結合律：α +(β+у)=(α +β)+у；
α (β·у)=(α ·β)·у。
（6）交換律：α＋β＝β＋α；α·β=β·α。
（7）存在恆等元：0＋α＝α；1·α＝α。
（8）分配律：α (β+у)=α·β+α·у。
（9）同底冪的積：
。
（10） 冪的冪：
。
積的冪：
。
性質①～④說明基數的≤是一個全序關係，其中性質③稱為康托爾-伯恩斯坦定理，它是集合論中的一個重要定理，可用以確定若干集合的基數。1895年G.康托爾給出了這一命題的等價形式：設
A
、B
為兩個集合，若A
與B
的子集B
1等勢，B
與A
的子集A
1等勢，則A
與B
等勢;並在基數可比較的前提下給予證明。1896年F.W.K.E.施羅德在一篇論文的摘要中提到這條定理。他於1898年發表的證明雖不借助於基數的可比較性，但仍不完善。第一個滿意的證明是伯恩斯坦在1898年給出的，所以有些數學家稱它為施羅德-伯恩斯坦定理。性質④稱為基數比較定理是選擇公理的等價命題之一，最初由G.康托爾提出：設A
、B
為兩個集合，則A
與B
的某一子集B
1等勢或B
與A
的某一子集A
1等勢，兩者必有一個成立；並用以證明性質③。1915年由F.M.哈託格斯給予證明。關於基數的序與運算的其他重要性質還有：對於任何基數k，總存在一個比k大的基數λ，即不存在最大的基數。此性質是1873年首先由G.康托爾以下述形式提出的:任何集A
的冪集P
(A
)具有比A
大的勢， 即｜A
｜<｜P
(A
)｜，故稱康托爾定理。由於在集P
(A
)與集2A間存在自然的雙射，所以這性質也可表為2x>k， 其中k=｜A
｜。於是， G.康托爾把無限分成無限多個嚴格遞增的等級，奠定實無限在數學研究中的地位，啟迪人們提出連續統假設與廣義連續統假設。他在證明中所使用的對角線方法，也具有重要的方法論意義。已經知道最小的無限基數是堗0，並用堗1表示大於堗0的最小基數，用 堗2表示大於堗1的最小基數。一般地，設α是任一序數，並且對於任何小於α的序數β，堗β均已定義，則當α 為某一β的後繼序數時，規定堗α是大於堗β的最小基數，稱為無限後繼基數；當α為極限序數時，規定
，稱為極限基數。這樣就建立起序數與無限基數之間的一一對應關係。基數的加、乘運算具有許多通常熟悉的性質，如結合律、交換律、分配律等，但有些重要性質，例如對消律，卻僅對有限基數，即自然數成立。設λ，k為任意基數，λ≥k≥1，λ≥堗0，則λ·k=λ+k=λ 。這一結果與下述命題等價:對於任何無限基數 k，k·k＝k＋k＝k，即任意k個基數為k的集合的和集，其基數為k；或者，任意不超過k個基數不超過 k的集合的和集， 其基數不超過 k。特別地，當k＝堗0時， 就有任意可數個可數集的和集是可數集；或至多可數個至多可數集的和集是至多可數的。上述命題是選擇公理的一個等價形式，將它深化一步， 可得：對於任何序數α，
與
成立。 把基數的運算與序相結合而得到的結果。最重要的是下述柯尼希定理：設kβ與λβ(β<α)是兩個基數列，如果對於任何β<α，總有kβ< λβ，則
。這是康托爾定理2x>k的一個推廣， 並且可以證明它是選擇公理的一個等價形式。